37.Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.

Процесс решения нелинейных уравнений разбивается на два этапа: Отделение корней, Уточнение корней

Отделение корней нелинейного уравнения.

О1. Корень отделен на отрезке , если и других корней в этом отрезке нет. При этом называется отрезком изоляции корня .

Отделить корни уравнения - значит для каждого из корней найти свои отрезки изоляции.

О2. Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа называется уточнением этого корня.

Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число такое, что . Тогда с точностью до .

Если отрезок изоляции корня найден, то любое число из него можно взять в качестве приближенного корня. Например, . Пусть – длина отрезка. Поскольку , концы отрезка являются приближениями к с точностью до . Легко проверить, что имеет точность до , т.е. обладает лучшей характеристикой точности.

Чем меньше длина отрезка изоляции, тем выше точность приближения, однако с помощью используемых для отделения корней приемов получить отрезок достаточно малой длины трудно. Нужны специальные методы уточнения корней. Далее будет рассмотрено несколько таких методов, которые реализуют следующие два способа поиска приближенного корня с заданной точностью :

1. Последовательно уменьшая длины отрезка изоляции корня по какому-либо правилу, отыскивается отрезок такой, что и . Тогда приближенным корнем требуемой точности будет середина отрезка.

2. Строится последовательность чисел , сходящаяся к корню . Как только окажется , можно положить . Такая последовательность называется последовательностью приближений, а определяющий её метод – методом последовательных приближений.

Первый способ удобен тем, что позволяет легко устанавливать завершение процесса уточнения, поскольку отрезки изоляции и их длины на каждом шаге вычислений известны.

Непосредственную проверку условия из второго способа проводить не удается, ибо известен только корень . В то же время для каждого метода последовательных приближений есть возможность получить неравенства вида

(2)

Здесь – числовое выражение, значения которого при каждом характеризуют степень близости приближения к корню, обеспечиваемую данным методом. Из (2) следует, что за условие окончания процесса приближений можно взять неравенство: .

Неравенство (2) позволяет решить и задачу определения абсолютной погрешности каждого приближения , ибо ясно, что .

Таким образом, отделить корни, значит задать такие отрезки, на которых корень существует и он единственный. Полученный отрезок будет интервалом неопределенности корня, а половина длины отрезка – оценкой абсолютной погрешности. Отделение корней обычно производится графически и (или) аналитически.

Графический способ отделения корней уравнения (1) заключается в поиске таких отрезков , внутри которых находится абсцисса точки пересечения графика функции с осью , т.е. нуль функции .

А) Графический метод.

Суть метода заключается в построении графика функции f(х) для нелиней­ного уравнения вида f(х)=0. На графике выделяются отрезки, на которых есть один единственный корень (точка пересечения функцией оси X). При необходи­мости выяснить поведение функции строится график части отрезка в увеличенном масштабе. Если в каком-то месте функция асселирует (скачет) также нужно увеличить масштаб.

Графический способ применяется наиболее часто. Обычно с него и начинают отделение корней, однако он не обладает большой точностью, и потому cделать окончательные выводы на его основе не всегда удается.

При схематическом изображении графиков можно ошибиться в выборе отрезка изоляции корня. Это случается, когда необходим отрезок небольшой длины или корни расположены близко. Здесь надо учесть, что последующие методы уточнения требуют от функций определенных свойств в окрестности корня. Чем мельче отрезок, тем вероятность выполнения этих свойств выше. Бывает также, что на некоторых участках области определения уравнения графики функции располагаются настолько близко, что установить факт их пересечения или количество пересечений трудно.

Таким образом, результаты графического метода необходимо проверять и уточнять. Делается это аналитическими методами.

Б) Приближенный аналитический метод (проверка изменения знака).

Основа метода – теорема мат.анализа:

Т1: (первая т. Больцано-Коши) Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , причем на концах его принимает значения разных знаков, т.е. . Тогда существует по крайней мере одна точка , в которой значение функции равно нулю.

Т.е. если функция меняет знак на отрезке, то на этом отрезке она меняет корень.

Мы можем разбить весь отрезок на n частей, и проверить на каких частях функция меняет знак. Эти отрезки можно считать отрезками отделённых корней.

Приведем примерный алгоритм отделения корней уравнения аналитически:

1. Задается отрезок [а,b], на котором необходимо отделить корни функции f(х).

2. Задается начальное значение n и строится сетка х_i =а+ih, h=(b-a)/n, i =0,1,2,...,n. Сетка делит отрезок на n частей с помощью n+1 точки.

