11. Ранг - два определения, неизменность ранга при элементарных преобразованиях

1) ранг матрицы– максимальный порядок ненулевых номеров этой матрицы. Ранг матрицы, состоящей из нулей равен нулю. Ранг всех остальных матриц ≥ 1.

2) Ранг матрицы– это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Теорема: При элементраных преобразованиях ( умножение стр/стлб на число; перестановка стр/стлб; прибвление к стр/стлб другой стр/стлб, умноженной на число; отбрасывание нулевой стр/стлб; транспонирование м) ранг матрицы не меняется.

12. Ранг матрицы – два определения. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса .

1) ранг матрицы– максимальный порядок ненулевых номеров этой матрицы. Ранг матрицы, состоящей из нулей равен нулю. Ранг всех остальных матриц ≥ 1.

2) Ранг матрицы– это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля.

Нахождение ранга с помощью элементарных преобразований матрицы (методом Гаусса).

Рассмотрим еще один способ нахождения ранга матрицы.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

• перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

• умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;

• прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

• Пример.

• Найдите ранг матрицы  с помощью элементарных преобразований.

• Решение.

• Так как элемент a_{1 1} отличен от нуля, то умножим элементы первой строки матрицы А на:

• Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы первой строки, умноженные на (- 3). К элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (- 1). И так

• далее:

• Элемент  отличен от нуля, поэтому мы можем умножить элементы второй строки матрицы А⁽²⁾ на :

• К элементам третьей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на ; к элементам четвертой строки – элементы второй строки, умноженные на ; к элементам пятой строки – элементы второй

• строки, умноженные на :

• Все элементы третьей, четвертой и пятой строк полученной матрицы равны нулю. Так с помощью элементарных преобразований мы привели матрицу А к трапецеидальному виду, откуда видно, что Rank(A⁽⁴⁾) = 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.

• Замечание.

• ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: при проведении элементарных преобразований не допускаются приближенные вычисления!

13. Основные понятия слау (совместная-несовместная, определенная-

неопределенная, прямоугольная-квадратная, вырожденная-невырожденная,

однородная-неоднородная)

Определение СЛАУ

Определение

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

Упорядоченный набор значений  называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Пример

Система  является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение , 

Пример

Система  является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов  это не выполняется.

Определение

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Определение

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Пример

Определение

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Пример

Система  квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.