33.Математические модели в физике, химии, биологии и экономике

Мы будем рассматривать в данном разделе аналитические модели. В аналитических моделях вход. и выход. Параметры связаны явными выражениями: уравнениями, неравенствами и т.д. Если мы решаем системы уравнений Колмогорова-Эрланга, это аналитическое моделирование, если же мы останавливаемся на графовой модели и проводим статистический эксперимент, определяем как обслуживает система поток заявок, то это имитационное моделирование. Для решения аналитической модели обычно приходится применять численные методы решения задач, но некоторые модели дают и аналитическое решение, т.к. для решения разных математических задач используются разные методы, иногда аналитические модели делят по методам (интегральные, дифференциальные, линейные и т.д.), но обычно по сферам применения (физические, химические, биологические, педагогические, технические). Рассмотрим некоторые примеры аналитической мат. моделей, которые являются наиболее простыми и в то же время классическими.

Математические модели в физике и технике

В физике моделирование в основном используется для описания процессов в производстве, связанных с решением дифференциальных уравнений и частных производных. Все другие модели, это обычно упрощенный вариант этих процессов. Основой для построения моделей являются следующими законами и уравнениями:

• - уравнение Лапласа( – 2-ая производная)(описывает поведение электрических и магнитных полей, упругость);

• -уравнение Пуассона(используется в механике);

• - уравнение теплопроводимости;

• - волновое уравнение, это частным случаем может быть названо уравнением колебаний.

• - оператор Лапласа в декартовой системе координат.

Часть уравнений записывается в одномерном виде или с помощью радиус-вектора

;

2. Модель колебательной системы

Рассмотрим ее от простого к сложному. В качестве примера могут служить очень многие окружающие на предметы, где важна вибрация (двигатели). Колебания свойственны и электрическим системам. Будем считать, что у нас одномерные колебания (вдоль одной оси).

Положение предмета определяется одной координатой х, уравнение будет .

Решение этого диф. уравнения хорошо известно, оно представляет из себя

Колебания Гармонические со сдвигом фазы, незатухающие.

Усложняем модель - вводим затухание

(К- коэффициент затухания)

Если К мало (К<<1), то решение не будет сильно отличаться. Решение системы приводит к возникновению .

К=0,1- затухание хорошо видно (переодич.). При увеличении К ()- апериодическое затухание, когда нет ни одного периода.

Дальше Усложняем задачу- введение периодичность внешней силы

Собственная частота , частота внутри силы р. Когда частоты равны, получаем резкое увеличение амплитуды колебаний - резонанс, . Если резонанс производить при колебании, собственные колебания затухнут, останутся вынужденные с частотой вынужденной силы.

К<<1, W>>p.

Модуляция. Внутри собственные колебания, их амплитуда моделируется с частотой собственных колебаний (биения)

Если К<0, м.б. (т.к. она только мешает) – параметрический резонанс.

Фактически параметрический резонанс при отрицательном затухании - это получение энергии извне. Процессы собственных колебаний важны, когда колебания паразитные (вредны), когда делают демпферы (делают затухания апериодичными).

Пример: рессоры автомобиля (обычно полезны для раскачки колебаний).

Резонанс может быть отрицательным и положительным по значению. Излучение электромагнитных волн основано на резонансах, как обычных, так и параметрических. Излучение и прием электромагнитных волн резонансные. Параметрический резонанс выгоден тем, что гораздо мощнее обычного. Это удобное средство для генерации, например, СВЧ-колебаний (магнитофон). Для параметрического резонанса собственная частота не нужна, поэтому можно вкачивать энергию до самого разрушения этого резонатора. Но может быть и вред, разрушение, что неприятно.

Модуляция – основа радиосвязи. Есть несущая частота, которую модулируют, а потом де модулируют. Звук низкочастотен (36 КГц), а радиоволна распространяется на высокой частоте, значит, нужны мегагерцы. Есть амплитудная, фазовая и частотная модуляция. Эффект биений обычно вредный, мешающий – это источник шума. Иногда с помощью биений делают специальные шумовые генераторы.

Модель теплопроводности тонкого слоя

стекло (тонкое, длинное), - температура будет равномерна, следовательно. гранич. Обычно это уравнение не решается в явном виде, а с помощью клеточной аппроксимации. Решая эту систему уравнений, мы находим значения в узлах сетки. Подобным же способом моделируются другие задачи теплопроводности, электростатики и электродинамики. Основная проблема – сложность вычисления, поэтому требуются мощные ЭВМ.

Еще одна модель – движение тела, брошенного под углом к горизонту. Для ее решения используют так называемый метод стрельбы, он уже близок к имитационному моделированию.

