1. Численное интегрирование

В общем случае задача численного интегрирования сводится к нахождению интеграла с помощью приближенных формул. Численные методы при решении задачи интегрирования используются в следующих случаях:

а) Функция задаётся в виде таблицы значений или её значение вычисляется, как решение другой задачи (функция задаётся неявным видом).

б) Функция задана явно, но первообразную не возможно записать в явном виде.

Методы, используемые для решения задачи численного интегрирования можно разделить на однократные и многократные.

Однократный метод реализуется путем замены интегрируемой функции на ее аппроксимацию, которая имеет явную первообразную. Это дает возможность указать явную формулу для вычисления определенного интеграла.

Многократный метод - используем однократный метод, но весь отрезок интегрирования от а до b делим на n частей с шагом h=(b-a)/n c помощью точек .

На каждом участке [x_i-1, x_i] интеграл вычисляется однократным методом, а затем используя свойство аддитивности интегралов общий интеграл вычисляется как сумма интегралов на отдельных участках:

=.

Таким образом, основа формулы многократного метода – формула метода однократного. Смысл использования многократного метода – увеличение точности вычисления. Как правило формулы однократных методов таковы, что их погрешность быстро уменьшается при уменьшении отрезка интегрирования.

Одним из основных вариантов получения формул однократного метода является метод интегрирования интерполяционных полиномов. Если использовать полином Лагранжа, то получаются формулы, которые принято называть формулами Ньютона-Котеса:

- формула Ньютона – Котеса.

- коэффициенты Котеса. Для получения этого выражения для коэффициентов необходимо подставить в интеграл формулу полинома Лагранжа для равноотстоящих узлов. Затем делается замена переменных x’= n*(x-a)/(b-a) => и находим выражения, которые необходимо подставить в интеграл (x_i–x_j)=(b-a)*(i - j)/n, (x–x_j)=(b-a)*(x’ - j)/n, dx’ = n*dx/(b-a).

Свойства коэффициентов Котеса.

1. –нормировка

2. –симметричность.

–не зависят от пределов интегрирования.

Частные случаи формул:

1. Если порядок полинома n=0, то C₀ =1 => I= (b-a)*f(a) - формула левого прямоугольника или I= (b-a)*f(b) - формула правого прямоугольника.

2) Если n=1, то C₀ = C₁ = => I=(b-a)* - формула трапеции.

3) Если n=2, C₀ = C₂ =, = => I=*+, где точка с=(b+a)/2. это формула парабол или Симпсона.

Название этих формул имеет геометрический смысл. Как известно, интеграл равен площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью Х. Полином нулевого порядка – константа => его график прямая параллельная оси Х. Это значит, что в методе прямоугольников мы заменяем площадь фигуры прямоугольником. Его основание – отрезок интегрирования [a,b], а высота – значение функции f(x). Значение функции можно выбирать на левом конце отрезка f(a) или на правом f(b).

Для метода трапеций полином имеет 1-й порядок – это прямая, которая имеет наклон (f(a) + f(b)/2). Таким образом, мы заменяем площадь фигуры трапецией.

Для метода Симпсона полином имеет 2-й порядок – это парабола, которая должна проходить через 3 точки. Поэтому, мы вынуждены кроме точек a и b брать еще точку середины отрезка с=(a+b)/2.

Характерно, что формула трапеции может быть получена как среднее (полу сумма) формул левых и правых прямоугольников. Теперь эти формулы можно использовать для получения многократных методов.

–многократный метод левых прямоугольников h=

- многократный метод правых прямоугольников

- многократный метод трапеций.

Более сложно выглядит формула метода парабол. Здесь необходимо учитывать, что формула Симпсона требует не четного количества узлов (четного количества отрезков n), либо дополнительного включения промежуточных узлов. Таким образом, если число отрезков n- четно, то все узлы кроме крайних делятся на четные и нечетные:

Здесь суммирование ведется либо по узлам с четным, либо с нечетным номером.

Замечание. Следует учитывать, что для многократного метода погрешность является суммой погрешностей каждого отрезка. Поэтому, общая погрешность будет больше и даже уменьшится порядок точности.