Nedelko_Sport_metrolog
.pdf
Впредположениинормальногораспределениягенеральнойсовокупности, откудаосуществленавыборкаисходныхданных, подсчитаемкоэффициенткорреляцииПирсонапоформуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi − x)(yi − y) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
rxy = |
i=1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi − x)2 ∑(yi − y)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
x = |
∑ xi , |
y = |
|
∑ yi |
– средние значения. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Составим таблицу(табл. 3.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таблица 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
№ |
xi |
|
yi |
xi − x |
|
yi − y |
|
(xi |
− |
x |
)(yi − y) |
(x |
− x)2 |
(y |
|
− |
y |
)2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
19 |
|
94 |
|
–6 |
|
–6 |
|
|
36 |
|
36 |
|
|
36 |
|
|
|||||
|
2 |
21 |
|
92 |
|
–4 |
|
–8 |
|
|
32 |
|
16 |
|
|
64 |
|
|
|||||
|
3 |
23 |
|
96 |
|
–2 |
|
–4 |
|
|
8 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
|||||
|
4 |
24 |
|
100 |
|
–1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
5 |
25 |
|
100 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
6 |
29 |
|
98 |
|
4 |
|
|
–2 |
|
|
|
–8 |
|
16 |
|
|
4 |
|
|
|||
|
7 |
30 |
|
102 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
10 |
|
25 |
|
|
4 |
|
|
||||
|
8 |
32 |
|
120 |
|
7 |
|
|
20 |
|
|
140 |
|
49 |
|
400 |
|
||||||
|
Σ |
203 |
|
802 |
|
– |
|
– |
|
|
218 |
|
147 |
|
524 |
|
|||||||
ВычислимсредниезначенияикоэффициенткорреляцииПирсона:
x = |
1 |
203 ≈ 25; |
y = |
1 |
802 ≈ 100; r |
= |
218 |
= 0,79. |
|
|
|
||||||
8 |
|
|
8 |
xy |
147 524 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
Вывод. ВеличинакоэффициентакорреляцииПирсона подтверждаеттеснуюлинейнуюкорреляционнуюсвязьпеременныхX иY.
Достоверностьrxy проверяем, сравниваяегостабличнымзначением rxyкр , найденного из таблицы приложения 5. По этой таблице rxyкр(γ; n)= rxyкр(0,99; 8)= 0,71.
22
Так как rxy > rxyкр, делаем вывод о том, что с вероятностью 0,99
найденныйкоэффициенткорреляцииподтверждаетхарактерзависимостимеждупеременнымиX иY. Врезультатеэтотвыводможнораспространятьнавсюгенеральнуюсовокупность.
Задание 3
Уравнениепрямойлиниирегрессиизапишемвследующемвиде:
y=
x =
n |
|
− x)(yi − y) |
|
∑(xi |
|||
i =1 |
|
|
(x − x)+ y ; |
|
n |
|
|
|
∑(xi − x)2 |
||
|
i =1 |
|
|
n |
(xi |
− x )(yi − y) |
|
∑ |
|||
i =1 |
|
|
(y − y)+ x . |
|
n |
|
|
|
∑(yi − y) |
||
i =1
Расчетныеданныедляприведенныхуравненийвозьмемизтабл. 3.3 (см. задание 2):
y = |
218 |
(x − 25)+ 100; |
x = |
218 |
(x − 100)+ 25. |
|
147 |
147 |
|||||
|
|
|
|
|||
Врезультатеполучим: |
|
|
|
|||
|
y = 1,48x + 63; |
x = 0,42y − 17. |
||||
Полученныепрямыепоказанынарис. 3.2.
Дляоценкиадекватностипостроенныхуравненийрегрессиивычисляемотносительнуюстандартнуюошибкуоценкипоформулам:
(S |
|
|
) |
|
|
1− r |
2 |
|
1 |
100 % , |
|
|
= S |
|
|
|
y |
||||
|
в |
y |
|
y |
xy |
|
||||
(S |
|
) |
|
|
1− r |
2 |
|
1 |
100 %. |
|
|
= S |
|
|
|
|
|||||
|
|
в |
x |
|
x |
|
xy x |
|
||
23
Чем меньше Sв, тем лучше построенная модель описывает связь междуX иY.
Соответствующиестандартныеотклонениянайдемпоформулам:
|
1 |
n |
2 |
1 |
n |
2 |
Sy = |
|
∑(yi − y) ; Sx = |
|
∑(xi − x ) . |
||
|
n |
|||||
|
n i 1 |
|
i =1 |
|
||
|
|
= |
|
|
|
|
Врезультатеполучим:
Sy = |
1 |
524 = 8,1; |
Sx = |
1 |
147 = 4,3. |
|
8 |
|
|
8 |
|
Тогда
(S |
в |
) |
= 8,1 |
1 − 0,792 |
100 % = 5 % ; |
|||
|
|
|
|
y |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S |
в |
) |
= 4,3 |
1 − 0,792 |
100 % = 10,5 %. |
|||
|
|
x |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнительно небольшие величины (Sв)у и (Sв)х свидетельствуют отом, чтопостроенныеуравнениярегрессииадекватныэкспериментальнымданным.