Еще – модель движения ракеты:

- уравнение Циолковского.

Кинетические и структурные модели в химии

В химии в основном распространены модели химических реакций и строение модели хим. соединений. Для хим. реакций самое важное –кинетика, т.е. изменение течение реакций со временем, т.е. чем быстрее идет реакция, тем меньше остается реагирующего вещества, и наоборот. В начале ХХ века Адольф Лотка сформулировал модель кинетических реакций, которая была названа модель Вольтерра-Лотки. Цепочка превращений веществ:

Получена система диф. уравнений. Эти уравнения по смыслу похожи на уравнения Колмогорова- Эрланга. Это показывает, что то были тоже кинетические уравнения и все кинетические процессы похожи друг на друга.

В химии кинетические уравнения усложняются тем, что величины не являются постоянными, а зависят от таких величин как ,

химический состав веществ (температура подчиняется закону теплоемкости, р зависит от диффузии, которая определяется уравнением - закон диффузии Фика. Похожее соотношение имеет и закон фильтрационного переноса Дарси). В результате приходится решать одновременно с кинетической еще и эти сложные уравнения.

В химии большое значение имеют структурные модели молекул: Н-О-Н, особенно удобна для органических веществ (у них очень сложная структура).

При изучении нового хим. вещества делают новый хим. анализ - определяют пропорции содержащие тех или иных веществ. Тогда можно определить из каких атомов состоит молекула, но и от того, как они соединены. Вводится валентная связь. Одни атомы имеют 1-ю валентную связь, другие 2-ю и т.д. Были обнаружены изомеры вещества с одинаковым количеством молекул, но с разными свойствами.

2 задачи:

• Определить внутреннюю структуру молекулы и связать ее структуру и хим. свойства, т.е. изучение изомеров.

• Проектирование изомеров - научиться создавать устойчивые структуры для молекул различных видов и давать их предположит. свойства.

Обе эти задачи стали настолько популярны в органической химии, что даже были созданы специальные системы моделирования молекул.

Математические модели в биологии

Биология чрезвычайно связана с химией и биохимией => структурное моделирование из химии перешло и в биологию. Биологические структуры – очень сложные химические структуры => появилась наука биохимия, которая изучает химию биологических структур. Здесь методы структурного моделирования оказались очень полезны. Наиболее известные задачи, связанные с моделированием генов.

Гены – молекулы, из которых формируется так называемые информационные компоненты живых существ-ДНК, РНК. В основном гены уже изучены и известны, но остались вопросы какие гены входят в ту или иную ДНК и как они связаны между собой. Т.к. даже в простейшем ДНК генов десятки тысяч, возник мировой проект «модель ДНК» , сначала у простейших существ, теперь человека (завершение) . Структурное моделирование- ведущее в биохимии.

Модели внутривидовой борьбы

Особи одного вида конкурируют между собой. В начале, когда особей мало, а условия благоприятные идет быстрый рост популяции, ограничения наступают из-за борьбы между особями одного вида. Самой первой простой моделью стала модель роста – модель безудержного роста. В этой модели отсутствует внутривидовая конкуренция, она будет модернизироваться.

Чем больше a, тем меньше рост, однако, и эта модель не могла описать некоторые явления, которые возникали в реальных экосистемах. В некоторых системах возникали колебания численности из года в год. Ввели еще один параметр, усложнили модель

Коэффициент b определяет нелинейную зависимость скорости роста R от численности. Численное изучение этой модели позволило обнаружить 4 характерные ситуации:

• - монотонный рост

• - ситуация затухающих колебаний

• - ситуация незатухающих колебаний

• - ситуация флуктуаций (случайных изменений)

Данные модели дискретные, но можно построить и непрерывную, кинетическую, ее уравнение:

. при этом r – некий аналог скорости. Эта двухпараметричная модель называется логистической кинетической моделью (модель Вольтера - Лоттки).

Модели межвидовой конкуренции

Если сосуществуют 2 вида, которые активно воздействуют друг на друга, то возникают процессы межвидовой конкуренции и борьбы. Наиболее известна модель (кинетическая) Вольтера - Лотки конкуренция двух видов:

Коэффициенты определяют связь между 2 видами. Если, то увеличение особей второго вида идет к уменьшению особей первого вида. Второй вид подавляет первый. Если, то особи второго вида не влияют. Очевидно, чем больше волков, тем меньше зайцев. В модели 6 параметров – ее изучение очень сложно, поэтому обычно фиксируют часть параметров. В общем случае изучение этой параметрической модели показало, что популяции хищников и жертв испытывают циклические изменения. В биологии очень часто используют так же имитационное моделирование.

