![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Оглавление
- •Лекция № 1
- •1. Особенности математических вычислений, реализуемых на эвм: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений
- •1.1. Дискретизация
- •1.3. Погрешность
- •1.4. Устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени)
- •2.1. Основные понятия линейной алгебры. Классификация методов решения
- •2.2. Метод исключения Гаусса. Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
- •2.3. Численные методы решения линейных уравнений
- •2.3.1. Метод прогонки
- •2.3.2. Итерационные методы
- •3.1. Решение нелинейных уравнений
- •3.1.1. Метод половинного деления
- •3.1.2. Метод простой итерации
- •3.1.3. Метод Ньютона
- •3.1.4. Метод секущих
- •3.1.5. Метод парабол
- •3.2. Методы решения нелинейных систем уравнений
- •4.1.Функция и способы ее задания
- •4.2 Основные понятия теории приближения функций
- •4.3 Интерполяция функций
- •4.3.1 Интерполирование с помощью многочленов
- •4.3.2 Погрешность интерполяционных методов
- •4.3.3 Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •4.3.4 Конечные разности
- •4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
- •4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
- •4.3.7 Разделенные разности
- •4.3.8 Интерполяционный многочлен Ньютона для произвольной сетки узлов
- •4.3.9 Итерационно-интерполяционный метод Эйткина
- •4.3.10 Интерполирование с кратными узлами
- •4.4 Равномерное приближение функций. Приближение методом наименьших квадратов
- •5.1. Численное дифференцирование
- •5.2. Формулы численного интегрирования
- •5.3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей для численного решения дифференциальных уравнений
- •Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов
- •5.4. Преобразование Фурье
- •5.4.1 Применения преобразования Фурье
- •5.4.2 Разновидности преобразования Фурье Непрерывное преобразование Фурье
- •Ряды Фурье
- •Дискретное преобразование Фурье
- •Оконное преобразование Фурье
- •Другие варианты
- •5.4.3 Интерпретация в терминах времени и частоты
- •5.4.4 Таблица важных преобразований Фурье
- •Библиографический список
4.3.5 Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя
Рассмотрим задачу
построения интерполяционного многочлена
для функции f,
заданной своими значениями
и
равномерной сетки с шагомh.
Пусть точка х*
расположена вблизи некоторого узла,
который обозначим
.
Требуется построить интерполяционный
многочлен четной степени. В качестве
узлов интерполирования следует выбрать
сетку, симметричную относительно узла
:
Введем новую
переменную t,
с помощью которой начало отсчета
переводится в точку
:
;
(4.21)
при этом
.
Используя средние
арифметические соседних конечных
разностей одного и того же порядка
,
можно получить интерполяционный
многочлен Стирлинга, обычно обозначаемый
:
(4.22)
Так как многочлен
Стирлинга является лишь новой формой
интерполяционного многочлена Лагранжа,
построенного по узлам
,
то его остаточный член относительно
переменнойt
можно представить в виде
;
, (4.23)
а оценку погрешности
приближенного значения
(погрешности метода) – в виде
, (4.24)
где
.
Пусть теперь точка
интерполирования
лежит между узлами
и
в близи точки
.
Требуется построить интерполяционный
многочлен нечетной степени. Тогда
сетка, минимизирующая погрешность,
симметрична относительно точки
,
т.е. относительно точки
.
На сетке
можно получитьинтерполяционный
многочлен Бесселя,
обычно обозначаемый
:
(4.25)
Так как многочлен
Бесселя является еще одним представлением
интерполяционного многочлена Лагранжа,
построенный по узлам
,
то его остаточный член относительно
переменнойt
можно записать в виде:
,
(4.26)
а оценку погрешности
приближенного значения
(погрешности метода) – в виде:
, (4.27)
где
.
Итак, рассмотрено два интерполяционных многочлена: многочлен Стирлинга, который используется при построении многочлена четной степени и строится по нечетному числу узлов, и многочлен Бесселя, который используется при построении многочлена нечетной степени и строится по четному числу узлов.
Если же степень многочлена фиксирована не жестко, т.е. может быть как четной, так и нечетно, то целесообразно использовать многочлен Стирлинга в случае, когда
, (4.28)
т.е. когда точка
интерполирования
расположена ближе к узлу
,
чем к середине между узлами. Многочлен
Бесселя следует использовать в случае,
когда
, (4.29)
т.е. когда точка
интерполирования
расположена ближе к середине между
узлами
и
.
Одно из условий (4.28) или (4.29) всегда может
быть обеспечено выбором соответствующего
узла в качестве
.
4.3.6 Интерполяционные многочлены Ньютона
Если точка
интерполирования
находится в начале или в конце таблицы,
то не всегда возможно выбрать достаточное
количество узлов слева и справа от
для построения необходимых конечных
разностей. В этом случае используются
специальные формы интерполяционного
многочлена.
Пусть точка
расположена в близи первого узла сетки
. рассмотрим переменнуюt,
определяемую соотношением (4.21), и построим
интерполяционный многочлен.
Первый
интерполяционный многочлен Ньютона
обычно обозначается
.
. (4.30)
Остаточный член относительно переменной t можно представить в виде:
;
, (4.31)
а оценку погрешности
приближенного значения
(погрешности метода) – в виде:
, (4.32)
где
.
Пусть точка
расположена вблизи последнего узла
сетки
.
Для этой сетки, снова используя переменнуюt,
определяемую соотношением (4.21), построим
интерполяционный многочлен.
Второй
интерполяционный многочлен Ньютона
обычно обозначается
.
. (4.33)
с остаточным членом
,
(4.34)
и оценкой погрешности приближенного значения
, (4.35)
где
.
Формулы (4.30) и (4.33) часто называют соответственно интерполяционными формулами Ньютона для интерполирования вперед и назад.
Лекция № 12