02-03_-_kombinatorika_otnoshenia (1)

3. ОТНОШЕНИЯ

3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ОТНОШЕНИЙ

Пусть заданы множества А и B. Бинарным отношением на этих множествах (или отношением) называется всякое

которых принадлежит А, а вторая - множеству B.

Содержательно всякое отношение состоит из таких пар элементов, между которыми существует определенная смысловая связь. Например, пусть А это множество людей, а B множество наименований специальностей. Тогда множество всех таких пар, в которых первая компонента задает конкретного человека, а вторая

специальность, которой такой человек владеет, образует

отношение на А B. Для обозначения отношений в дальнейшем

будут использоваться строчные символы греческого алфавита:

, , , . . .

Если (a, b) , то в этом случае говорят, что элементы a и b находятся между собой в отношении .

Для записи факта, что элементы a и b находятся между собой

в отношении , используется также запись a b.

Одним из свойств бинарных отношений на произвольных множествах А и B является возможность взаимно однозначного соответствия между такими отношениями и бинарными предикатами, переменные которых принимают значения из множеств А и B соответственно.

Такое соответствие предикатов и отношений определяется следующими соотношениями.

1. Пусть А B. Ему соответствует такой предикат P(x, y), для которого переменные x и y принимают значения на множествах A и B, что P(x, y) является истинным для тех и только тех наборов значений переменных x и y, которые входят в отношение .

54

2. Пусть P(x, y) некоторый предикат, переменные которого принимают значения из множеств A и B соответственно. Этому

компонента которой равна x.

Отношения, для которых не выполнено последнее свойство, не являются графиками отображений. В этом случае имеет место один из случаев:

1)для некоторог о a A в нет пары с первой компонентой, равной a;

2)для некоторого a A в содержится не менее двух разных пар, первая компонента которых равна a.

3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ

Возможны несколько специальных с пособов задания отношений.

Представление отношений диаграммами

Пусть А B. Это отношение между элементами

множеств А и B. Если множества A и B счетные, то их можно представить на плоскости множествами точек из двух

непересекающихся областей, обозначаемых как A и B. Если (a, b)

, то точки, соответствующие a и b, соединяются ориентированной дугой. Такое представление аналогично диаграммам для отображений. При этом для диаграмм отношений допускается как

многозначность связи элементов A с элементами B, так и отсутствие связей.

55

В случаях, когда в отношение входит много пар из А B, или отношение обладает специальными свойствами изображение диаграммы отношения становится сложным для понимания. Поэтому могут прим еняться специальные правила уменьшения числа отображаемых связей. Например, в некоторых случаях не отображаются связи между элементами, для которых существует возможность связывания соответствующих им вершин с помощью последовательности уже изображенных дуг, проходящих через другие вершины.

Табличное задание отношений

Если множества A и B являются конечными и A = {a1 ,..., am },

B= {b1 , ... , bn }, то всякое отношение А B можно представить таблицей, состоящей из m строк и n столбцов, имеющей следующий вид :

В этой таблице значение всякого элемента i ,j определяется соотношением:

1, если (ai , bj )

i ,j =

0, если (ai , bj ) .

Всякая заполненная нулями и единицами таблица, состоящая из m строк и n столбцов, представляет некоторое отношение на

множествах A и B, составленное из всех таких пар ( ai , bj ), для

которых i ,j = 1.

Определенное соотношение таблиц и отношений на множествах является биективным. Табличное представление отношений удобно для программной реализации алгоритмов решения задач, связанных с отношениями.

56

Заметим, что произведение отношений является аналогом произведения отображений. Для того, чтобы увидеть такую

аналогию достаточно сопоставить произвольной функции f: A B отношение {(x, f(x)) x A}, которое называ ется графиком этой функции. Тогда, если отображение h является произведением отображений g и f, то график h произведением графиков для g и f.

Рассмотрим пример. Пусть A это множество людей, а C

отношение проживания в некотором городе. То есть, если справедливо соотношение a b, то это означает, что a знает b. Поэтому отношение представляет такие связи между людьми игородами, для которого справедливость соотношения

означает, что a имеет знакомого в городе

точное знание конкретного чел овека, связывающего a и c не

требуется, поскольку для выполнимости отношения a c важно лишь его существование.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть А B. Тогда отношение {( y, x) (x, y) } называется отношением, обратным к о тношению .

Для обозначения отношения, обратного к , применяется

запись 1 .

Понятие обращения отношений есть обобщение понятия обратного отображения. При этом обратное отношение всегда

существует. Поскольку ( 1 ) 1 = , то отношения и их обращения находятся в биективной зависимости. Поэтому обращение всякого отношения порождает в общем случае новое отношение, которое совпадает с ним с точностью до простого преобразования.

Например, рассмотрим отношение управления людьми руководит A A, где A множество людей, определяемое соотношением: a b a руководит b.

58

Тогда отношение, обратное к отношению руководит, можно назвать словом руководим. Такое название соответствует содержательному смыслу обратной связи между b и a.

Понятие отношения может быть обо бщено на произвольное конечное семейство множеств А1 , .., Аk следующим образом.

Отношением на произвольном числе множеств А1 , ... , Аk является всякое множество А1 ... Аk. Однако отношения

на парах множеств являются практически наиболее часто используемыми отношениями. Во многих случаях через такие отношения, с помощью специальных комбинаций отношений, могут выражаться отношения над более чем двумя множествами.

3.4. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

Отношение А А называется отношением на A. Такие отношения называются также бинарными отношениями на множестве A. То есть отношение на A это отношение межд у

элементами одного и того же множес тва A.

