02-03_-_kombinatorika_otnoshenia (1)

2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Комбинаторика занимается изучением свойств конечных конструкций или объектов, составленных по определенным правилам из элементов счетных множеств. Такие объекты будем называть комбинаторными объектами.

Рассмотрим несколько примеров:

1)последовательности десятичных цифр, образующих правильные записи, представляющие натуральные числа. В этом случае рассматриваемые конструкции собираются в виде записей, составленных из символов десятичных цифр, в которых допускается многократное вхождение одних и тех же символов ;

2)правильные записи математических выражений, составленных с помощью математических символов ;

3)разнообразные комбинации цветов (букеты) также

представляют собой примеры конструкций (заметим, что в данном случае правила составления букетов могут быть достаточно сложными и даже трудно объяснимыми );

4)радиоустройства, конструируемые как соединения различных радиодеталей, также можно рассматривать как комбинаторные объекты;

5)мозаики, составляемые из геоме трических фигур заданной формы.

К постановкам задач изучения комбинаторных объектов

приводят различные практические потребности в разнообразных областях деятельности.

Например, рассмотрим задачу нахождения вида полинома, получаемого после раскрытия скобок в выражении (x + y)k.

Понятно, что этот полином представляет собой сумму вида:

переменных xmyn .

Для нахождения значения произвольного коэффициента достаточно определить, сколькими разны ми способами в последовательности из k перемножаемых выражений ( x + y) можно выделить m таких, из которых в составляемое произведение входит

34

x. При этом из остальных m k выражений x + y произведения (x + y)k выбирается y.

Рассмотрим еще один пример. Пуст ь в продаже имеются 15 видов игрушечных автомобилей, из которых составляются подарки, содержащие по три разных автомобиля.

Сколько детей может присутствовать на новогоднем празднике так, чтобы каждый ребенок получил подарок, отличный от подарков для других детей.

Нетрудно видеть, что приведенная задача равносильна задаче нахождения числа трехэлементных подмножеств множества, состоящего из 15 элементов.

2.2. ВИДЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Вкомбинаторике решаются следующие основные типы задач:

1. Существует ли конструкция, которую можно построить из элементов данного множества по заданным правилам?

2. Как выглядит описание структуры всех комбинаторных объектов, обладающих заданными свойствами?

3. Как построить пример комбинаторного объекта, имеющего заданные свойства?

4. Как построить все комбинаторные объекты с заданными свойствами?

5. Сколько существует различных комбинаторных объектов, обладающих заданными свойствами?

Для получения ответов на перечисленные вопросы

используются специфические приемы представления и обработки комбинаторных объектов. Такая специфика определяется тем, что комбинаторные объекты, как правило, являются конечными и могут быть полностью представлены. Конечными или счетными оказываются и конкретные множества таких объектов.

По сравнению с традиционными объектами математики комбинаторные объекты могут иметь более сложную структуру и поэтому оказываются сложными для изучения. Для таких объектов характерно отсутствие непрерывности свойств, проявляющееся в возможности значительного изменения свойств уже при незначительных изменениях в самих объектах.

В настоящем пособии в основном будут рассматриваться задачи, связанные с построением комбинаторных описаний

35

объектов, обладающих заданными свойствами. Кроме того, будет рассмотрена задача определения числа таких объектов. Решение этих задач делает возможным принципиальное решение и других задач. Например, знание структуры описаний объектов из класса, в котором содержатся необходимые объекты, позволяет организовать перебор всех возможных объектов с целью нахождени я подходящих. При этом знание количества объектов заданной структуры позволяет оценить возможную продолжительность перебора.

Арифметические выражения и конструкции, позволяющие определять количество комбинаторных объектов с заданными свойствами, называются комбинаторными формулами.

2.3. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ

Существуют три правила, называемые основными комбинаторными правилами, на основе которых могут быть выведены другие специальные комбинаторные соотношения. Они связаны с подсчетом числа комбин аторных объектов, допускающих структурное представление в виде последовательностей или множеств, обладающих простыми свойствами.

1.Правило птичьих гнезд

Если имеются n + 1 птицы, которых необходимо

разместить в n гнездах, то при любом способе размещения х отя бы в одном гнезде окажется не менее двух птиц.

Для обоснования справедливости приведенного правила воспользуемся методом рассуждений от противного. Предположим, что данное правило неверно. Пусть после распределения птиц в каждом гнезде оказалось не бо лее чем по одной птице. Перенумеруем гнёзда, в которые попало по птице натуральными

числами 1, . . . , k. Поскольку в гнёзда попало всего k птиц и k n, то в гнёздах оказались размещены не все птицы. Из получаемого противоречия следует, что предположение о противном неверно, а, значит, верно правило птичьих гнёзд.

