02-03_-_kombinatorika_otnoshenia (1)

Покажем, что определенное ранее соотношение между сочетаниями с повторениями из n по m и двоичными

последовательностями длины n + m 1, содержащими по m нулей, является биективным.

Всякая двоичная последовательность длины n + m 1,

содержащая m нулей, разбивается входящими в неё един ицами на n последовательно идущих групп нулей, определяющих количества

вхождений элементов a1 , ... , an в m элементное сочетание с повторениями. Следовательно, соотношение сочетаний с повторениями и двоичных последовательностей является сюрьективным.

Покажем, что если = 1 , . . . , m+ n 1 и = 1 , . . . , m + n 1

две разные двоичные последовательности, то они представляют разные сочетания с повторениями. Пусть V1 , . . . , Vn и W1 , . . . , Wn

последовательностей является инъективным.

Поэтому, число сочетаний с повторениями и з n по m равно числу рассматриваемых двоичных последовательностей.

Легко проверить, что последних ровно столько, сколько имеется различных способов выбора из n + m 1 позиций в двоичных последовательностях, таких n 1 позиций, в которые записываются единицы. В каждом случае остальные позиции последовательности заполняются нулями.

Число способов выбора различных n 1 позиций, если

имеется n + m 1 разных позиций, равно: Cm . n m 1

Для обозначения числа сочетаний с повторениями из n по m применяется запись C mn . Поэтому справедлива формула:

C m = C m . n n m 1

Рассмотрим несколько примеров задач, приводящих к использованию сочетаний с повторениями.

44

1. Определить число способов составления бу кета из 7 гвоздик, если имеются гвоздики трех цветов.

Очевидно, что букеты как комбинаторные объекты представляют собой сочетания с повторениями из 3 по 7. Поэтому

число различных букетов равно C 73 .

2. Пусть имеется n одинаковых книг. Сколько может быть способов расстановки таких книг на шести полках книжного шкафа?

Очевидно, что всякая расстановка книг на полках

соответствует сочетанию с повторениями из 6 элементов по n. В таком сочетании содержатся номера полок. Число вхождений номера некоторой полки в сочетание равно количеству книг, помещенных на эту полку.

Поэтому число указанных расстановок книг на полках равно

C 6n .

2.5. РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ НА ЧАСТИ

Пусть задано множество S = {a1 , ... , an}. Требуется распределить элементы S по k именованным множествам S1 , ... , Sk так чтобы в S1 попало n1 элементов, в S2 n2 элементов, . . . , в Sknk элементов множества S. При этом всякий элемент множества

S попадает лишь в одно из множеств S1, ... , Sk. Поэтому справедливы соотношения:

Такое распределение элементов S среди множеств S1 , ... , Sk называется разбиением S на части, имеющие заданные мощности.

При этом множества, на которые разбивается S, являются именованными, то есть различаются не только по составу, но и по именам. Поэтому в задаче разбиения S на части важно не только выделение систем подмножеств с заданными мощностями, на которые распадается исходное множество, но и то какие множества образ уют какие части.

45

Рассмотрим несколько примеров задач, приводящих к разбиениям множеств на части.

1. Имеется 15 разных картин, которые требуется разместить в трех залах музея так, чтобы в первом зале было выставлено 6 картин, во втором 5 картин, в третьем 4 картины.

Всякое распределение картин по залам, с выполнением сформулированных условий, является разбиением множества из 15 картин на три части, мощности которых равны соответственно 6, 5,

4.

2. Требуется распределить 20 заданий поровну между пятью служащими.

Любое распределение заданий представляет собой разбиение множества всех заданий на 5 подмножеств, каждое из которых содержит четыре элемента.

Выведем формулу для нахождения числа различных разбиений конечного множества на части.

Пусть задано множ ество S = {a1 , ... , an}, которое требуется разбить на k подмножеств S1 , ... , Sk, содержащих соответственно по n1 , . . . , nk элементов.

