Разбиения
Разбиения не были рассмотрены среди типовых комбинаторных конфигураций, потому что получить для них явную формулу не так просто, как для остальных.
Пусть 
есть разбиение множества Х из m
элементов на n
подмножеств:
,
,
,
при 
Подмножества
называются
блоками разбиения.
Между разбиениями
и отношениями эквивалентности существует
взаимнооднозначное отношение. Если 
и 
- два разбиения Х, то говорят, что разбиение
есть измельчение разбиения 
,
если каждый блок 
есть объединение блоков 
.
Если k=2,
упорядоченное разбиение множества М
на два подмножества, имеющие соответственно
и 
элементов, определяется сочетанием
(без повторений) из n
элементов по 
или из n
элементов по 
(
).
Следовательно, число разбиений R(
,
)
равно биноминальному коэффициенту 
.
Таким образом,
В общем случае
число 
упорядоченных разбиений (
),
для которых 
,
равно 
,
а число R(n,
k)
упорядоченных разбиений на k
подмножеств вычисляется по формуле
Числа 
называются полиномиальными коэффициентами,
поскольку для всех 
справедливо соотношение
Пример. В студенческой группе, состоящей из 25 человек, при выборе старосты за выдвинутую кандидатуру проголосовали 12 человек, против – 10, воздержались – 3. Сколькими способами могло быть проведено такое голосование?
Пусть М
– множество студентов в группе, 
- множество студентов, проголосовавших
за выдвинутую кандидатуру, 
- множество студентов, проголосовавших
против, 
- множество студентов, воздержавшихся
от голосования. Тогда 
- упорядоченное разбиение множества M.
Искомое число R(12,
10, 3) равно 
.
Число 
разбиений исходного множества M
на k
подмножеств 
,
,
неупорядоченных между собой, вычисляется
по формуле
,
а число всех возможных разбиений множества M на k подмножеств, неупорядоченных между собой, равно
Пример. Сколькими способами из группы в 25 человек можно сформировать 5 коалиций по 5 человек?
Пусть X
– множество людей в группе, 
- число коалиций по i
человек, где i=1,…25.
Тогда по условиям задачи 
,
и, следовательно, искомое число будет
равно 
Теорема. Пусть S(n, k) – число разбиений множества n-X на k блоков. Тогда вычисление S(n, k) может быть выполнено рекурсивно на основе тождеств:
если 
,
если n=0, 
,
если n>0.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим множество всех разбиений n-X на k подмножеств.
Это множество
можно представить двумя пересекающимися
классами: тех разбиений, которые содержат
одноэлементный блок {n},
и тех, которые его не содержат. В этом
случае n
содержится по крайней мере в двухэлементном
блоке. Мощность первого класса равна
,
т. е. такова, каково число разбиений
множества {1, 2, …,n-1}
на k-1
блоков. Мощность второго класса равна
,
поскольку каждому разбиению множества
{1, 2, …,n-1}
на k-1
блоков соответствует в этом классе
ровно k
разбиений, образованных добавлением
элемента n
поочередно к каждому блоку. Доказательство
окончено.
Числа S(n, k) называются числами Стирлинга второго рода. Рассчитанные по формулам (3.31)-(3.33), они могут быть представлены в виде треугольной таблицы – треугольника Стирлинга. Треугольник Стирлинга для значений n от 0 до 7 представлен в таблице.
Таблица