Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Парная линейная регрессия (с демо)

.doc
Скачиваний:
60
Добавлен:
09.05.2015
Размер:
638.98 Кб
Скачать

Парная линейная регрессия

Предварительные расчеты:

; ; ; ; ;

; .

Построение таблицы вида

x

y

xy

…………

……….

………

……..

………

………

Среднее значение

Формулы для расчетов параметров:

, .

При компьютерном подборе использовать встроенную функцию Линейн

Оценка тесноты связи:

а) коэффициент корреляции , или ;

При компьютерном подборе использовать встроенную функцию Коррел

б) коэффициент эластичности ;

в) коэффициент детерминации .

Оценка значимости уравнения регрессии в целом:

Предварительные расчеты с построением таблицы вида

x

y

…………

……….

………

……..

………

………

а) F-критерий Фишера при числе степеней свободы и и уровне значимости 0,05 смотреть в таблице. Расчетное значение критерия:

.

Если расчетное значение F- критерия больше табличного, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется, и делается вывод о существенности этой связи.

б) Средняя ошибка аппроксимации

.

Оценка значимости параметров регрессии:

а) Стандартная ошибка параметра a рассчитывается по формуле

, где .

б) Стандартная ошибка коэффициента регрессии b рассчитывается по формуле

.

в) Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле

.

t-критерий Стъюдента при числе степеней свободы и уровне значимости 0,05 смотреть в таблице.

Фактические значения t-статистики:

, , .

Если фактическое значение по абсолютной величине превышает табличное, гипотезу о несущественности параметра регрессии можно отклонить, параметр признается значимым.

Связь между F-критерием Фишера и t-критерием Стъюдента выражается равенством

.

Расчет доверительных интервалов для параметров регрессии:

Доверительный интервал для параметра a определяется как ;

доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как .

При компьютерном анализе использовать в Excel Сервис/Анализ данных/Регрессия.

Интервальный прогноз на основе линейного уравнения регрессии:

Пусть – прогнозное значение факторного признака; – точечный прогноз результативного признака. Тогда

а) средняя ошибка прогноза :

;

б) доверительный интервал прогноза

.

Практические рекомендации по выполнению расчетов

с помощью табличного редактора MS Excel

Активизация надстройки Пакет анализа

Для активизации надстройки Пакет анализа необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать команду Сервис/Надстройки.

2. В появившемся диалоговом окне установить флажок Пакет анализа.

В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо:

1. Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии .

2. Оценить тесноту связи зависимой переменной (результативного фактора) с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.

4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

5. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

6. Используя коэффициент эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющего фактора на результат.

7. Выполнить точечный и интервальный прогноз результативного признака при увеличении объясняющего признака на 25% от его среднего значения (достоверность прогноза 95%).

8. На одной диаграмме изобразить поле корреляции исходных данных и прямую регрессии.

Пример

Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.

Цена программы,

тыс. долл., y

8

5

4,9

4

3,8

3,5

3,8

3,7

3,6

3,5

3,4

3

3

Число

слушателей, чел., x

5

10

12

15

20

22

25

30

35

36

40

50

60

I. Вводим исходные данные в документ Excel.

II. Вызываем надстройку Анализ данных в меню Сервис.

III. Выбираем инструмент Регрессия.

IV. Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия.

V. После нажатия Ок получаем протокол решения задачи.

VI. Анализируем полученный протокол.

1) Коэффициент регрессии ;

Свободный член уравнения регрессии .

Примечание. При необходимости результаты округляются с нужной точностью. Требование по округлению можно провести изначально, задав количество знаков после запятой в меню Формат ячейки.

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид: .

2) Коэффициент корреляции , что свидетельствует о тесной связи признаков y и x. Коэффициент детерминации . Полученное уравнение регрессии объясняет 53% вариации признака y, остальные 47% изменчивости этого признака обусловлены влиянием неучтенных в модели факторов.

3) Оценим статистическую значимость (надежность моделирования) уравнения в целом. Расчетное значение критерия Фишера указано в протоколе, . Критическое значение этого критерия можно найти с помощь статистической функции FРАСПОБР табличного редактора Еxcel.

Входными параметрами этой функции являются:

– уровень значимости (вероятность), имеется в виду вероятность ошибки отвергнуть верную гипотезу о статистической незначимости построенного уравнения регрессии. Как правило, выбирают уровень значимости, равный 0,05 или 0,01;

– число степеней свободы 1 – совпадает с количеством параметров при переменной в уравнении регрессии, для парной линейной регрессии это число равно единице;

– число степеней свободы 2 равно для парной линейной регрессии , где n – объем исходных статистических данных.

Выполняем действия Вставка/Функция, выбираем нужное.

Поскольку расчетное значение F-критерия больше табличного, равного 4,84, нулевая гипотеза об отсутствии значимой связи признаков x и y отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

4) Оценим статистическую значимость параметров a и b в уравнении регрессии с помощью t- критерия Стъюдента.

Расчетные значения статистики Стъюдента , . Соответствующее табличное значение можно определить через статистическую функцию СТЪЮДРАСПОБР, число степеней свободы равно .

Поскольку фактические значения по абсолютной величине превышают табличное, равное 2,2, гипотезу о несущественности параметров регрессии можно отклонить.

5) Определим среднюю ошибку аппроксимации, . Понадобится выполнение вспомогательных расчетов, оформленных в виде таблицы.

x

y

8

5

5,440500341

31,99374573

5

10

5,143440944

2,868818882

4,9

12

5,024617185

2,543207862

4

15

4,846381547

21,15953867

3,8

20

4,54932215

19,71900394

3,5

22

4,430498391

26,58566831

3,8

25

4,252262752

11,90165138

3,7

30

3,955203355

6,897387976

3,6

35

3,658143958

1,615109941

3,5

36

3,598732078

2,820916526

3,4

40

3,361084561

1,144571747

3

50

2,766965766

7,767807796

3

60

2,172846972

27,57176761

Среднее

4,092307692

27,69230769

12,66070741

Таким образом, средняя ошибка аппроксимации по данному уравнению регрессии составляет 12,66%, модель парной линейной регрессии можно признать удовлетворительной и пригодной для прогнозирования.

6) Выполним количественную оценку влияния фактора x на фактор y, используя коэффициент эластичности. Для парной линейной регрессии его можно найти по формуле . Имеем

.

Следовательно, при увеличении количества слушателей на 1% годовая цена уменьшится на 0,4%.

7) Выполним расчет прогноза y при увеличении фактора x на 25% от среднего.

Прогнозное значение .

Точечный прогноз признака y: .

Средняя ошибка прогноза равна ,

где – остаточная дисперсия, –дисперсия фактора x.

Численное значение суммы в протоколе обозначено как остаточное SS.

Тогда , .

Самый быстрый способ получения вспомогательных характеристик – среднего значения фактора x и - дисперсии, воспользоваться инструментом Описательная статистика в пакете Анализ данных.

Протокол вывода результатов имеет вид

Имеем .

Тогда .

Доверительный интервал прогноза: , где – соответствующее табличное значение критерия Стъюдента (найдено ранее по функции СТЪЮДРАСПОБР, ).

Следовательно,

;

,

т.е. можно быть уверенным на 95%, что цена годового курса при 35 слушателях будет варьироваться в указанных пределах (при точечном прогнозе цены в 3,65825 тыс. долл.).

8) Для построения диаграммы выполним следующие действия:

Шаг 1 Вставка/ Диаграмма/График

Шаг 2 Далее/Диапазон/Выделить столбец исходных значений фактора y

Шаг 3 Ряд/Добавить/Значения/Выделить столбец регрессионных значений фактора – .

Шаг 4 Подписи оси X/Выделить столбец значений x.

Шаг 4 Каждому из рядов присвоить имя, подписать оси координат и название диаграммы.

Примечание.

Для построения диаграммы значения фактора x должны быть отсортированы по возрастанию с сохранением соответствующего значения y. Это может быть сделано так Данные/Сортировка/Выделить столбец, в котором необходимо сделать сортировку. Например,

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

x– энерговооруженность на 10-ти предприятиях, кВт;

y– производительность труда, тыс. руб.

x

2,8

2,2

3

3,5

3,2

3,7

4

4,8

6

5,4

y

6,7

6,9

7,2

7,3

8,4

8,8

9,1

9,8

10,6

10,7

Вариант 2

x– энерговооруженность на 10-ти предприятиях, кВт;

y– производительность труда, тыс. руб.

x

3,2

3,7

4

4,8

6

5,4

5,2

5,4

6

9

y

8,4

8,8

9,1

9,8

10,6

10,7

11,1

11,8

12,1

12,4

Вариант 3

x– качество земли, баллы;

y– урожайность, ц/га.

x

32

33

35

37

38

39

40

41

42

44

y

19,5

19

20,5

21

20,8

21,4

23

23,3

24

24,5

Вариант 4

x– качество земли, баллы;

y– урожайность, ц/га.

x

45

46

47

49

50

52

54

55

58

60

y

24,2

25

27

26,8

27,2

28

30

30,2

32

33

Вариант 5

x– товарооборот;

y–издержки обращения по отношению к товарообороту.

x

7

10

15

20

30

45

60

120

y

10

9

7,5

6

6,3

5,8

5,4

5

Вариант 6

x– электровооруженность на одного рабочего;

y– выпуск готовой продукции на одного рабочего.

x

2

5

3

7

2

6

4

9

8

4

y

3

6

4

6

4

8

6

9

9

5

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.