3. Вычисляется значение функции f(х_i)=f_i, и вычисляется произведение значе­ний функции на концах отрезка f_i*f_i+1, i =0,1,2,...,n+1.

4. Подсчитываем количество отрицательных произведений и запоминаем от­резки, где произведение отрицательно или равно 0. Число таких отрезков k. Каждый из таких отрезков должен содержать хотя бы 1 корень.

5. Увеличиваем n в два раза и повторяем процедуру. Получаем новое количе­ство отрезков (корней) k_i.

Если {k<k₁  k=k₁ и повторяем п.5 {k=k₁  выход

Итерационные методы

Все итерационные методы можно считать частным случаем, метода простой итерации.

Для метода простой итерации нелинейное уравнение вида необходимо превратить в уравнение явного вида . Такое превращение можно сделать следующим способом:

Где k – любая положительная или отрицательная константа. Для нашего метода она выбирается из особого условия сходимости метода. Вычисления по итерационной формуле начинают с :

- итерационная последовательность.

Вычисления по итерационной формуле проводят в три основных этапа:

1. Определение начального приближения из условия сходимости.

2. Организация вычисления последовательности (итерационной или рекуррентной) по правилу.

3. Прерывание вычислений производится при достижении косвенной оценки погрешности |x_k-x_k-1|<d.

Сходимость метода.

В общем случае сходимость итерационной последовательности зависит от и начального приближения . Она может сходиться и иметь предел или расходиться (не имея предела). Если предел -ет:

То он является решением нашей функции, а метод называется сходящимся. Опыт показывает, что возможен случай, когда метод сходится и расходится. С мат. точки зрения эта ситуация сходна с сжимающими отображениями. Если отображение сжимающее, то последовательность сходящаяся. Если условие сжимаемости не выполнено, то возможны два варианта:

1. через некоторое время элемент последовательности попадёт в зону сжимающегося отображения , и последовательность будет сходиться, но уже к другому корню.

2. последовательность уйдёт на бесконечность. В этом случае она ни когда не сойдется.

Если задана функция , то у корней может находиться некая область, где отображение сжимается, - это область сходимости. Если корень попал в такую область сходимости, то выбрав в качестве начального приближения любую точку этой области мы получим в пределе корень. Если выбрать вне этой области - не найдём. Если вокруг корня нет области, то получить его нельзя.

Функцию надо подбирать так чтобы вокруг нужного нам корня была область сходимости.

В итерационном методе хорд пользуются формулой

Чебышев предложил рассматривать не функцию f, а функцию обратную к ней:

+ . .

Для k+1 –го элемента формула метода Чебышева:

Если x – начальное приближение к корню, то элементы данного ряда дают последовательное приближение:

1. е приближение: и т.д. В рекуррентной форме получаем формулу Ньютона:

Формула Ньютона соответствует методу касательных Ньютона. Фактически, производная функции определяет наклон касательной, т.е. в каждой точке мы берём касательную к заданной функции – метод касательных – предельный случай метода хорд.

Комбинированный метод

При исследовании данных методов была доказана следующая особенность: соответствующее приближение метода Ньютона и хорд дают значения, лежащие с разных сторон от корня. Поэтому создан комбинированный метод: каждое приближение в нём считается дважды (методом хорд и методом Ньютона), а затем берётся среднее. Сходится комбинированный метод быстрее метода Ньютона.

Сравнение методов.

Сравнение методов показывает, что итерационные методы обычно вычисляют быстрее, зато они связаны с проверкой условия сходимости, что усложняют алгоритм.

Таким образом, если задача простая, то лучше использовать конечные методы или методы обратной интерполяции.

По скорости (быстроте сходимости) : 1. метод Чебышева 2. Комбинированный метод 3. Метод Ньютона 4. метод Хорд, 5. метод простой итерации, 6. метод дихотомии (хотя, подбирая формулу метода простой итерации можно добиться, чтобы он медленно сходился).

Особенность метода Чебышева в том, что можно построить формулу любого приближения:

1-е – метод Ньютона,

2-е – формула Чебышева

и каждое новое приближение считается как уточнение предыдущего.

Уточнить корни можно вручную либо с помощью ЭВМ. Очевидно, что вручную лучше вычислять как можно меньше раз (сложные формулы). Значит, для ручных вычислений лучше использовать метод Чебышева, или обратную интерполяцию.

При расчетах на ЭВМ лучше использовать более простой и устойчивый метод: метод дихотомии, а для более сложных расчетов – метод Ньютона или комбинированный.