Возьмем произвольную перестановку ai1 , . . . , ain элементов S. Для этой перестановки определим разбиение S на части, полагая, что первые n1 элементов в ней образуют множество S1 , следующие за ними n2 элементов перестановки образуют S2 и т.д. Последние

nk элементов перестановки образуют множество Sk. Приведённое правило определяет отображение множества перестановок элементов S во множество разбиений S на части.

Определим свойства этого отображения.

все элементы множества Sk , образует перестановку элементов Такая перестановка отображается в исходное разбиение

46

Поэтому отображение перестановок множества S в разбиения S является сюрьективным.

Число перестановок, порождающих одно и то же разбиение множества S на части равно количеству последовательностей, составленных из перестановок элементов множеств S1 , ... , Sk, то есть определяется выражением: n1 ! ... nk!.

Поскольку всего существует n! перестановок элементов A, и каждому разбиению S соответствует n1 ! ... nk! таких перестановок

такого распределения.

Упражнения

1. Покажите, используя только комбинаторные доводы (т.е. не прибегая к арифметическим преобразованиям), что число

разбиений множества мощности n, на именованные подмножества, имеющие мощности n1 , ... , nk , равно:

2. Сколько существует разбиений множества S = {a1 , ... , an }

на части S1 , . . . , Sk , имеющие произвольные, в том числе равные нулю, мощности.

3. Сколько имеется способов разбиения n элементного множества на неименованные части, содержащие n1 , . . . , nk элементов.

Введенные в рассмотрение комбинаторные конструкции размещений, перестановок, сочетаний и разбиений позволяют решать несложные комбинаторные задачи на представление структуры комбинаторных объектов, составляющих заданные множества, а также определять чис ло элементов в этих множествах.

47

Процесс решения таких задач состоит в том, чтобы представить элементы множеств в виде конструкций, составленных с помощью размещений, сочетаний или разбиений. При построении таких конструкций может потребоваться использовани е правил сложения и умножения. Для этого строится подходящее разбиение исходного множества на более однородные классы элементов. При необходимости некоторые классы могут быть дополнительно разбиты на подклассы. Процесс разбиения на подклассы продолжается д о получения классов, элементы которых могут быть подсчитаны с помощью уже известных комбинаторных конструкций и соотношений для них. Для множеств, элементы которых значительно различаются между собой по структуре, возможна ситуация, когда разбиение на клас сы приводит к системе одноэлементных или близких к ним множеств.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Сколькими способами можно распределить 10 различных

предметов среди трех человек, которых обозначим как a, b и c, так чтобы каждому дос талось не менее двух предметов.

Понятно, что формула числа разбиений на части для решения этой задачи непосредственно не применима, поскольку мощности

множеств предметов, назначаемых a, b и c, на которые разбиваются 10 предметов, не имеют фиксированные мощ ности и могут изменяться.

Кажется правдоподобным, что решение рассматриваемой задачи можно получить через рассмотрение таких распределений

предметов, при котором сначала a, b и c получают по два предмета, а после этого между ними произвольным образом распр еделяются оставшиеся 4 предмета. Число вариантов выполнения первого

действия равно C 102 C 28 C 62 . Количество способов выполнения

второго действия, для каждого способа выполнения первого действия представляется четырёхэлементным размещением с

повторениями из элементов множества { a, b, c}. В этом размещении на первом, втором, третьем, четвертом месте указан человек, который получает соответственно первый, второй, третий и четвёртый предмет из, числа пред метов нераспределенных после первого действия. Следовательно, второе действие можно

48

получает 4 предмета, а два других человека по 3 предмета, то одни и те же предметы могут назначаться первому человеку

распределению предметов между a, b и c. Как следствие, число таких распределений не равно числу после довательностей из двух действий, определяемых по правилу умножения как произведение числа вариантов выполнения первого шага на число вариантов выполнения второго шага.

Будем решать рассматриваемую задачу через разложение множества всех распределений предме тов среди трёх человек на непересекающиеся случаи, каждый из которых определяется своим

набором значений числа предметов, достающихся a, b и c.