Для таких отношений можно выделить несколько специальных свойств.

1. Рефлексивность

Отношение А А является рефлексивным, если

a A ( a a ).

Простейшее рефлексивное отношение на A

состоящее из всех пар вида ( a, a), где a A. Такое отношение называется единичным отношением или диагональю и обозначается

как .

2. Симметричность

Отношение А А является симметричным, если

a, b A (a b b a).

То есть отношение А А симметрично, если для любых a и b из того что (a, b) следует, что пара ( b, a) .

Поэтому отношение несимметрично, если хотя бы для

одной пары (a, b) не выполняется указанное свойство. Нетрудно видеть, условие симметричности равносильно условию:

59

a, b A (a b b a).

3. Антисимметричность

Отнош ение А А антисимметричное, если

a ,b A(a b b a a = b).

То есть отношение А А является антисимметричным, если из (a, b) и (b, a) следует, что a = b.

Заметим, что антисимметричность представляет свойство несимметричности в сильной форме. Отношение антисимметрично, если оно несимметрично всюду за исключением п ар из единичного отношения . При этом не требуется, чтобы в антисимметричном отношении содержались все пары, компоненты которых совпадают. Поэтому существуют отношения, которые являются симметричными и антисимметричными одновременно. Такие отношения составлены парами, имеющими равные первую и вторую компоненты.

4. Транзитивность

Отношение А А транзитивное, если

a, b, c A(a b b c a c).

Отношение А А является транзитивным если из ( a, b) и

(b, c) следует, что (a, c) . Содержательно транзитивность состоит в том, что если осуществляется последовательный многократный переход меж ду элементами множества A, по связям

отношения , то между первым и последним элементами такого

перехода также выполняется отношение .

Упражнение. Доказать следующие свойства отношений: 1) рефлексивное ; 2) симметричное = -1;

3) антисимметричное -1 ;

4) транзитивное .

Упражнение. Является ли транзитивным бинарное отношение, на множестве { a, b, c, d, e, f} заданное диаграммой:

a d

b e

60

Рассмотрим несколько примеров отношений на множестве. Пусть A это множество всех людей.

Отношение = "дружить". Для этого отноше ния

справедливость условия ( a, b) означает, что a дружит с b. Это отношение симметричное, но оно нетранзитивное и нерефлексивное.

Отношение "любить" несимметричное и нетранзитивное, но, по-видимому, рефлексивное.

Отношение "быть родственником" рефлексивное, симметричное и транзитивное.

Отношение "руководить" антисимметричное, транзитивное и нерефлексивное.

Если А А некоторое отношение, то рефлексивным, симметричным, транзитивн ым замыканиями этого отношения

называются минимальные отношения на А, которые содержат и являются соответственно рефлексивными, симметричными и транзитивными.

3.5. ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Всякое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение А А, называется отношением эквивалентности.

Если отношение эквивалентности и a b, то элементы a

и b называются эквивалентными в этом отношении или просто эквивалентными.

Рассмотренное ранее от ношение "быть родственником" является отношением эквивалентности. Аналогично, отношением эквивалентности на множестве всех людей является отношение "быть однофамильцем". Это отношение связывает между собой людей с одинаковыми фамилиями, распределяя их по к лассам людей, каждый из которых состоит из всех людей, имеющих одну и ту же фамилию.

Для представления фундаментального свойства отношений эквивалентности введем понятие разбиения множества.

61

3) Ai = A .

i I

Здесь I это множество значений нижнего индекса множ еств разбиения. В разбиениях счетных множеств в качестве множества индексов I обычно применяется все или часть множества натуральных чисел.

Пусть A1 , ... , Ak, . . . разбиение множества A. Нетрудно проверить, что отношение на множестве A, определяемое соотношением: a b i ( a Ai & b Ai ) , является отношением

эквивалентности.

Следующая теорема показывает, что справедливо и обратное свойство.

ТЕОРЕМА 3.2

Всякое отношение эквивалентности на множестве A разбивает это множество на классы эквивалентны х элементов.

Доказательство

Разобьем доказательство теоремы на несколько этапов.

1. Построение разбиения, порождаемого отношением .

Пусть отношение эквивалентности на множестве A.

Для каждого x A обозначим как [ x] множество { y x y}. Поскольку отношение рефлексивно, то x [x], а, значит, каждое множество [ x] является непустым и система множеств [ x], где x

A, содержит все элементы A. Из семейства множеств {[ x] x A } удалим кратные вхождения одинаковых множеств. В результате

получим семейство непустых несовпадающих множеств R, в которых содержатся все элементы A.

2. Обоснование того, что R образует разбиение.

62

Пусть [ x] и [y] произвольные классы из семейства R. Покажем, что они либо не пересекаются, либо совпадают, т.е. возможны только два случая:

1) [x] [y] = ; 2) [x] [y] .

Предположим, что это свойство является неверным. То есть

для некоторых двух элементов x и y множества [ x] и [y] пересекаются, но не совпадают (рис 3.1).

c) из y z и z a и транзитивности имеем y a. Поэтому a [y], а, значит, [ x] [y].

2. Обратное включение [ y] [x] может быть доказано, если повторить проведенные рассуждения, поменяв в них местами x и y, а также a и b.

Следовательно, справедливо равенство множеств [ x] и [y]. Последнее противоречит предположению о том, что эти множества являются разными.

Это означает, система множеств R образует разбиение множества разбиение A.

3. Обоснование того, что R разбивает A на классы эквивалентных элементов .

63