45. Комбинаторные объекты дискретной математики. Алгоритмические задачи комбинаторики. Задача коммивояжера.

В комбинаторном анализе изучаются различные объекты, порождаемые элементами из конечного множества А={}, и числовые характеристики этих объектов. Часто рассматриваются, например, упорядоченные или неупорядоченные подмножества множества А, подмножества с повторяющимися элементами из множества А и т. д. Вместе с классами таких комбинаторных объектов естественным образом вводятся и так называемые комбинаторные числа, задающие число объектов в том или ином классе и зависящие от некоторых параметров, например, от мощности исходного множества А и мощности рассматриваемых подмножеств множества А.

Размещения элементов. Пусть А = {}. Размещением элементов из А по k (или размещением из n элементов по k) называется упорядоченное подмножество из k элементов множества А.

Для А = {} размещениями из А по 3 будут, например, {}, {}, {}.

Обозначим число размещений из n элементов по k через A(n, k). При построении конкретного размещения первым элементом в нём можно взять любой из n элементов множества А, вторым элементом — любой из n — 1 оставшихся в А элементов и т. д. Поэтому

A(n, k) = n(n-1)...(n-k+1) при 1 < k < n.

Или

При k > n не существует размещений из n по k, следовательно, A(n, k)= 0 при k >n; при k = 0 полагаем A(0,0) = A(n,0)= 1. Нетрудно заметить, что для чисел A(n, k) выполняются тождества

A(n, k) = n A(n-1, k-1)

A(n, k) = A(n, k-1)(n=k+1)

Перестановки элементов. Перестановками элементов множества А = {} (или перестановками из n элементов) называются всевозможные упорядоченные множества из n элементов

Для A ={a₁,a₂,a₃} перестановками будут: {a₁,a₃,a₂}, {a₂,a₁,a₃}, {a₂,a₃,a₁}.

Перестановки из n элементов — частный случай размещений из n элементов по n. Поэтому

P(n)=n!

Сочетания элементов. Сочетанием элементов из А = {} по k (или сочетанием из n элементов по k) называется неупорядоченное подмножество из k элементов множества А.

Для А — { a₁,a₂,a₃} всевозможными сочетаниями по 2 элемента будут {a₁,a₂}, { a₁,a₃}, { a₂,a₃}.

В сочетании, в отличие от размещения, порядок следования элементов не учитывается. Поэтому из одного сочетания (из n элементов по k ) получается k размещений. Отсюда для числа C(n,k) сочетаний из n элементов по k получается формула

С_n^k=A_n^k/k!

C_n^k=(n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1))/k!

Из формул видно, что:

C_n⁰=1,

C_n¹=n,

C_n²=n*(n-1)/2=(n²-n)/2,

C_n³=n*(n-1)*(n-2)/6

...

C_n^n-1=n,

C_nⁿ=1.

Свойство 1. C_n^k=C_n^n-k (при всех n>=0 и всех k от 0 до n; обычно говорят кратко - "при всех n и k").

Доказательство: Их у этого свойства будет два: первое - из формулы, второе - комбинаторное рассуждение.

1.) C_n^k=n!/(k!*(n-k)!), а C_n^n-k=n!/((n-k)!*(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!*k!) - то же самое, что и C_n^k, ч.т.д.

2.) Когда мы выбираем k предметов из n, то n-k предметов мы оставляем. Если мы, наоборот, выбранные k предметов оставим, а оставленные n-k - выберем, то получим способ выбора n-k предметов из n. Заметим, что мы получили взаимно-однозначное соответствие способов выбора k и n-k предметов из n. Значит, тех и других способов поровну. Но одних а C_n^k, а других а C_n^n-k, поэтому они равны, ч.т.д.

Свойство 2. C_n+1^k+1=C_n^k+C_n^k+1, при всех n и k.

Доказательство:

1. C_n^k=n!/(k!*(n-k)!), C_n^k+1=n!/((k+1)!*(n-k-1)!), а C_n+1^k+1=

2. (n+1)!/((k+1)!*(n-k)!). Теперь приведем первые два равенства к общему знаменателю и сложим: C_n^k+C_n^k+1 = n!*(k+1)/((k+1)!*(n-k)!)+n!*(n-k)/((k+1)!*(n-k)!) = n!*(k+1+n-k)/((k+1)!*(n-k)!) = (n+1)!/((k+1)!*(n-k)!) = C_n+1^k+1, ч.т.д.

Размещением с повторением из n элементов по m или упорядоченной (n, m)- выборкой с возращениями называется любой кортеж элементов множества М, для которого .

Поскольку в кортеж на каждое место может претендовать любой из n элементов множества М, число размещений с повторениями равно :

.

Пример. Из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить трехзначных числа.

Определим отношение эквивалентности на множестве размещений с повторениями из n по m: ~для любого число элементов , равных c, совпадает с числом элементов , равных c.

Сочетания с повторениями элементов. Сочетанием с повторениями элементов из А={} по k (или сочетанием с повторениями из n элементов по k) называется неупорядоченный набор из k элементов, в котором элементы могут повторяться и каждый элемент сочетания встречается в А.

Другими словами, сколькими способами можно разместить эти предметы в ящиках, если разрешается помещать сколько угодно предметов в ящик.

Формула для числа сочетаний с повторениями:

Когда распределяем 2 предмета в один ящик, то можно сказать, что помещаем в два ящика по одному предмету.

Если мы добавим n-1 ящик, то любую комбинацию, при которой в ящиках по несколько предметов, можно представить в виде комбинации заполнения с помощью дополнительных ящиков по одному предмету. В результате необходимо величину m увеличить на n-1 и задача будет сведена к задаче без повторений.

Пример. Число различных бросаний двух одинаковых кубиков равно .