Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tipovoy_raschet_III-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.05.2015

Размер:

405 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра математического анализа

51(07) Д-436

В.Л. Дильман, Т.В. Ерошкина, А.А. Эбель

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Сборник задач

Часть 3

Челябинск Издательство ЮУрГУ

2005

Типовой расчет №1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

В а р и а н т 1

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

′

1−x2

′

1− y2 +1 = 0 .

= 2 x

+ y

+ y .

1. y y

y′=

3y +3

dx +(cos y

+xe

)dy = 0 .

2x + y −1

Найдите решение задачи Коши.

y′+

=sin x; y(π) =

. 6.

dx +(xy − y

)dy = 0; y(−1) = 0 .

′

−1

cos x(1

+sin x);

y(0) =1.

2y + ycos x = y

8.Найдите общее решение уравнения x3 y′′′+x2 y′′=1.

9.Найдите решение задачи Коши:

′′	′ 2	;	′	=3.
yy	=(y )	;	y(0) =1; y (0)	=3.

10.Найдите общее решение (x −2)2 y′′−3(x −2)y′+4y = 0 , если одно из его частных решений y1 = (x −2)2 .

11.Найдите решение задачи Коши:

′′

′

9e−3x

′

−1) .

−3y

= 3 +e−3x ; y(0) = 4ln 4;

y (0) =3(3ln 4

12.

Найдите общее решение уравнения y

′′′

+2y

′′

+ y

′

= (18x +21)e

13.

Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 2; 2; 2; ±3i ; ±3i ; −3 ± 2i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид

3x3 +2x −7e2x + x cos 2x + x2 sin 3x + xe−3x cos 2x +e−3x sin 2x . 14. Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = x +4y,

dydt = 2x +3y.

В а р и а н т 2

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

4xdx −3ydy =

ydy −2xy

dx . 2.

y′

+2 .

′

x +2y −3

2 y

(

)

y =

−2

4. 3x e dx +

x e

−1 dy =0.

Найдите решение задачи Коши.

y′

−

= x2 ;

y(1) = 0.

= 0;

y(e) = 2 .

y2dx + x +e y

′

+ xy =

(1+ x)e

−x

;

y(0) =1.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

x ln x = y

Найдите решение задачи Коши:

′′

= 0;

y(0)

′

y −12y

= 0,5; y (0) =1.

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

2 ′′

′

+xy + y = 0 , если одно из его частных решений y1 = cos(ln x ).

11. Найдите решение задачи Коши:

′′

y =π

cos

−1

πx;

y(0) =3;

′

= 0.

+π

y (0)

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

(8x +6)e

+2y

−3y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 1; −2 ; ±i ; 3 ±i ; 3 ±i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид

1 + x2 +2xex +3cos x + xe3x sin 2x + x sin 2x .

14. Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = 2x + y,

dydt = x +2y.

В а р и а н т 3

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1.	x 1+ y	2	+ yy	′	1+ x	2	= 0.	′	=
								2. xy

3.y′= x + y −2 . 2x −2

4.3x2 + 2 cos 2x dx − 2x cos 2x dy = 0.y y y2 y

Найдите решение задачи Коши.

5. y′− yctg x = 2x sin x; y(0,5π)= 0.

3y3 +2yx2 .

2y2 + x2

′

y(0) =1.

7. xy

′

+ y = 2y

ln x; y(1) = 0,5.

+2x)y = y;

Найдите общее решение уравнения

xy′′′+ y′′=1.

Найдите решение задачи Коши:

′′

y +1;

y(2) = 0;

′

= 2 .

y (2)

10.

Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

4 ′′

+2x

′

−4y

= 0, если одно из его частных решений y1 = e

11.

Найдите решение задачи Коши:

′′

+3y

′

9e3x

y(0) = ln 4;

′

=3(1−ln 2).

1 +e3x ;

y (0)

12.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

+6y

′′

′

+24)e

+9y = (16x

13.

Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 1; 1; 1; ±2i ; ±2i ; −2 ±3i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
2x3 +x +3ex +2x sin 2x −(x +5)e3x sin 2x + xe−2x .
14. Решите систему дифференциальных уравнений
dy		=3x + y,


dt
	dx	= y −x.

dt

В а р и а н т 4

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

y′

x + y

4 + y

− ydy = x

ydy .

x − y

′

−x +3y −4

3x +3

(3x2 +4y2 )dx +(8xy +ey )dy = 0.

