Числа Стирлинга второго рода
-
n
k
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
2
0
1
1
0
0
0
0
0
3
0
1
3
1
0
0
0
0
4
0
1
7
6
1
0
0
0
5
0
1
15
25
10
1
0
0
6
0
1
31
90
65
15
1
0
7
0
1
63
301
350
140
21
1
Числа Белла определяются как сумма всех разбиений от 0 до n блоков множества n-X:
. (3.34)
Первые восемь чисел Белла в таблице 3.2.
При посчете числа разбиений необходимо иметь в виду, что числа Белла растут очень быстро. Так, например, уже при n = 20 Bn = 51 724 158 235 372.
Таблица 3.2
Числа Белла
-
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Bn
1
1
2
5
15
52
203
877
Разбиение чисел
Под разбиением
числа n
понимается его представление в виде 
.
При этом порядок слагаемых не существенен,
а 
Суммы считаются эквивалентными, если они отличаются лишь порядком слагаемых.
Число разбиений числа n на k слагаемых будем обозначать P(n, k), число всех разбиений – P(n).
Очевидно, что
-
k
Разбиения n
P(n, k)
1
7
1
2
6 1
3
5 2
4 3
3
5 1 1
4
4 2 1
3 3 1
3 2 2
4
4 1 1 1
3
3 2 1 1
2 2 2 1
5
3 1 1 1 1
2
2 2 1 1 1
6
2 1 1 1 1 1 1
7
1 1 1 1 1 1 1
1
Рис. 3.8
Рассмотрим пример. Пусть необходимо получить все разбиения числа n=7. Это возможно сделать различными способами, показанными на рис. 3.8.
Разложение P(n) в сумму P(n, k) делает наглядной структуру разбиений числа n, однако вычисление значений P(n) непосредственно по формуле (3.36) не всегда возможно, поскольку сами значения P(n, k) заранее, как правило , не известны.
Для подсчета P(n) удобно воспользоваться функцией Q(m, n), значением которого является число способов представления целого m в виде суммы при условии, что каждое слагаемое не превосходит n. Число разбиений целого n равно Q(n, n)= P(n).
Теорема. Пусть Q(m, n) – функция, значением которой является число способов представления целого m в виде суммы при условии, что каждое слагаемое не превосходит n. Тогда функция Q(m, n) удовлетворяет следующему рекурсивному определению:
При исследовании свойств чисел P(n) могут также оказаться полезными диаграммы Феррерса. Диаграммы Феррерса состоит из k строк, соответствующих слагаемым разбиения, причем i-ая строка содержит последовательность из xi точек.
Например, разлагая 7 на четыре слагаемых, имеем одну из диаграмм Феррерса.
7=3+2+1+1
Каждому разбиению, изображенному диаграммой Феррерса соответствует сопряженное разбиение, которое получается заменой строк столбцами.
7=4+2+1
Непосредственно из определения диаграммы Феррерса следует, что число разбиений числа n на k слагаемых равно числу разбиений числа n с наибольшим слагаемым, равным k.
Получим алгоритм генерирования всех разбиений числа n.
Пусть 
Обозначим 
такое, что
,
где 
Для построения этого алгоритма достаточно заметить, что разбиение s’, непосредственно следующее за s, имеет вид
где символами [s/j] обозначено наибольшее целое, не превосходящее s/j.
При этом все
элементы разбиения 
являются общими как для s,
так и для s’.
Инициация алгоритма осуществляется значениями i=1, ai=n, j=n-1, k=1.