38.Реш-е СЛУ: точные методы Решение СЛУ: итерационные ме­тоды

ЧМ решения СЛУ

СЛУ запис-ся след образом . Коэф-ты образуют матрицу А сис-мы. Неиз-ные–вектор столбец неизвестных, В-вектор столбец правой части . В матричн. Форме СЛУ запис-ся след образом АХ=В. Иногда испол понят расширен матрицы сист, котор образ-ся путем присоед-я вектора столбца справа и обозн .Эл-ты образ-ют главн диаг-ль матр, другие диаг-ли побочные. Для того, чтобы СУ имела 1 един реш-е необх, чтобы число урав было равно числу неизвестн; опред-ль матр А не равен 0.

L-матрицей наз матр, ниже главн диаг которой распо­лож только 0. U-матр наз матр, выше главн диаг-ли кото­рой располож только 0. L u U матр наз треугольными матр. Для численного реш-я СЛУ исп 2 типа методов - конечн и итерацион.

Конечн имеют строго определ кол-во операций.К ним относятся: М-д Гаусса, М-д полного исключения Жордано, Метод Халецкого. Кол-во операц в итерац методе завис от сх-ти этого метода.

Метод Гаусса

М-д Гаусса дел-ся на 2 этапа: прям и обратн ход. Прямой ход – с помощ эквивал-х преобраз-ний, не изменяющих реш-е сист, производ-ся исключение эл-тов, лежащих выше или ниже главн диаг. Сущ 2 вар-та:1. приведение матр к L(ниже гл.диог.0) или U(наоборот) виду; 2.в общем случае получить треуг матр.

Обратн ход исп для опред-я неиз-х . В кач-ве эквив преобраз, не изменяющих реш-е сист явл следующее преоб-ние матр :

1.делен или умнож строки на постоян число, большее 0

2.слож или вычит 2 строк

3.постр-е лин-х комбинац строк

4.перест-ка строк

5. переест-ка столб-в с одноврем измен-м индексов перем-х

Рассм процесс исключ прямого хода на примере получ-ия L-матр. Нужно исключ эл-ты, лежащ ниже главн диаг, при этом исключ-ем будет обращ-е в 0 этих эл-тов.Исключ-е произ-ся по столбцам, при этои базовым явл элемент главн диаг.

m=1,2,..,n-1

k=m+1,m+2,..,n

j=m,m+1,..,n

А для U-матр выпол

m=n,n-1…2

k=m-1,m-2,..,1

j=n,n-1,…,1

Точность выч-я по Гауссу опред-ся процессами округления в дан форме. Если диаг эл-т равен 0, то выч-ть нельзя, а если очень мал, то рез-т будет очень неточным. Сущ модификация м-да Гаусса за счет исп-я выбора главн эл-та. Главн эл-т – диаг эл-т, котор испол при вычисл.В процессе вычисл исп-ся все эл-ты главн диаг в кач-ве главн эл-тов, поэтому на главн диаг матр сист-мы желательно иметь макс по модулю эл-ты в своих столбцах или строках. Выбор такого эл-та может произ-ся либо перест-кой строк расшир матр, либо перест-кой столбцов. Во 2 случ необх переименовывать перем-ные. Чаще всего использ-ся 1 вар-т – переест-ка строк.

Т.о м-д Гаусса сущ 2 видов: просто м-д Гаусса и м-д Гаусса с выбором главн эл-та.

Расс обрат ход м-да Гаусса.Для L-матр:

k=n,n-1,n-2,..,1. Для U-матр:

k=1,2,.,n

М-д полного исключения Жордано

Жордан предложил исключ эл-ты не только выше, но и ниже главн диаг. В рез-те матр станов-ся полностью диаг-ной, т.е. все эл-ты кроме диаг-х равны 0.Для этого исключ можно восп той же формой. Но циклы в м-де Жордано по иному m=1,2,..,n-1; km; j=1,..,n. Обратн ход в м-де Жордано прост , i=1,2,..,n

Штрих обозн, что это эл-ты расшир матр, преобразованные после процедуры исключения

Замеч1.В принципе в м-де Жордано можно исп выбор главн эл-та, но при этом сама процедура выбора очень сильно услож-ся, т.к. необх брать эл-ты как выше, так и ниже главн диаг. 2. В м-де Гаусса 2 этапа-прямой и обратн ход. Прямой ход обычно требует больше операций, чем обратный. М-д Жордано не имеет прак-ки обрат хода, а сост из 2 прямых ходов. Далее рассм м-д Халецкого.В нем нет прямого хода, а 2 обратн, но при этом произ-ся предварит преобр-е исходн матр.