2. Правило умножения.

36

Пусть необходимо строить все возможные n элементные последовательности a1 , ... , an , для которых выполнены условия:

a) первый элемент таких последовательностей может быть выбран m1 способами;

b) если i < n, то для каждого способа выбора значений первых i элементов последовательности значение i+1-го элемента таких последовательностей может быть выбрано mi+1 способами.

Тогда число различных последовательностей a1 , . . . , an равно:

m1 m2 . . . m n.

Обосновать справедливость правила умножения можно, например, математической индукцией по значению n.

Базис индукции

Для n = 1 правило умножения является справедливым, так как существует ровно m 1одноэлементных последовательносте й, первый элемент которых можно выбрать m1 разными способами.

Индуктивное предположение

Пусть для n = k количество различных последовательностей, удовлетворяющих условиям правила умножения, равно m1 m2 ...

mk .

Индуктивный переход

Пусть n = k + 1. По индукт ивному предположению существует ровно m1 m2 ... mk различных последовательностей

длины k, удовлетворяющих условиям правила умножения, каждая из которых при добавлении еще одного элемента преобразуется в mk +1 различных последовательностей длины k+1, также удовлетворяющих условиям этого правила. Поэтому общее число последовательностей длины k+1 в mk +1 раз больше числа различных последовательностей, имеющих длину k. То есть всего таких последовательностей ровно m1 m2 ... mk mk +1.

3. Правило сложения

37

Пусть заданы непересекающиеся конечные множества A1 , ...

, Ak . Тогда мощность объединения этих множеств может быть определена по формуле:

Для обоснования справедливости правила сложения заметим, что в значении левой части записи правила каждый элемент

объединения непересекающихся множеств A1, . . . , Ak учтен ровно один раз. Значение в правой части правила учитывает все элементы каждого из множеств A1, . . . , Ak. Поскольку последние множества непересекающиеся, то всякий элемент их объединения учитывается в правом значении также ровно один раз. Это означает справедливость правила сложения.

Правило умножения основное для определения количества комбинаторных объектов. К нему сводятся различные вспомогательные комбинаторные соотношения и задачи, преобразуемые в семейства задач, решаемых с помощью этого правила.

Рассмотрим примеры задач, в которых применимо или неприменимо правило умножения.

Пример 1. Определить число различных двоичных наборов длины n, содержащих нечетное число единиц.

Решение

Очевидно, что если n 1, то первая цифра таких наборов может быть выбрана двумя разными способами. Для всякого i < n

1 и выбранного начала набора длины i значение следующей цифры набора может быть выбрано двумя способами . Если уже выбраны значения первых n – 1 цифр набора, то значение последней цифры может быть выполнено единственным способом так, чтобы дополнить сумму предшествующих цифр до нечетного значения. Поэтому условия правила умножения выполнены со значениями m1 ,

. . . , mn 1 , mn , равными 2, . . . , 2, 1. Следовательно, число двоичных наборов, содержащих нечетное число единиц, равно 2n 1 .

Пример 2. Сколько различных последовательностей десятичных цифр длины 12 можно составить так, чтобы каждая последующая цифра п оследовательности была не меньше предыдущей.

38

Решение

Понятно, что первая цифра в таких последовательностях может быть выбрана любой, а число выборов значения каждой последующей цифры в последовательности зависит от предшествующей ей цифры набора. Например, двухэлементная последовательность 2, 3 может быть продолжена 8 способами, а другую двухэлементную последовательность 2, 5 можно продолжить лишь 6 разными способами. Следовательно, для данной задачи условия правила умножения не выполнены. Поэтому для её решения, нельзя использовать правило умножения.

Правило сложения обычно применяется в случаях, когда множество комбинаторных объектов неоднородно, не может быть представлено конструкциями одной и той же структуры, для которой существует простая формула опред еления числа разных конструкций.

В таких случаях множество всех объектов разбивается на конечное число непересекающихся и более простых классов, в каждом их которых задача подсчета количества объектов может быть решена. Тогда число элементов исходного мно жества равно сумме мощностей всех непересекающихся классов, на которые было разбито исходное множество.

Рассмотрим пример задачи, решаемой с помощью правила сложения.

Пусть требуется определить число различных слов в английском алфавите, имеющих длину 7 и начинающихся либо с символов WH, либо с символа F. Напомним, что английский алфавит состоит из 26 символов.

Очевидно, что заданное множество слов распадается на две

части:

1)множество A1 слова, начинающиеся с WH;

2)множество A2 слова, начинающиеся с F.

