9. Обратная матрица – определение, вычисление методом сопряженной матрицы

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Матрица  называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядкаn на n.

Теорема.

 Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

10. Обратная матрица – определение, вычисление методом Жордана

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Матрица  называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядкаn на n.

Суть метода Гаусса-Жордана заключается в том, что если с единичной матрицей Епровести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрицаАприводится кЕ, то получится обратная матрица.

Опишем алгоритм приведения матрицы Апорядкаnнаn, определитель которой не равен нулю, к единичной матрице методом Гаусса - Жордана. После описания алгоритма разберем пример, чтобы все стало понятно.

Сначала преобразуем матрицу так, чтобы элемент стал равен единице, а все остальные элементы первого столбца стали нулевыми.

Если , то на место первой строки ставитсяk-аястрока (k>1), в которой, а на местоk-ойстроки ставится первая. (Строка собязательно существует, в противном случае матрицаА– вырожденная). После перестановки строк получили «новую» матрицуА, у которой.

Теперь умножаем каждый элемент первой строки на . Так приходим к «новой» матрицеА, у которой. Далее к элементам второй строки прибавляем соответствующие элементы первой строки, умноженные на. К элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на. И продолжаем такой процесс доn-ойстроки включительно. Так все элементы первого столбца матрицыА, начиная со второго, станут нулевыми.

С первым столбцом разобрались, переходим ко второму.

Преобразуем матрицу Атак, чтобы элементстал равен единице, а все остальные элементы второго столбца, начиная с, стали нулевыми.

Если , то на место второй строки ставитсяk-аястрока (k>2), в которой, а на местоk-ойстроки ставится вторая. Так получаем преобразованную матрицуА, у которой. Умножаем все элементы второй строки на. После этого к элементам третьей строки прибавляем соответствующие элементы второй строки, умноженные на. К элементам четвертой строки – соответствующие элементы второй строки, умноженные на. И продолжаем такой процесс доn-ойстроки включительно. Так все элементы второго столбца матрицыА, начиная с третьего, станут нулевыми, абудет равен единице.

Со вторым столбцом закончили, переходим к третьему и проводим аналогичные преобразования.

Так продолжаем процесс, пока все элементы главной диагонали матрицы Ане станут равными единице, а все элементы ниже главной диагонали не станут равными нулю.

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса-Жордана. Теперь преобразуем матрицуАтак, чтобы все элементыn-огостолбца, кроме, стали нулевыми. Для этого к элементам(n-1)-ойстроки прибавляем соответствующие элементыn-ойстроки, умноженные на. К элементам(n-2)-ойстроки – соответствующие элементыn-ойстроки, умноженные на. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементыn-огостолбца матрицыА(кроме), станут нулевыми.

С последним столбцом разобрались, переходим к (n-1)-ому.

Преобразуем матрицу Атак, чтобы все элементы(n-1)-огостолбца до, стали нулевыми. Для этого к элементам(n-2)-ойстроки прибавляем соответствующие элементы(n-1)-ойстроки, умноженные на. К элементам(n-3)-ойстроки – соответствующие элементы(n-1)-ойстроки, умноженные на. И продолжаем такой процесс до первой строки включительно. Так все элементы(n-1)-огостолбца матрицыА(кроме), станут нулевыми.

Действуя дальше схожим образом, мы получим единичную матрицу.