Метод Халецкого

М-д сост в разлож-и матр сист в произвед матр U и L, при этом эл-ты главн диаг l_ii=1. Сущ теорема алгебры, котор гласит, что для разлож произв матр А в произвед LU матриц необ и дост, чтобы все основн миноры были не равны 0. Для вырожд матр это условие . Для невырожд матр например , но любую невырожд матр можно путем перест-ки строк и столбцов привести к виду, в котором условие Сильвестра вып-ся, т.о перед разлож матр на LU нужно проверить ее на выпол-е условий сильвестра и при необ-ти произвести преобразование. Найдем формулы для опред-я эл-тов матр U и L. Выч-я будем производить последовательно по столбцам матр U и строкам матр L.

-столбцы матр U.

-строки матр L.

Особ-ть выч-я по найденным формулам сост в том, что необх выч-ть послойно. Сначала столбец U, потом строку L. Нужно учит, что в формуле для U - ij, а для матр L- ji.

Алгоритм м-да Халецкого следующий:

1. проверяем условие для матр сист её разложимости в произвед LU

2. послойно находим эл-ты матр L и U

3.проводим обратный ход для выч-я y_i

4. проводим обратный ход для выч-я x_i

Потенциально м-д Халецкого имеет наим кол-во операций по сравнению с м-дом Гаусса иЖордано, но реализац-я дан м-да имеет более сложн алг-мы. В то же время дан м-д может сильно экономить ресурсы компьютера,т.к. после получ матр UL , их можно хранить вместе в одной матр.

Сравнивая эти м-ды можно сделать вывод:

1.м-д Гаусса наибол. экономн вар-т, если сист рещ-ся 1 раз.

2.м-д Жордано удобен,если матр сист имеет много 0, а также в случ одноврем-го реш-я большого кол-ва уравн с 1 матр и разными столбцами правой части.

3.м-д Халецкого также наиб удобен при реш-и большого кол-ва уравн с одной матр сист.

ЧМ решения СЛУ

СЛУ запис-ся след образом . Коэф-ты образуют матрицу А сис-мы. Неиз-ные–вектор

-столбец правой части В. В матричн. Форме СЛУ запис-ся след образом АХ=В. Иногда испол понят расширен матрицы сист, котор образ-ся путем присоед-я вектора столбца справа и обозн .Эл-ты образ-ют главн диаг-ль матр, другие диаг-ли побочные. Для того, чтобы СУ имела 1 един реш-е необх, чтобы число урав было равно числу неизвестн; опред-ль матр А не равен 0.

L-матрицей наз матр, ниже главн диаг которой распо­лож только 0. U-матр наз матр, выше главн диаг-ли кото­рой располож только 0. L u U матр наз треугольными матр. Для численного реш-я СЛУ исп 2 типа методов - конечн и итерацион. Конечн имеют строго определ кол-во операций. Кол-во операц в итерац методе завис от сх-ти этого метода.

Итерационные м-ды реш-я СЛАУ.

При наличии сист уравн мы можем оперировать с понят-ми матр и вектора. Реш-е–это вектор в некот n-мер- ном лин прост-ве. В алгебре для векторов вводят числовую хар-ку-норму. В некот случ она имеет аналогию с длиной и расст. Норма должна удовл:

1.||αx||=||α|| ||x||

2.||x+y||||x||+||y||

3.||x||=0 x=0

Обычно определяют 3 разных нормы:

1.||x||₁= -первая норма

2. -бесконечная норма

3. -евклидова норма

Нормы векторов и матр д.б. согласованы с помощью

Итерац м-ды осн-ны на итерац-х послед-х прибл-х, т.е. есть некая ф-ция, позвол наход k-ое прибл-е через (k-1) прибл-е

. х⁽⁰⁾, х⁽¹⁾, х⁽²⁾,.. сх-ся к вектору х, если Т.к. оценить сх-ть такой посл-ти невоз-но, то польз-ся косвенной оценкой погрешности, по которой - условие выхода или прекращ итерации.

Метод простой итерации

Пусть задана СУ АХ=В, котор запис-ся . Выразим в этой сист в кажд урав-нии по 1 перем , где ;

-это матр, на диаг которой распол 0. У нас получилось Х=В’-A’X,

X^(k)=B’-A’X^(k-1)

В кач-ве нулевого прибл-я выбирают В’, т.е. Х⁽⁰⁾=В’. Сх-ть дан м-да, т.е. сущ-е предела посл-ти векторов док-ся теоремой.

Т: если матр сист А не вырожд и норма ||A’||<1, то дан м-д простой итерации будет сх-ся.

Замеч: т.о. сх-ть м-да прост итер-ии не завис от выбора нач приближ Х⁽⁰⁾, а зависит только от матр сист. Усл-ем сх-ти будет след формула ||A’||<1.В кач-ве нормы м.б. выбрана любая из 3 норм. По 1 норме норма матр равна сумме модулей эл-тов столбца, котор имеет макс сумму. По бескон норме норма равна сумме модулей эл-тов строки, среди которых выбир-ся макс. Т.о. получ. Что либо

Для всех строк

-условие диагон-го преобладания. Модуль эл-та главн диаг больше суммы модулей остальн эл-тов строки. Такое усл-е спр-во для всех строк.

В дан случ диаг эл-т д.б. больше по модулю суммы модулей остальных эл-тов столбца. Это св-во спр-во для всех столбцов. Если же норма =1, то сказать о сх-ти ничего нельзя. Алгоритм простой итерац:

1.выбир Х⁽⁰⁾=В’ и преобраз матр сист к итерац виду

2.используем итер фор-лу и наход следующ приближ

3.сраним по фор-ле

норму с задан погр-ю. Если усл-е выпол, то прекращ выч-е, в противн случ возвр-ся к пункту2.

Метод Зейделя

Зейдель предложил усов-ть итерац ф-лу путем исп-я уже получ-х элем-тов вектора Х, тогда

. Каждое приближение сх-ся быстрее, чем у простой итерац, поэтому весь м-д сх-ся гораздо быстрее, кроме того в случае, когда м-д прост итерац не сх-ся, м-д Зейделя иногда сх-ся.

Метод координатной релаксации

Этот м-д заключ в следующем: после уточнения каждой коорд-ты по м-ду Зейделя, произв-ся смещение в том же направлении(смещение компонентов в одном и том же направл), на релаксационную часть этого смещения. Т.о. приближения отыскив-ся из соотнош

D-диагон матр с эл-ми по диаг-ли

При A>0 целесообразно брать показ-ль релаксации -1<p<1, в случае 0<p<1 м-д релаксации обычно наз м-дом сверхрелаксации. В частности, во многих случаях оптим-ной знач парам-ра релак-ции р опред-ся экспериментально. Иногда р зависит от n и i. Заключаем, что при

-1<p<1 всегда

, где F₀(xⁿ)- ф-ция, равная

F(x)+(AX,X)==(A(x-X),x-X)

Метод минимальных невязок

Для решения линейных систем уравнений можно применять и различные методы поиска экстремумов. Проблема решения системы уравнений заменяется эквивалентной задачей нахождения экстремума функции n переменных.

Одним из примеров является метод минимальных невязок. Вектор невязок определяется следующим образом.

Очевидно, что если на место вектора (Х) подставить вектор решения, то второе слагаемое окажется равным вектору свободных членов и вектор невязок становится нулевым.

Таким образом, минимизация компонентов вектора невязок эквивалентна задаче решения уравнений. Что бы знак невязок не влиял на результат, минимизируют сумму квадратов невязок (скалярное произведение вектора на себя):

Запишем итерационную формулу поиска решения в следующем виде

где индекс k обозначает номер итерационного шага, тау – константа, которую нам необходимо определить, Δ^(k) (дельта) – вектор невязок на этом шаге.

Рассмотрим разность векторов невязок на двух последовательных шагах k и k+1

после подстановки имеем

Скалярное произведение этого вектора на себя имеет вид

Параметр тау можно выбрать таким образом, чтобы левая часть была минимальной. Условием экстремума является равенство нулю производной по тау правой части выражения

откуда,

Окончательно, k-ый шаг метода выглядит следующим образом:

1. Задается начальное приближение (Х^(k))

2. Рассчитывается вектор невязок

3. Рассчитывается параметр тау. Для этого перемножается матрица коэффициентов и вектор невязок. Затем вычисляется его скалярный квадрат и произведение на матрицу невязок.

4. Рассчитывается новое приближение к вектору-решению

5. Проверяется один из критериев сходимости и, при необходимости, происходит переход к пункту 2.

39. Численная интерполяция: методы Лагранжа и Ньютона.