С помощью правила умножения можно показать, что A1

содержит 265 различных слов, а A2 266 слов. Поэтому общее количество слов в рассматриваемом множестве равно

265 + 266 = 265 27.

2.4. РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ

39

По правилу умножения число таких размещений не зависит от множества A и равно значению произведения:

n (n 1) ... (n m + 1).

Для обозначения число размещений без повторений из n по m

В размещениях из n по m с повторениями каждый элемент такого размещения может быть выбран n способами. Поэтому по

правилу умножения число размещений с повторениями из n по m равно nm .

Число размещений с повторениями обозначается как Amn .

Следовательно, спра ведливо соотношение: Amn = nm .

Частным случаем размещений без повторений являются размещения всех элементов множества или перестановки элементов множества. Как следует из приведенных формул число

Pn перестановок эл ементов произвольного n элементного множества равно n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сочетанием из n элементов по m элементов n-элементного множества D называется всякая совокупность, состоящая из m элементов D.

Если множество D неизвестно или не уточняется, то говорят о размещениях из n по m.

Так же, как и для размещений, предполагается, что m 0. Если m = 0, то такое сочетание не содержит элементов, т.е. является пустым множеством.

Как следует из приведенного определения в сочетаниях, в отличие от размещений, важен тольк о состав входящих в них элементов, которые в составе сочетания не различаются межд у собой.

Сочетания могут быть с повторениями и без них.

В сочетании без повторений все элементы совокупности являются разными. Для существования таких сочетаний необходимо

41

выполнение дополнительного условия n m. Всякое такое сочетание может рассматриваться как подмножество того множества, из которого выбираются элементы сочетания. Поэтому множества всех сочетаний без повторений некоторого конечного множества и множество под множеств этого множества равны.

Из приведенных определений следует, что в сочетании с повторениями могут содержаться одинаковые элементы. Поэтому сочетания без повторений одновременно являются и сочетаниями с повторениями.

Рассмотрим примеры сочетаний

Если покупатель оплачивает сделанную в магазине покупку, то совокупность передаваемых кассиру денег может рассматриваться как:

a)сочетание без повторений, если оплата осуществляется только банкнотами, каждая из которых имеет уникальный номер;

b)сочетание с повтор ениями, если оплата осуществляется монетами, среди которых могут встречаться неотличимые монеты одного достоинства.

Выведем формулы для определения числа сочетаний из n по m с повторениями и без повторений .

1.Число сочетаний без повторений из n по m.

Пусть D это некоторое множество, состоящее из n элементов. Рассмотрим все размещения без повторений из n по m, составленные из элементов этого множества. Число таких

размещений равно Amn .

Компоненты каждого такого размещения определяют некоторое сочетание без повторений из n по m, составленное из элементов этого размещения. При этом размещения, отличающиеся лишь порядком вхождения значений, образуют одно и то же сочетание.

Поскольку размещения, соответствующие одному и тому же сочетанию являются перестановками элементов этого сочетания, то всякое сочетание порождается m! различными размещениями.

Обозначим число сочетаний из n по m без повторений как C mn . Поэтому имеет место равенство C mn m! = Amn .

42

Следовательно, справедлива следующая формула для числа

сочетаний без повторений: .

Пусть D это произвольное множество, содержащее n элементов. Тогда число m элементных подмножеств этого

n элементного множества равно 2n , то для сочетаний без повторений справедливо равенство:

C 0n + C 1n + ... + C nn = 2n.

Упражнение

Используя комбинаторные доводы доказать справедливость равенств:

1) (1 - x)r = C 0r x0 + ... + ( 1)i C ir xi + ... + ( 1)r C rr xr . 2) C mn = C nn m .

2. Число сочетаний с повторениями из n по m .

Пусть D = {a1, ... , an} некоторое множество. Сочетания с повторениями, содержащие по m элементов этого множества, будем представлять двоичными последовательностями длины n + m 1,

составленными из m нулей и n 1 единиц.

Двоичная последовательность, сопоставляемая отдельному сочетанию, состоит из n групп последовательно идущих нулей разделенных, n 1 единицами.

В i-й группе нулей, отсчитываемой слева направо, столько

нулей, сколько экземпляров элемента ai входит в выбранное сочетание. Если некоторый элемент не входит в сочетание без повторений ни одного раза, то соответствующа я ему группа нулей окажется пустой.

Например, если A = {a1, a2, a3 , a4 }, то сочетание с повторениями, содержащее 2 элемента a1 , 3 элемента a2 и 2 элемента a4 представляется двоичным набором:

(0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ).

43