Найдите решение задачи Коши.

′

+ ycos x = 0,5sin 2x;

y(0) = 0.

′

dx +(xy −1)dy;

= e .

2(xy

+ y) = xy

; y(1) = 2 .

Найдите общее решение дифференциального уравнения

2xy′′′= y′′.

Найдите решение задачи Коши:

(y +1)

′′

′ 3

;

y(0) = 0;

′

y = (y )

y (0) =1.

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

2 ′′

′

= 0, если одно из его частных решений y1 = x .

−xy + y

11. Найдите решение задачи Коши:

y′′+4y

=8ctg2x;

4 .

=5;

y′

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

+9y

= (12 −16x)e

− y

−9y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; 3; ±2i ; 1±4i ; 1±4i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
x3 +1+ xe3x + x2 cos 2x + xe2x sin x −(3x +2)e2x .
14. Решите систему дифференциальных уравнений
dx		= x +4y,


dt
	dy	= x −2y.

dt

В а р и а н т 5

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

3 + y

dx − ydy = x

ydy .

′

+ y

+ y .

xy =

y′

−2

2x −1

−

dx −

2y −

dy = 0.

+ y −2

Найдите решение задачи Коши.

y′+ ytgx

= cos

x; y

2(4y

′

=1;

y(0)

= 0 .

+4y −x)y

′

+4x

y = 4(x

+1)e

−4x

;

y(0) =1.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

xy′′′+ y′′= x +1.

Найдите решение задачи Коши:

′′

= 4

3y +1;

2) = 0;

′

2) =

2 .

y (

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

(1+ x)

2 ′′

′

+4y = 0 ,

если

одно

из

его

частных

решений

−3(1+ x)y

y = (x +1)2 .

11. Найдите решение задачи Коши:

′′

′

−6y

+8y

+e−2x ; y(0) =1+2ln 2;

y (0) = 6ln 2.

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

−x

−4y

+3y = 4(1−x)e

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 2; 2; 2; ±3i ; 2 ±i ; 2 ±i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
x3 +1+xe3x + x2 cos 2x + xe2x sin x −(3x +2)e2x .
14. Решите систему дифференциальных уравнений
dx		= 2x − y,


dt
	dy	=3x −2y.

dt

В а р и а н т 6

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 4xdx −3ydy =3x	2	ydy −3xy	2	dx .	2.	2y′=	y2	+6	y	+3 .
							x2		x

3.y′= x + y −2 . 3x − y −2

4.(y2 + ysec2 x)dx +(2xy + tgx)dy = 0 .

Найдите решение задачи Коши.

′

+2)

−1

= x

+2x;

y(−1) =1,5 .

y − y(x

(cos(2y)cos

y −x )y′= sin y cos y;

xy′−y = −y2 (ln x +2)ln x;

y(1) =1.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′

′

+sin

−1

x = 0 .

y tgx − y

Найдите решение задачи Коши:

2yy

′′

′

;

y(1) =1;

′

=3 +(y )

y (1) =1.

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

2 ′′

′

= 0 , если одно из его частных решений y1 = x

−4xy +6y

11. Найдите решение задачи Коши:

)

′′

′

(

−3x

−1

′

= 0 .

−9y

+18y

=9e

1 +e

;

y(0) =

0; y (0)

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

+4y

= (18x −21)e

−x

y −3y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; −1; −1; −1; ±2i ; ±2i ; 4 ±2i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид

x+5 + x2e−x +e2x cos x +4x sin 2x +e4x cos 2x .

14.Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = 4x +2y,

dydt = −x + y.

В а р и а н т 7

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1. x 3 + y2 dx + y 2 + x2 dy = 0 .	2. xy′=	3y3 +4x2 y
			.
		2x2 +2y2

3.y′= 2x + y −3 .

x−1

4.(3x2 y +2y +3)dx +(x3 +2x +3y2 )dy = 0 .

Найдите решение задачи Коши.

5.	y′−	y	= ex (x +1);		y(0) =1.
		x +1
6.	(x cos2 y − y2 )y′= ycos2 y; y(π) = 0,25π.
7.	′			−x	2	; y(0)	= 2 .
	2(y + xy) = (1+ x)e				y

8.Найдите общее решение уравнения x2 y′′+ xy′=1.

