2.3 Ангармонический осциллятор

Уравнение колебаний физического маятника имеет вид [14]:

, (2.30)

где ;

–масса маятника;

–его момент инерции относительно оси вращения;

–расстояние от точки подвеса до центра масс;

–ускорение свободного падения;

–угол отклонения из положения равновесия.

Разложение в ряд Тейлора:

=(2.31)

При малых углах отклонения ()и уравнение (2.30) переходит в уравнение гармонического осциллятора (2.1). Для уточнения решения можно учесть следующий член в разложении (2.31), тогда:

. (2.32)

Полученное уравнение может быть решено методами теории возмущений в виде:

. (2.33)

Если углы отклонения не очень велики, то правую часть уравнения (2.33) можно считать малой поправкой (возмущением). При возмущении равном нулю уравнение (2.33) переходит в (2.1) и его решение:

. (2.34)

Решением возмущенного уравнения является суперпозиция колебаний с частотами и. Решение уравнения (2.30) будет содержать набор высших гармоник. Наличие в спектре колебаний с кратными частотами (гармоник) – наиболее важная характерная черта нелинейных колебаний.

В случае не очень больших колебаний период колебаний равен:

. (2.35)

Для произвольных углов:

, (2.36)

где

, (2.37)

- полный эллиптический интеграл первого рода.

Уравнение (2.30) описывает ангармонический осциллятор. Его решение можно представить в виде суперпозиции нескольких гармонических решений. Результаты решения уравнения (2.30) представлены на рис. 2.4 (зависимость ) и на рис. 2.5 (зависимость).

Рис.2.4 – Зависимость

Рис.2.5 – Зависимость

Любопытно поведение ангармонического осциллятора под действием внешней гармонической силы. Наличие в решении высших гармоник приводит к тому, что резонанс может наступить на различных частотах, кратных собственной частоте гармонического осциллятора. Неизохронность колебаний, то есть зависимость периода (частоты колебаний) от амплитуды приводит к тому, что при резонансе собственная частота осциллятора меняется, и он выходит из резонанса.

2.4 Параметрические колебания

Параметрическими колебаниями называются колебания, при которых происходит периодическое изменение какого-либо параметра колеблющейся системы. Если изменение параметра системы к увеличению амплитуды колебаний, то такой процесс называют параметрическим резонансом [15].

Параметрические явления можно рассмотреть на примере с качелями. Если качнуть качели, и сидящий на ней на корточках, в момент поднятия будет привставать, и как только качели перешли мертвую точку, будет садиться, в колебательный контур сообщится энергия равная изменению массы в этот момент. Для сидящего на качелях этот момент будет происходить по инерции, качели сами подкидывают тело, и приседание не вызовет затруднений так как на тело действует гравитация. Суммарная затраченная энергия будет больше, полученной. Но в сумме всех затраченных и полученных энергий кпд за единицу не перевалит. Таким образом мы создали параметрические колебания. Так же их можно создать меняя длину маятника.

Рассмотрим параметрические колебания математического маятника в общем случае, то есть при произвольном характере изменения параметра и больших колебаниях при наличии вязкого трения [14]. Уравнение движения маятника – уравнение динамики вращательного движения:

. (2.38)

Момент импульса:

. (2.39)

На систему действует два момента сил: момент силы тяжести - и момент силы трения –, где– коэффициент трения. Тогда уравнение движения принимает вид:

. (2.40)

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка описывает самый общий случай параметрических колебаний. В случае малых колебаний () заменой переменных, где, уравнение приводится к виду:

, (2.41)

где и.

Уравнение (2.41) – дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом называется уравнением Хилла.

В частном случае, если:

, (2.42)

где , тои уравнение Хилла можно преобразовать к уравнению Матьё:

. (2.43)

Считая, что затухание отсутствует, и.