Лабораторная работа № 9 применение интерполяционной формулы лагранжа

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков использования интерполяционных многочленов.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть функция задана таблично, т.е. известны ее значения вточках

(). (1)

Построим многочлен степенитакой, чтобы выполнялись интерполяционные условия

(). (2)

Сначала построим полином степени , такой, что

, (3)

где - символ Кронекера.

Так как обращается в нуль вточках, то он имеет вид

, (4)

где - постоянный коэффициент.

Полагая в формуле (4) и учитывая, что, получим

.

Подставив этот коэффициент в (4), находим

. (5)

Теперь построим многочлен , который имеет вид

. (6)

Степень , как видно из (5) и (6), не выше. Кроме того, на основании (2)

,

что согласуется с (2)

Интерполяционный многочлен называется многочленом Лагранжа и имеет вид

.

Теперь считаем .

Для абсолютной погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа справедлива оценка

,

где ;

.

3. ЗАДАНИЕ

Дана таблица значений функции

x	3,5	4,1	4,3	5
y	N+k	N+2k	N-k	N

Здесь - номер фамилии студента в журнале группы;- последняя цифра номера группы.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Вычислить с его помощью значения ; ; .

IV. Оформление отчета в отчете должны быть представлены:

1. Название работы.

2. Постановка задачи.

3. Описание алгоритма (метода) решения.

4. Текст программы с описанием.

5. Результаты работы программы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Лань, 2009. 672 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 512 с.

Лабораторная работа № 10

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ

2. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков использования интерполяционных сплайнов.

3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть на в узлах сеткизаданы значения некоторой функции

Для интерполирования функций воспользуемся кубическими сплайнами дефекта 1, которые обозначим На каждом из промежутковсплайнзаписывается в виде

Причем

Рассмотрим два алгоритма построения интерполяционных кубических сплайнов, удовлетворяющих условиям

Введем обозначение

Решая систему уравнений

Найдем коэффициенты

В результате выражение примет вид

где

Кубический сплайн , записанный в терминах, на каждом из промежутковнепрерывен вместе со своей первой производной всюду наВыберем величинытак, чтобы была непрерывна и вторая производная сплайна. Условие

дает уравнений для нахождения

_где

К уравнениям следует присоединить еще два уравнения, являющихся краевыми условиями. Из полученной системы уравнений находятся значения величинкоторые подставляются в выражение для интерполяционного сплайна

Если ввести обозначение и коэффициентынайти как решение системы уравнений

то на каждом интерполяционный кубический сплайн в терминахбудет представляться выражением

При этом сплайн и его вторая производная будут непрерывны наВыберем величинытак, чтобы была непрерывна и первая производная сплайна. Условие

дает уравнений

где

К уравнениям следует присоединить два краевых условия. Из полученной системы уравнений находятся значениякоторые подставляются в выражение

На практике наиболее употребительными являются краевые условия следующих типов:

1. 

2. 

3. 

4. 

4. ЗАДАНИЕ

С помощью интерполяционных кубических сплайнов, записанных в терминах и, вычислить значения функциив точкахТаблица значений функцииприведена в лабораторной работе № 9.

Использовать следующие краевые условия

Указания:

1. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениямприсоединить следующие уравнения:

где

2. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениямприсоединить следующие уравнения:

3. Cистемы иявляются системами с трехдиагональной матрицей. Осуществить их решение методом прогонки.