Лабораторная работа №3. Циклы.

1. Натуральное число из n цифр называется числом Армстронга, если сумма его цифр, возведенных в n-ю степень, равна самому числу (например 153=1³+5³+3³). Получить все числа Армстронга, состоящие из четырех цифр.

2. Числа Фибоначчи определяются формулами:

f₀=f₁=1; f_n=f_n-1+f_n-2, n=2,3,...

Составить программу поиска f_n - первого числа Фибоначчи, большего M.

3. Даны натуральные числа m и n. Найти наименьшее общее кратное этих чисел.

4. Напечатать все простые числа до 1000.

5. Дано действительное число x (x<1). Вычислить бесконечную сумму с заданной точностью (ε=0.0001). Считать, что требуемая точность достигнута, если очередное слагаемое оказалось по модулю меньше чем ε.

Дополнительные задания:

1.1. Дано натуральное число n. Найти сумму первой и последней цифры этого числа.

1.2. Дано натуральное k. Напечатать k-ю цифру последовательности 12345678910111213, в которой выписаны подряд все натуральные числа.

2.1 Дано натуральное число n. Переставить местами первую и последнюю цифры этого числа.

2.2. Дано натуральное k. Напечатать k-ю цифру последовательности 149162536, в которой выписаны подряд квадраты всех натуральных чисел.

3.1. Даны два натуральных числа m и n (m,n≤MaxInt). Проверить, есть ли в записи числа m цифры, одинаковые с цифрами в записи числа n.

3.2. Составить программу перевода натурального числа из десятичной системы счисления в двоичную.

4.1. Дано натуральное число n. Проверить, есть ли в записи числа три одинаковые цифры (n≤MaxInt).

4.2. Дано натуральное число n. Переставить его цифры так, чтобы образовалось максимальное число, записанное теми же цифрами.

5.1. Дано натуральное число n≤1000000. Дописать к нему цифру k в конец и в начало.

5.2. Найти все натуральные числа, не превосходящие заданного n, которые делятся на каждую из своих цифр.

6.1. Среди всех n-значных чисел указать те, сумма цифр которых равна данному числу k.

6.2. Найдите целые числа, которые при возведении в квадрат дают палиндромы, например, 262=676.

7.1. Заданы три натуральных числа A, B, C, которые обозначают число, месяц и год. Найти порядковый номер даты, начиная отсчет с начала года.

7.2. Составьте программу для вычисления самого большого числа, для которого можно вычислить факториал на имеющемся компьютере.

8.1. Найти наибольшую и наименьшую цифры в записи данного натурального числа n.

8.2. Найдите целые числа-палиндромы, которые при возведении в квадрат также дают палиндромы (22²=484).

9.1. Произведение n первых нечетных чисел равно p. Сколько сомножителей взято? Если введенное n не является указанным произведением, сообщить об этом.

9.2. Найдите целые числа, которые при возведении в 3, или 4, или 5 степень дают палиндромы, например, 11³=1331.

10.1. Найти на отрезке [n,m] натуральное число, имеющее наибольшее количество делителей.

10.2. Дано натуральное число n. Если это не палиндром, реверсируйте его цифры и сложите исходное число с числом, полученным в результате реверсирования. Если сумма не палиндром, то повторите те же действия и выполняйте их до тех пор, пока не получите палиндром. Например, для исходного числа 78 это выглядит так:

78+87=165; 165+561=726; 726+627=1353; 1353+3531=4884.

11.1. Задумано некоторое число x (x<100). Известны числа k, m, n - остатки от деления этого числа на 3, 5, 7. Найти x.

11.2. Пусть дано натуральное число n (запись числа n в десятичной системе счисления есть a_ka_k-1...a₀). Чему равно выражение

a_k-a_k-1+a_k-2-...(-1)^ka₀.

12.1. Дано натуральное число n. Проверить, будут ли все цифры числа различными.

12.2. Составьте программу для нахождения всех автоморфных чисел в отрезке [m,n]. Автоморфным называется целое число, запись которого совпадает с последними цифрами его квадрата. Например: 5²=25, 6²=36, 25²=625.

13.1. Найти все целые корни уравнения ax³+bx²+cx+d=0, где а, b, с и d - заданные целые числа, причем a≠0 и d≠0.

Замечание: целыми корнями могут быть только положительные и отрицательные делители коэффициента d.