Понятие аппроксимации и интерполяции. Интерполяционные полиномы. Полином Лагранжа. Оценка погрешности интерполяции. Полином Ньютона. Разделенные разности. Сравнение полиномов Лагранжа и Ньютона.

Интерполяция и аппроксимация функций

Аппроксимация – замена одной функции на другую, удовлетворяющую условию близости. Условие близости – строгое математическое ограничение, которое позволяет в идеале выбрать единственную функцию. Функция, которую заменяют при аппроксимации принято называть аппроксимируемой. Функцию, которой заменяют аппроксимируемую принято называть аппроксимирующей. Смысл аппроксимации в том, чтобы более сложную или неявную аппроксимируемую функцию заменить более простой аппроксимирующей. Поэтому аппроксимирующие функции, как правило, элементарные – полиномы, тригонометрические функции и т.д.

Интерполяция – вид аппроксимации, для которого условие близости – совпадение значений функций в отдельных точках (узлах интерполяции). Пусть задан отрезок [a,b] на котором строится интерполирующая функция L(x) для интерполируемой F(x). Этот отрезок разбиваем на n частей точками x_i = a+i*h –узлами интерполяции, где h = (b-a)/n. Это вариант равноотстоящих узлов. В общем случае узлы расположены произвольно, но при этом одна из точек совпадает с a, а другая с b. Пронумеруем точки так, чтобы они распределились по возрастанию: а= х₀  х₁  х₂  …  х_n = b. При этом необходимо, чтобы точки не совпадали между собой. В узлах интерполяции зададим значения интерполируемой функции y_i = F(x_i) . Значения индекса меняются i=0,1,2,…n-1. Таким образом, задаются 2 набора значений x_i, y_i , которые должны быть связаны условием интерполяции (условием близости) L(x_i) = y_i . Практически это совпадение функций L(x) и F(x) в узлах интерполяции. Этот вариант осуществляется, например, при построении графика функции по точкам. Принято приближение функции F(x) интерполирующей L(x) на отрезке [a,b] называть собственно интерполяцией, а вне данного отрезка экстраполяцией. Погрешностью интерполяции называют величину d(x)=|L(x) - F(x)| .

На графике видно, что в узлах интерполяции погрешность равна нулю. Между узлами интерполяции погрешность положительна и не равна нулю, а в областях экстраполяции быстро растет.

Существуют различные варианты интерполяции (полиномиальная, тригонометрическая, кусочно-сплайновая и др.), но наиболее употребительна интерполяция полиномами. Полиномом называют функцию вида . Здесь наивысшая степень n называется порядком полинома. Полином легко вычисляется (например, по схеме вычисления Горнера), дифференцируется и интегрируется. Ищем интерполирующую функцию в виде полинома Ln(x).

Запишем условие близости интерполяции:

- система уравнений первой степени для величин , где полином выражен формулой и -неизвестные коэффициенты, которые необходимо определить, а - степени узлов интерполяции (узлы заданы по условию).

Для получаем систему линейных уравнений -степень полинома, , где неизвестный коэффициент.

Полином Лагранжа

Лагранж предложил строить интерполяционный полином в следующем виде:

, где - узлы интерполяции, - исследуемая точка, - значение интерполируемой функции в узле i. Условие интерполяции для полинома Лагранжа . Полином Лагранжа удовлетворяет условию интерполяции.

Полином Лагранжа по сравнению с каноническим полиномом имеет важное преимущество – он вычисляется прямым способом, без решения системы уравнений. Это значительно облегчает вычисления. Кроме того, существует специальная вычислительная схема Эйткена, которая позволяет вычислять значения полинома Лагранжа быстрым способом (похожим на схему Горнера):

L_012…n(x) = [(x-x₀)*L_12…n(x) - (x-x_n)*L_012…n-1(x)]/[x_n –x₀]

Здесь L_012…n – полином n порядка по всем узлам, L_12…n - полином n-1 порядка по узлам от 1 до n-го, L_012…n-1 - полином n-1 порядка по узлам от 0 до n-1. Таким образом, схема расчета ведется по увеличению степени полинома. Минимальная степень n=0, тогда полином просто равен значению функции.

Замечание. Следует учитывать, что интерполяционный полином N-го порядка, заданный на N-1 узле интерполяции единственный. Поэтому вычисления полинома Лагранжа или полинома Ньютона дают одинаковый результат. Но форма полиномов и расчет их отличается, поэтому отличается погрешность и скорость вычисления. Вычисление по схеме Эйткена не выделяют вид полинома, поэтому эта схема вычисляет некий абстрактный интерполяционный полином.