Для этого построим все различные разбиения числа 10 на три слагаемых, каждое из которых не меньше, чем 2. Число 10 не велико. Поэтому все варианты можно перебрать, выписывая тройки чисел, суммы которых равны 10, в порядке убывания значений элементов в них. Тогда множество всех наборов из трех чисел, суммы которых равны 10, для которых не уточняются количества предметов каждого конкретного человека, имеет вид :

{(6, 2, 2), (5, 3, 2), (4, 4, 2), (4, 3, 3)}.

Рассмотрим последовательно все 4 случая.

1. Для набора (6, 2, 2) имеется ровно C 13 способов

назначения чисел набора в качестве числа предметов, п олучаемых a, b и c. (Это следует из того, что достаточно выбрать одного из 3 лиц, который получит 6 предметов.)

После этого для каждого способа такого назначения чисел 6,

множества предметов на 3 именованных подмножества, содержащих соответственно 6, 2 и 2 элементов.

49

По правилу умножения число вариантов распределения

2. Для набора (5, 3, 2) существует A33 способов назначения

чисел этого набора в качестве количеств предметов, получаемых a, b и c.

На основании правила сложения, суммируя число вариантов в каждом из перечисленных случаев, получим, что искомое число распределений предметов равно:

2.6. ФОРМУЛА ВКЛЮЧЕНИЙ-ИСКЛЮЧЕНИЙ

Пусть A и B произвольные множества. Тогда мощность их

|A B С|=|A|+|B|+|С| |A B| |A C| |B C|+|A B C|. (2)

Справедливость каждой их приведенных формул легко может быть проверена с помощью диаграмм Венна для произвольных двух и трех множеств. Для этого достаточно посчитать, сколько раз

50

учитывается в правой и левой части каждого равенства всякий элемент объединения.

Применение приведенных формул при решении конкретных задач может быть оправдано, если нахождение каждого значения в правой части соответствующей формулы проще нахождения всего значения ее левой части.

Считается, что в общем случае объединения множеств устроены сложнее, чем пересечения множеств. Например,

множество A B С в общем случае может рассматриваться как более разнородное, чем каждое из входящих в него множеств A, B и С, поскольку содержать элементы обладающие и не обладаю щие

свойствами элементов множеств A, B и С, в разных комбинациях, в которых достаточно выполнимости лишь одного из свойств элементов этих множеств.

Действительно, в A B С могут содержаться элементы, обладающие только свойством элементов множества A. Там же могут содержаться элементы не из A, но обладающие свойствами

элементов множеств B или C.

Множества, мощности которых используются в правых частях формул (1) и (2), образованы пересечениями отдельных множеств и поэтому более однородны, поскольку все их элементы обладают одним и тем же свойством, представляемым конъюнкцией свойств элементов множеств входящих в пересечение.

Приведенные формулы ( 1) и (2) могут быть обобщены на случай объединения произвольного конечного числа множеств так, чтобы свести зад ачу нахождения мощности объединения множеств к серии задач, связанных с нахождением мощностей нескольких пересечений множеств.

Пусть заданы конечные множества A1 , ... , Ak и такое число

i, что 0 i k. Обозначим как ni сумму мощностей всех возможных пер есечений по i таких множеств.

Заметим, что ni является суммой C ik слагаемых, так как

существует ровно столько различных пересечений по i множеств из k.

ТЕОРЕМА 2.1

51

элемент множества A учитывается ровно один раз. Для левой части (1) очевидно, что это так .

Рассмотрим правую часть доказываемого равенства. Предположим, что a содержится в r разных множествах из множеств A1 , ... , Ak. Тогда:

-в nr элемент a учтен C rr раз.

Впоследующих слагаемых правой части ( 1) элемент a не учитывается ни разу.

Поэтому в выражении:

Очевидно, что формула ( 3) - частный случай бинома Ньютона для x = 1.

Значит, равенство ( 2) является справедливым. Поэтому элемент a учитывается в правой части формулы ( 1) ровно один раз.

Доказательство окончено.

52