Имитационное моделирование в биологии

Модель «жизнь»

В ней имитируется размножение простейших существ, задаются некоторые ограничения на размножение, гибель и т.д., а затем запускается эксперимент и прослеживается динамика со временем. Простейший вариант (школьный). Берем таблицу клеток пустых и заполненных (живых). Задаются правила, например если живая клетка окружена 4 и более живыми, то она погибает от перенаселения, если возле нее один или нет, погибает от одиночества. Если к мертвой примыкает 3 живые, она оживает. Эксперимент:

- задается начальная случайная конфигурация живых клеток

- задается количество моментов времени, которое будет прослежено

- в цикле по моментам времени производят обновление таблицы по заданным правилам, и наблюдают за изменением картинки. Подобные системы изучались, и оказалось, что в такой таблице могут существовать устойчивые конфигурации, которые не разрушаются.

Модели в экономике

Экономические науки – одна из наиболее важных сфер применения моделирования, именно здесь модели дают наибольшую эффективность, например если оптимизировать в одной модели траты всего государства, эффект будет выражаться в миллиардах долларов. Можно выделить следующие типы моделей:

• - модель ЛП (линейные) – модель ресурсов, запасов и т.д.

• - модели, построенные на транспортной задаче (распространение и перевозка грузов)

• - модели целочисленного программирования (результат принадлежит области целых чисел, количество человек, число заводов и т.д.) – модели первого типа с целочисленными параметрами.

• - модели динамического программирования – в основном связанные с развитием какого-либо производства, фирмы и т.д.

• - игровые модели, связанные с противоборством, конкуренцией.

• - прогностические модели, связанные с прогнозом ситуации при недостатке информации или случайных событиях.

• - модели автоматического управления (сделать систему управления оптимальной)

• нелинейные модели решаются только в отдельных случаях.

34. Стохастическое моделирование. Метод Монте-Карло в моделировании. Генерирование случайных и псевдослучайных чисел. Методы и алгоритмы генерации. Генерирование случайных чисел распределенных по экспоненциальному, нормальному и произвольно заданному закону распределения.

Стохастическое программирование – раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимальной модели методами математического программирования, т. е. путем поиска максимума или минимума некоторых функций при заданных ограничениях (условная оптимизация) и без ограничений (безусловная оптимизация). Решение оптимизационной задачи называется оптимальным решением, оптимальным планом, оптимальной точкой.

Случайные величины характеризуются средними значениями, дисперсией, корреляцией, регрессией, функция распределения и т.д.

Статистическое моделирование – моделирование с использованием случайных процессов и явлений.

Существует 2 варианта использования статистического моделирования:

– в стохастических моделях может существовать случайные параметры или взаимодействия. Связь между параметрами носит случайный или очень сложный характер.

– даже для детерминированных моделей могут использоваться статистические методы. Практически всегда используются статическое моделирование в имитационных моделях

Модели, где между параметрами существует однозначная связь и нет случайных параметров называются детерминированными.

Детерминированные процессы – определенные процессы, в которых всякие процессы определены законами.

Человек считает все процессы детерминированными, однако со временем обнаружены случайные процессы. Случайный процесс – это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена.

Исследование процессов показало, что они бывают 2-х типов:

а) Случайные по своей природе процессы;

б) Очень сложные детерминированные процессы;

Доказана центральная теорема, в соответствии с которой сложение различных процессов увеличивает случайный характер. Так, если сложить совершенно разные последовательности, не связанные между собой, то результат в пределе стремится к нормальному распределению. Но известно, что нормальное распределение – независимые события, следовательно, объединение детерминированных событий в пределе ведет к их случайности.

Т.о. в природе не существует совершенно чисто детерминированных процессов, всегда есть смесь детерминированных и случайных процессов. Действие случайного фактора называется “шумом”. Источники шума – сложные детерминированные процессы (броуновское движение молекул).

В имитационном моделировании часто сложные процессы заменяют случайными, следовательно, для того чтобы сделать имитационную модель, нужно научиться моделировать случайные процессы методами статического моделирования. Представляют случайные процессы в КМ последовательностью случайных чисел, величина которых случайно меняется.

В статистическом моделировании очень часто используется метод статистических испытаний Монте-Карло. Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Суть метода: для того, чтобы определить постоянную или детерминированную характеристику процесса можно использовать статический эксперимент, параметры которого в пределе связаны с определяемой величиной. Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину , математическое ожидание которой равно : . Практически же поступают так: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений ; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве оценки (приближенного значения) искомого числа: .

Рассмотрим суть метода на примерах его использования: