43.Транспортная задача: постановка задачи, поиск опорного плана, оптимизация решения.

Транспортную задачу решают особым способом. Пусть задано N поставщиков (А₁, А₂,..А_m). Эти поставщики отправляют продукцию получателям (B₁, B₂,..B_n).Каждый поставщик может привезти продукцию любому получателю, но по разной стоимости С. С- стоимость перевозчика от А_i к В_j и обозначается С_ij. Обозначим (а₁, а₂,..а_m) - запасы поставщика, (b₁, b₂,..b_n)- требования получателя. Новая задача называется сбалансированной, если сумма всех ресурсов равна сумме всех заявок. Если задача не сбалансирована, то её приводят к балансу.

1. ∑а_i < ∑b_j - не хватает товара на всех складах, надо ввести новый фиктивный склад такой , чтобы A_фик=∑b_j - ∑а_i , С_ф=∞

2. ∑а_i > ∑b_j - на складах больше продукции чем надо для магазинов, тогда вводим новый фиктивный магазин.

Общая задача: построить такой план перевозок x_ij из А_i в В_j , чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Кроме общего условия баланса надо сделать баланс по каждому магазину.

x₁₁ + x₂₁+…+ x_m1 = b₁

x₁₂ + x₂₂+…+ x_m2 = b₂

….......................

x_1n + x_2n+…+ x_mn = b_n

Условие баланса для складов

x₁₁ + x₁₂+…+ x_1n = a₁

x₂₁ + x₂₂+…+ x_2n = a₂

….......................

x_m1 + x_m2+…+ x_mn = a_m

Фактически это особый вариант задачи ЛП. Количество переменных n*m. Количество ограничений n+m-1 (базис), а n*m-n-m+1 вне базиса.

Эту задачу можно решать симплекс методом, но существуют более простые варианты решения.

2.Табличный метод решения транспортной задачи

Для решения транспортной задачи чаще всего используется табличный метод

В левом нижнем (или верхнем) углу каждой клетки записывается значение С_ij.- цена клетки. В правом углу клеток записываются текущие значения. Для того чтобы вносить меньше цифр, принять нулевые значения их не пишут, оставляют пустыми. Заполненная таблица называется планом перевозок.

Допустимый план - в котором по каждой строке и столбцу выполняется баланс. В этом случае удовлетворяются все ограничения.

Опорный план - в котором0 только m+n-1 клетки, т.е. базисные клетки, все остальные должны быть пустыми.

Особенности заполнения таблицы транспортной задачи:

сначала заполняется левый столбец и верхняя строчка;

затем вносятся балансовые столбец и строчка и считается сумма;

в верхнем правом углу каждой клетки записывается соответствующая стоимость ;

для матрицы х нулевые значения не пишутся;

последними записываются стоимости (записывается общая стоимость всего плана).

Если в этой таблице поставить вместо , так что по строке и по столбцу суммы были равны балансовым, то говорят, что построен «план перевозок» (те цифры, которые сходятся по балансу). Иногда этот план наз. допустимым планом.

По аналогии с симплекс методом можно сформулировать правило подобное правилу вершин: оптимальным планом будет являться один из опорных планов.

Т.о. имеет смысл по аналогии с симплекс методом построить начальный опорный план, а затем переходить от одного опорного плана другому, смежному.

Для получения начального опорного плана есть 2 метода:

1) метод северо-западного угла;

2) метод наименьших затрат.

Для получения нового опорного плана:

метод циклических перестановок;

метод потенциалов Контаровича.

Метод северно–западного угла.

Северо-западным углом называют клетку на пересечении первой строки и первого столбца.

стараемся максимально удовлетворить первого потребителя;

завершив первого потребителя, переходим на второго и т.д.

Т.к. баланс задачи выполнен, то дойдя до последнего поставщика, мы увидим последнего потребителя.

Главное достоинство этого метода состоит в том, что он работает при любых значениях баланса, стоимости, но план не оптимален.

Метод наименьших затрат

Этот метод логически более сложен, но план более оптимален.

Основная идея: прежде всего удовлетворить те потребности, которые стоят меньше.

ищем клетку с наименьшей стоимостью;

работаем с этим потребителе и поставщиком (одна строка и один столбец заполнены);

опять ищем наименьшую стоимость.

Нет гарантии, что план будет опорным. Тогда мы должны лишние клетки очистить, переместив перевозки в другие клетки с столбцах или строках.

Метод циклических перестановок

Клетки, которые располагаются в некотором прямоугольном цикле (замкнутом), можно переставлять. У каждого цикла есть стоимость:

В этом методе нужно искать циклы, у которых положительная цена.

Аналогично этот метод может быть использован, для перехода от одного опорного плана к другому.

Возможны следующие варианты:

если данный опорный план не оптимален, то следовательно хотя бы одну клетку можно заменить на другую пустую, чтобы стоимость всего плана стала меньше.

Нам выгодно отсортировать клетки по стоимости, чтобы они находились в разных столбцах. Внутри оптимального плана возможны перестановки между четырьмя заполненными.

Замечание: Недостатком метода циклов является неопределенность с клетками, которые необходимо использовать в цикле, поэтому Контарович предложил метод, с помощью которого можно находить такие клетки.

Метод потенциалов Контаровича

В этом методе оценивается потенциал пустых клеток таблицы транспортной задачи. Этот потенциал показывает можно ли, перемещая потоки в эту клетку улучшить план. Существует теорема о потенциалах:

Если к коэффициентам затрат сразу всего столбца или сразу всей строки прибавить фиксированное число, то потенциал свободных клеток не изменится.

правило нахождения оценки для свободных клеток:

1) для каждого столбца и для каждой строки нужно ввести фиксированные потенциалы: ; если они прибавляются к затратам и имеют отрицательные значения, чтобы эти коэффициенты стали равны нулю, то мы можем посмотреть какие при этом получатся величины в свободных клетках. Если получатся отрицательные величины, то ее потенциал меньше, чем у заданной клетке, если положительные, то больше.

Если менять по циклу данную клетку с клеткой с большим потенциалом, то план улучшится, и наоборот.

Мы получаем систему уравнений: (эти клетки не подходят для циклов)

(эти клетки подходят для улучшения плана)

2) обычно количество потенциалов больше, чем количество этих уравнений, в результате часть потенциалов оказывается неопределенными, тогда их либо обнуляют, либо подбирают так, чтобы количество отрицательных клеток было - минимальное значение.

В результате мы определяем все клетки, где затраты меньше суммы потенциалов, и пытаемся для этих клеток построить циклы. Если этот процесс будет происходить многократно, но на каком-то этапе клеток не окажется вообще, это значит, что мы нашли минимум издержек – оптимальный план.

Замечание: Следует учитывать, что оптимальное решение находится как базисное при котором количество ненулевых клеток фиксировано и минимально, при построении начального плана, план может быть не базисным. Иногда полученный план приводят к базисному не важно лучше это или хуже для общих затрат, тогда метод потенциалов работает наиболее эффективно, а циклы строятся так, чтобы клетки очищать полностью.