TIPOVOJ_RASChET_4_MART

В а р и а н т

3

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а) ∫

3x4dx

б) ∫

xcos xdx

в) ∫

2x3 +6x2

+7x +1

;

;

3

dx ;

10

+2

sin

3

x

(x −1)(x +1)

x

г) ∫

2x3 + 2x2 + 2x +1

dx ;

д) ∫

dx

.

(x2 + 4x +3)(x2 +1)

3 +cos x

2.

Вычислите определенные интегралы:

1

5

1

4arctg x − x

dx

2

∫

а)

∫

1

+ x

2

dx ;

б)

;

в) ∫arccos 2xdx .

(25 + x

2

)

25 + x

2

0

0

0

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

x =2 − y2 ,

y2 = x3 ;

б)

ρ = 4cos 2ϕ ;

x = 4(t −sin t),

в) {y = 4(1 −cost),

y

≥ 4 (одна арка циклоиды).

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а)

y2 = 2x3 ,

лежащей внутри кривой x2 + y2 = 20 ;

x = 4(cos t +t sin t),

π

ϕ

π

π

б) {y = 4(sin t −t cos t),

0 ≤t ≤ 3

;

в) ρ =

2e ,

−

2 ≤ϕ

≤ 2 .

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями

y = 2x − x2 ,

y = 0 .

6.

Вычислите несобственные интегралы:

2

dx

+∞ log

x

а) ∫

;

б) ∫

x

32

dx .

x

x −

1

1

2

+∞

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

cos x

1

sin 3

x

а) ∫1

dx ;

б) ∫0 e7 x −1 dx .

x x2 +1

В а р и а н т

5

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а)

∫

1 +ln x

dx

;

б) ∫x cos

2

xdx ;

в) ∫

x3

+6x2 +14x +

10

dx ;

x

(x +1)(x +2)3

г) ∫

x3 +2x2 + x +1

д) ∫

dx

dx ;

.

(x2 +2x +4)(x −1)

cos x + 2sin x +3

2.

Вычислите определенные интегралы:

π

5

в) ∫5 arctg

а)

∫2

cos x

dx ;

б)

∫2

dx

;

x −1dx .

2sin x +5

2

)

3

0

0

(5 − x

2

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

а)

y =

4 − x2 ,

y = 0 ,

x =0 ,

x =1;

б)

ρ =3 +2sinϕ ;

в) {xy ==2cos6sin tt,,

( y ≥3) .

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а)

x2 =( y +1)3 ,

отсеченной прямой

y = 4 ;

б) y = −ln cos x ,

0 ≤ x ≤ π

;

12

6

π

π .

в) ρ = 2e 5 ϕ ,

−

≤ϕ ≤

2

2

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями

x = 3

y −2 ,

x =1,

y =1.

6.

Вычислите несобственные интегралы:

+∞ arctg x

2

1

а) ∫

2

dx ;

б) ∫

dx .

x

x

1

1 x log2

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

+∞

x + x +1

1

3

x −1

а) ∫

dx ;

б) ∫

dx .

x

2

+ 2

5

x

4

+1

ln (

3

x +1)

1

0

В а р и а н т

6

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а) ∫

(arccos x)3 −1

dx ;

б) ∫(4 −3x)e

−3x

dx ;

в) ∫

x3

+6x2 +10x +10

dx

;

1 − x

2

(x −1)(x +2)

3

г) ∫

2x3 + 2x +1

dx

;

д) ∫

dx

.

(x2 −4x +5)(x −2)

3cos2 x +sin2 x +1

2.

Вычислите определенные интегралы:

1

3 x3 −1

2

2

x2 −1

8

log

x

а) ∫e

x

dx

;

б) ∫

dx

;

в) ∫

3 2

dx .

x

4

0

1

1

x

3.

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:

2

2

x = 2(t −sin t),

а) x

− y

=1,

x = 2 ;

б)

ρ =

2sin 5ϕ;

в) {y = 2(1 −cost),

y ≥3, (одна

арка циклоиды).

4.

Вычислите длины дуг кривых:

а) y2 = 4

(2 − x)3 ,

отсеченной прямой

x = −1;

9

3

t

ϕ

π

0

≤t ≤π

;

в) ρ =3e4

,

0 ≤ϕ ≤

.

б) x =e (cost +sin t),

3

y =et (cost −sin t),

5.

Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограни-

ченной линиями

y = 2x − x2 ,

y =−x +2 ,

x =0 .

6.

Вычислите несобственные интегралы:

а) ∫2

x dx

;

б)

+∞∫2−x (3x −1) dx .

1

−1

x +

1

7.

Исследуйте сходимость несобственных интегралов:

а) +∞∫

7 1 +

2x2

dx ;

б) ∫1 35 x −1 dx .

5 3

+6

2

x

0

x

В а р и а н т

7

1.

Найдите неопределенные интегралы:

а) ∫tg3xdx ;

б) ∫e

−2 x

(4x

−3)dx ;

в) ∫

2x3

+6x2 +7x + 2