Теор умнож вер. Независимые события.

Назовем условной вер р(В/А) события В вер события В при условии, что событие А произошло.

Теор умножения. Вер произведения двух событий = произвед вероятности одного из них на условную вер другого при условии,что 1ое событие произошло  р (АВ) = р (А) · р (В/А). (произвед независимых событий = произведению их вероятностей)

Соб В называется независимым от события А, если появл события А не измен вероятности В, т.е р (В/А) = р (В).

Вер появления хотя бы одного события. Теор. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А₁, А₂,…, А_п равна р (А) = 1 – q₁q₂…q_n ,где q_i – вер события _i, противоположного событию А_i.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н₁, Н₂,…, Н_п, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н₁, Н₂,…, Н_п  называются гипотезами.

Теор 1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н₁, Н₂,…, Н_п, равна:

где p(H_i) – вероятность  i- й гипотезы, а p(A/H_i) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула носит название формулы полной вероятности.

Формула Байеса.Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

Схема и формула Бернулли. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз. Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных  п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: p^kq^n-k, где q = 1 – p– вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

Приближение Пуассона для схемы Бернулли.

Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний. Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:

Найдем предел полученного выражения при n->∞

Случайные вел. ДСВ. З-н распред СВ.

СВ назыв величина, принимающая в рез-те опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно. СВ называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные знач с опред вероятностями. СВ назыв непрерывной, если мн-во ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток. Для задания ДСВ нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения СВ. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

xi	x1	x2	…		xn	…
pi	p1	p2	…	pn		…

Таблица, в которой перечислены возможные знач ДСВ и соответствую им вероятности,назыв рядом распределен:

Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому:

Функция распределения, её свойства. Функцией распред F(x) СВ Х назыв вер того, что СВ примет знач, меньшее х:

 F(x)=p(X<x).                                                     Свойства функции распределения.

1)0≤F(x)≤1                                                    2) Функция распред не убыв, т.е. F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁.

3) 

4)  Вер того, что СВ примет значение из интервала [a, b], = разности значений функции распределения на концах интервала: p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).

Для ДСВ значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.