![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
4.1.Функция и способы ее задания
Из курса математического анализа известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический, графический и табличный.
Наиболее удобным
способом задания функциональной
зависимости
является аналитический, так как он прямо
указывает действие и последовательность
их выполнения над независимой переменнойх
для получения соответствующего значения.
Например, путь и время при равноускоренном
движении связаны соотношением
.
Преимуществом данного способа является
возможность получать значенияу
для любого фиксированного аргумента х
с любой точностью. К недостаткам следует
отнести то, что приходится производить
всю последовательность вычислений,
кроме того, аналитический метод не
обладает наглядностью.
Указанные недостатки аналитического способа устраняются в случае графического способа задания функции у = f(x).
Табличный способ задания функции распространен в технике, физике, экономике, естествознании (и чаще всего возникает в результате эксперимента). Преимуществом этого способа является то, что для каждого значения независимой переменной, помещенной в таблицу можно без всяких измерений и вычислений, найти соответствующее значение функции. Недостаток состоит, что нельзя задать всю функцию, т.е. всегда найдутся такие значения независимой переменной, которых нет в таблице.
4.2 Основные понятия теории приближения функций
Теорией и практикой приближения (аппроксимации) функции приходится пользоваться при решении многих практических задач.
Например, в процессе
некоторого эксперимента в дискретные
моменты времени
получены значения
некоторой величиныf(x).
Требуется восстановить функцию f(x)
при других
.
Подобная же задача возникает при
многократном вычислении на ЭВМ одной
и той же сложной функцииf
в различных точках. Вместо этого часто
бывает целесообразно вычислить функцию
f
в небольшом числе характерных точек
,
а в остальных точках найти ее значение
по некоторому более простому правилу,
используя информацию об уже известных
значениях
.
Другими
распространенными примерами аппроксимации
функций являются задачи определения
производной
и
интеграла
по заданным значениям
.
Наконец при составлении алгоритмов стандартных программ для вычисления элементарных и специальных функций снова возникает задача приближение функций.
Классический
подход к решению подобных задач
заключается в том, чтобы, используя
имеющеюся информацию о функции f,
рассмотреть другую функцию
,
близкую в этом смысле кf
и позволяющую выполнить над ней
соответствующую операцию и получить
оценку погрешности такой «аналитической
замены».
В процессе численной реализации этого подхода необходимо рассмотреть следующие четыре основных вопроса:
1. Вопрос об имеющейся
информации относительно функции f,
т.е. о виде, в котором задана функция f.
Различают два
основных случая: функция f
задана либо аналитически, либо в виде
таблицы.
Графический способ относят к первому,
или ко второму случаю в зависимости от
конкретной задачи. В дальнейшем будем
рассматривать на отрезке
непрерывные вместе с достаточным
количеством своих производных
функций
f(x),
определенные
значениями
в
узлах
заданной сетки
.
2. Вопрос о классе
аппроксимирующих функций, т.е. какими
функциями
будет аппроксимирована функцияf.
Во-первых, аппроксимирующая функция
должна отражать характерные особенности
аппроксимируемой, а во-вторых, быть
достаточно удобной в обращении, т.е. при
выполнении над ней необходимых операций.
В численном анализе
широкое применение имеют 3 группы
аппроксимирующих функций. Первая –
функции вида 1, х, …,,
линейные комбинации которых порождают
класс всех много членов степени не вышеn.
Вторую группу образуют тригонометрические
функции
и
,
порождающие ряды Фурье, и интеграл
Фурье. Третья группа состоит из
экспоненциальных функций
,
определяющих явления типа распада и
накопления, часто встречающихся в
реальных ситуациях.
Принимаем в качестве
аппроксимирующей функции многочлен
некоторой степени n.
В этом случае функция имеет вид
.
3. Вопрос о близости
аппроксимируемой и аппроксимирующей
функций, т.е. о выборе критерия согласия,
которому должна удовлетворять функция
.
Одним из
распространенных критериев согласия
является критерий
Чебышева,
основанный на понятии расстояния как
максимальной величины отклонения
функции f
в узлах.
.
Наибольший интерес
представляет частный случай, когда для
аппроксимирующей функции расстояние
.
Это означает, что для табулированной
функцииy=f(x),
заданной значениями
(табл. 2) требуется построить
аппроксимирующую функцию
,
совпадающую в узлах со значениями
заданной функцииу=f(x),
т.е. такую, что
.
Таблица 2. Структура табличного задания функции
|
|
…. |
|
|
|
…. |
|
Такой способ
аппроксимации, основанный на критерии
совпадения f
и
в узлах
,
называется интерполированием (или
интерполяцией). Если аргумент, для
которого определяется приближенное
значение функции, принадлежит отрезку
,
то задача вычисления значение функции
в точке х называетсяинтерполированием
в узком смысле.
Если же аргумент х
находятся вне отрезка
,
то поставленная задача называетсяэкстраполированием.
Геометрически
задача интерполирование для функции
одной переменной y=f(x)
означает построение на плоскости Х0У
кривой, проходящей через точки с
координатами
.
Приведем еще один
пример критерия согласия. Введем понятие
расстояния между функциями f
и
как суммы квадратов их отклонений в
узловых точках:
.
Выберем в качестве
аппроксимирующей функции ту, для которой
минимально. Этот критерий целесообразно
использовать в случае большого количества
информации, заданной с невысокой
точностью. Метод аппроксимации, основанный
на данном критерии, называютметодом
наименьших квадратов.
К достоинствам этого метода следует
отнести простоту и стройность его
математической теории.
4. Вопрос о
погрешности, т.е. об определении разности
между точным и приближенным значениями.
В конечном итоге качество метода
определяется быстротой получения
решения с требуемой точностью (скоростью
сходимости). На первый взгляд вопрос о
точности получаемого решения кажется
довольно простым: необходимо, чтобы
приближенное решение отличалось от
точного не более чем на заданное
.
Однако вопрос о возможности сколь угодно
точного приближения функцииf
в общем
случае остается открытым и подлежит
исследованию для каждого конкретного
аппроксимационного процесса.
Лекция № 10