13.2. Составьте программу, которая проверяет, является ли заданное число совершенным. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих делителей (исключая само число). Например: 28=1+2+4+7+14.

14.1. Дано натуральное число n. Поменять порядок следования цифр в этом числе на обратный или сообщить, что это невозможно в силу переполнения.

14.2. Выведите все простые трехзначные числа.

15.1. Найти все делители натурального числа n.

15.2. Заданное натуральное число n представьте в виде суммы различных чисел Фибоначчи. Сколько слагаемых будет входить в эту сумму?

16.1. Натуральное число М называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, включая единицу, но исключая себя. Напечатать все совершенные числа, меньшие заданного числа N.

16.2. Вычислите сумму всех чисел Фибоначчи, которые меньше 1000.

17.1. Натуральные числа a, b, c называются числами Пифагора, если выполняется условие a²+b²=c². Напечатать все числа Пифагора, меньшие N.

17.2. Для заданного значения x вычислите n-й многочлен Чебышева, если известны следующие соотношения:

T₀=1, T₁(x)=x, T_n+1(x)=2×T_n(x)-T_n-1(x).

18.1. Дано натуральное число n. Среди чисел 1,...,n найти такие, запись которых совпадает с последними цифрами записи их квадратов.

Пример, 6²=36, 25²=625.

18.2. Дано натуральное число n. Переставить его цифры так, чтобы образовалось наименьшее число, записанное теми же цифрами.

19.1. Составьте программу, которая по номеру дня в году выводит число и месяц в общепринятой форме (например, 33-й день года - 2 февра-ля).

19.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти сумму всех элементов с номера N по номер M.

20.1. Долгожитель (возраст не менее 100 лет) обнаружил однажды, что если к сумме квадратов цифр его возраста прибавить число дня его рождения, то как раз получится его возраст. Сколько лет долгожителю?

20.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти первый элемент, больший данного числа M, а также номер этого элемента в последователь-ности.

21.1. Дано целое n > 2. Напечатать все простые числа из диапазона [2,n].

21.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти N-й элемент по заданному номеру N.

22.1. Даны натуральные числа n, m. Найти все натуральные числа, меньшие n, квадрат суммы цифр которых равен m.

22.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти сумму первых N элементов.

23.1. Задано натуральное число n. Найти количество натуральных чисел, не превышающих n и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3, 5.

23.2. Найти натуральное число в диапазоне от 1 до n с максимальной суммой делителей.

24.1. Найти все двузначные числа, сумма квадратов цифр которых кратна M.

24.2. Пусть вводится последовательность из n целых чисел. Найдите наименьшее из всех положительных чисел последовательности

25.1. Даны натуральные числа p и q. Получить все делители числа q, взаимно простые с p.

25.2. Составьте программу для нахождения всех прямоугольников заданной площади. Считайте, что длины сторон прямоугольников и площадь выражаются натуральными числами.

26.1. Натуральные числа a, b, c называются числами Пифагора, если выполняется условие a²+b²=c². Напечатать все числа Пифагора, меньшие N.

26.2. Для заданного значения x вычислите n-й многочлен Чебышева, если известны следующие соотношения:

T₀=1, T₁(x)=x, T_n+1(x)=2×T_n(x)-T_n-1(x).

27.1. Дано натуральное число n. Среди чисел 1,...,n найти такие, запись которых совпадает с последними цифрами записи их квадратов.

Пример, 6²=36, 25²=625.

27.2. Дано натуральное число n. Переставить его цифры так, чтобы образовалось наименьшее число, записанное теми же цифрами.

28.1. Составьте программу, которая по номеру дня в году выводит число и месяц в общепринятой форме (например, 33-й день года - 2 февра-ля).

28.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти сумму всех элементов с номера N по номер M.

29.1. Долгожитель (возраст не менее 100 лет) обнаружил однажды, что если к сумме квадратов цифр его возраста прибавить число дня его рождения, то как раз получится его возраст. Сколько лет долгожителю?

29.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти первый элемент, больший данного числа M, а также номер этого элемента в последователь-ности.

30.1. Дано целое n > 2. Напечатать все простые числа из диапазона [2,n].

30.2. Последовательность Хэмминга образуют натуральные числа, не имеющие других простых делителей, кроме 2, 3 и 5. Найти N-й элемент по заданному номеру N.