![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
Систему уравнений (2.1) представим в виде
(2.3)
или
i
= 1,…, n.
Известно большое число схем метода исключения, приспособленных для ручного или машинного счета матриц общего или специального вида.
Метод Гаусса можно
интерпретировать как метод, в котором
первоначально матрица приводится к
верхней треугольной форме (прямой ход),
а далее – к единичной (обратный ход).
Очевидно, что если матрица единичная,
то
Пусть матрица
система (2.3) – верхняя треугольная,
поэтому
приi
> j,
т. е. все
элементы ниже главной диагонали равны
нулю. Тогда из последнего уравнения
сразу определяем
.
Подставляя
в
предпоследнее уравнение, находим
и т. д.
Общие формулы имеют вид
при
k
= n
(2.4)
при
k
= n
– 1, n
– 2, …, 1.
При k
> l
коэффициенты
.
Приведем матрицу
системы (2.3) к верхней треугольной. Вычтем
из второго уравнения системы (2.3) первое,
умноженное на такое число, при котором
коэффициент при
обратится
в нуль. То же проделаем со всеми остальными
уравнениями. В результате все коэффициенты
первого столбца, лежащие ниже главной
диагонали, обратятся в нуль. Затем,
используя второе уравнение, обратим в
нуль соответствующие коэффициенты
второго столбца. Последовательно
продолжая этот процесс, приведем матрицу
систему к верхней треугольной форме.
Запишем общие формулы метода Гаусса. Пусть проведено исключение коэффициентов из (k-1)-го столбца. Тогда останутся уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:
Умножим k-ю
строку на
число
m
> k
и вычтем из
m-й
строки.
Первый ненулевой элемент этой строки
обратится в нуль, а остальные изменятся
по формулам
k
< m.
Проведя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, обратим в нуль элементы k-го столбца, лежащие ниже главной диагонали. Аналогичная процедура приводит матрицу системы к верхней треугольной форме, при этом весь процесс приведения называется ПРЯМЫМ ХОДОМ МЕТОДА ГАУССА. Вычисление неизвестных по формулам (2.4) называют ОБРАТНЫМ ХОДОМ метода.
Обратный ход можно
совершить иначе, если обратить в нуль
и все коэффициенты, лежащие выше главной
диагонали. Например, элементы n-го
столбца обращаются в нуль, если
умножить на
и сложить с соответствующей строкой.
Аналогично обращаются в нуль и все
остальные столбцы. Если, кроме того,
разделить затем каждое уравнение на
соответствующий элемент, стоящий на
главной диагонали, то матрица системы
становится единичной, а неизвестные
,
где
- коэффициенты
правой части i-го
уравнения после указанных преобразований.
На некотором шаге
прямого хода может оказаться, что
коэффициент
но мал по сравнению с остальными
элементами матрицы системы и, в частности,
мал по сравнению с элементами первого
столбца. Деление коэффициентов системы
на малую величину может привести к
значительным ошибкам округления.
Для уменьшения
ошибок округления поступают следующим
образом. Среди элементов первого столбца
каждой промежуточной матрицы выбирают
наибольший по модулю (главной) элемент
и путем перестановкиi-го
строки со строкой, содержащей главный
элемент, добиваются того, что главный
элемент становится ведущим. Такая
модификация метода исключения Гаусса
называется методом Гаусса с выбором
главного элемента. Случай появления
нулевых элементов обходится при этом
сам собой.
Для реализации
метода требуется примерно
операций типа умножения и
операций типа сложения. Полезно помнить,
что оценка числа операций определяется
в основном операциями, затрачиваемыми
при выполнении прямого хода метода
Гаусса. Обратный ход метода Гаусса
требует примерно
операций.
Лекция № 4