9.Найдите решение задачи Коши:

′′

′ 2

;

y(0) =3;

′

(y −2)y

= 2(y )

y (0) =1.

10.

Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

(x +1)

′′

′

+(x

+1)y = 0 ,

если одно из его частных решений

−3(x +1)

y =(x +1)−1 .

11.

Найдите решение задачи Коши:

y′′+π2 y =π2 sin−1 πx;

y(0,5)=1;

y′(0,5)= 0,5π2 .

12.

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

−4y = (2x −5)e

−5y +8y

13.

Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; 3; ±i ; −1 ±3i ; −1 ±3i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид

x+3 +(x2 + x +3)ex +2cos x +3x sin x + xe−x sin 3x .

14.Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = 7x +2y,

dydt =3x +2y.

В а р и а н т 8

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

+5)dy + ye

= 0.

y′ =

x + 2y

2y −x

x +7y −8

3. y′=

dx −

= 0 .

9x − y −8

Найдите решение задачи Коши.

y′−

(dx −2xydy) = ydy;

y(0) = 0.

= x sin x;

=1.

′

ln x;

y(1) =3.

3(xy + y) = y

Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

= 0.

ctg2x +2y

9. Найдите решение задачи Коши:

′′

′

= 2 y +4;

= 0; y

10. Найдите

общее

решение

дифференциального

уравнения

2 ′′

−2xy

′

+2y = 0 , если одно из его частных решений y1 = x .

11. Найдите решение задачи Коши:

′′

−1

′

= 0.

+ π2 y

= π2 cos

π;

y(0) = 2;

y (0)

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

= (x −7)e

y −4y

+4y

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; −1; −1; ±2i ; ±2i ; 3 ± 4i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных коэффициентов, если правая часть уравнения имеет вид

2x3 + x2 + xe−x +e−x cos 2x + x sin 2x +e3x cos 4x .

14. Решите систему дифференциальных уравнений

dxdt = x + y,

dydt =3x − y.

В а р и а н т 9

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения.

1. 6xdx −6ydy =3x2 ydy −2xy2dx .

3. y′= x +3y + 4 . 3x −6

Найдите решение задачи Коши.

2.3y′= y2

4.xy2 dx −

+8 xy +4 .

xy +1dy = 0 . x

y′+

= x2 ;

y(1) =1.

′

(3ycos 2y −2y

sin 2y −2x)y

= y;

y(16) = 4 .

′

y = 4y

(1−x

);

y(0)

= −1.

y +

Найдите общее решение дифференциального уравнения

y′′′tg x = 2y′′.

Найдите решение задачи Коши:

′′

= −3;

y(1) =1;

′

=1.

y (1)

10. Найдите общее

решение

дифференциального

уравнения

2 ′′

′

+ xy + y = 0 , если одно из его частных решений y1 = cos(ln x ).

11. Найдите решение задачи Коши:

y′′+ y =

4 ctg x;

4; y′

= 4 .

12. Найдите общее решение дифференциального уравнения

′′′

′′

′

(8x +4)e

+ y

−y

− y =

13. Корни

характеристического

многочлена

линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами известны: 0; 0; 0; −3; ±4i ; 1 ±3i . Укажите порядок этого уравнения. Найдите частное решение с точностью до неопределенных

коэффициентов, если правая		часть уравнения имеет вид
x2 +3 + xe4x +(x +3)e−3x +(2x +1)cos 4x +sin 4x +ex cos3x .
14. Решите систему дифференциальных уравнений
dx		=5x +4y,


dt
	dy	=11y −2x.

dt

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.05.2015354 Кб12TIPOVOJ_RASChET_3_DEKABR.pdf
#
09.05.2015439 Кб10TIPOVOJ_RASChET_4_MART.pdf
#
09.05.2015385 Кб9TIPOVOJ_RASChET_5_APREL.pdf
#
09.05.2015207 Кб11TIPOVOJ_RASChET_6_MAJ.pdf
#
08.05.2015184 Кб28Tipovoy_energo_1_kurs_2_semestr.pdf
#
08.05.2015405 Кб14Tipovoy_raschet_III-1.pdf
#
16.03.201627 Кб21titul referat.doc
#
01.07.2025217 Кб25titulnik_Avtosokhranenny.docx
#
01.07.2025315 Кб2titulnik.docx
#
14.04.201963 Кб7TKM.doc
#
01.07.20252 Мб2tkm.docx