4.ДИСПЕРСИОННЫЙАНАЛИЗ
Втренерскойпрактикеприходитсясталкиватьсясситуацией, когда необходимо сравнивать степень готовности к ответственным стартам несколькихгруппспортсменов. Например, приотборевсборнуюкоманду. МетодикапопарногосравненияпокритериюСтьюдентавэтомслучаенепригодна. Действенным здесьоказывается дисперсионный анализ. Основная идея метода сводится к тому, что о случайности или закономерностиразличийгрупповыхсреднихсудятподисперсии. Вводят
врассмотрениефакторную Sфакт2 иостаточную Sост2 дисперсии. Первая
24
оцениваетвлияниенепосредственнофактора(степениготовностиспортсменов), втораяинтегральнооцениваетвлияниеслучайныхпричиннарезультат контрольных соревнований. Оценка существенности влияния факторапроизводитсяпокритериюФишера. ДляэтоговычисляетсянаблюдаемоезначениекритерияФишераFнабл поформуле
S 2
Fнабл = факт .
Sост2
ПолученноезначениеFнабл сравниваютскритическимзначением, определяемымизтаблицыприложения6, Fкр(α, k1, k2 ), гдеα – задаваемый уровень значимости, k1, k2 – число степеней свободы факторной и остаточнойдисперсии; k1 = p − 1 , k2 = N − p (p – количествоуровней фактора; N – сумманаблюденийнавсехуровняхфактора).
Если Fнабл ≤ Fкр, то расхождение средних несущественно и имеет
случайныйхарактер.
Вычислениефакторнойиостаточнойдисперсиивслучаеразличного количества наблюдений на каждом уровне фактора проводится по формулам:
Sфакт2 = |
Sфакт |
, |
|
|
||||||
p − 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sост2 |
= |
|
Sост |
, |
|
|
||||
N − p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
p 1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
p |
2 |
|
Sфакт = ∑ |
|
|
Tj |
− |
|
|
|
∑Tj , |
||
|
|
N |
||||||||
j =1 n j |
|
|
|
|
j =1 |
|
||||
Sост = Sобщ − Sфакт,
25
|
p |
1 |
p |
2 |
|
|
Sобщ = ∑K j − |
|
|
∑Tj |
, |
||
|
||||||
|
j =1 |
N j =1 |
|
|
||
|
n j |
|
|
n j |
|
|
K j = ∑ yij2 ; Tj = ∑ yij ; |
|
|||||
|
i =1 |
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
yij = xij − c; |
|
|
|
|
||
N = ∑n j ; |
|
|||||
|
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где xij – наблюдаемое значение; c – условный нуль (c ≈ x); nj – количе- ствонаблюденийнаj-томуровнефактора.
Лабораторнаяработа№4
Внесколькихплавательныхцентрах(Fj, j = 1, 2, 3 ... p) прошлипод-
готовкуN кандидатоввсборнуюкоманду. Изкаждогоцентрапривлечено разное количество nj спортсменов. Сравнительная эффективность работыцентровпроверяласьконтрольнымтестированиемспортсменов, оцениваемымвбаллах.
Задание
Приуровнезначимости α = 0,01 (четныеварианты) и α = 0,05 (нечетныеварианты) проверитьгипотезуоравенствесреднихрезультатов тестированияповсемплавательнымцентрам.
Примечание. Исходныеданныеввидевыборокпредставленыв приложении1 (выборкаC).
Пример выполнения лабораторной работы № 4
Результатытестированияспортсменовприведенывтабл. 4.1. Втабл. 4.1. групповыесредниеподсчитаныпоформуле
|
1 |
n j |
|
xj гр = |
∑x j . |
||
|
|||
|
nj i=1 |
||
26
Таблица 4.1
|
|
i |
|
|
|
|
Уровни фактора Fj |
|
|
Σ |
|||
|
|
F1 |
F2 |
|
|
F3 |
F4 |
F5 |
F6 |
F7 |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
75 |
104 |
|
96 |
92 |
76 |
92 |
89 |
|
||||
2 |
86 |
89 |
|
88 |
89 |
89 |
87 |
85 |
|
||||
3 |
|
92 |
|
105 |
|
90 |
88 |
93 |
|
||||
4 |
|
90 |
|
90 |
|
77 |
82 |
|
|
||||
5 |
|
81 |
|
91 |
|
75 |
90 |
|
|
||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
86 |
|
|
||
|
nj |
2 |
5 |
|
5 |
2 |
5 |
6 |
3 |
N = 28 |
|||
|
|
j гр |
80,5 |
91,2 |
|
94,0 |
90,5 |
81,4 |
87,5 |
89 |
|
||
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
Общуюсреднююнайдемпоформуле |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
x = |
|
1 |
∑ x j гр nj ; |
N = ∑n j ; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
N j =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
x= 281 (80,5 2 + 91,2 5 + 94,0 5 + 90,5 2 + 81,4 5 + 87,5 6 + 89,0 3)= 88.
Перейдемкновымкоординатам: yij = xij − c, где c = 88.
Длявычисленияфакторной Sфакт2 иостаточной пользуемследующиесоотношения:
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
2 |
|
|
||
|
Sобщ = ∑K j − |
|
|
|
|
|
∑Tj |
, |
|
|
|||||||||
|
|
N |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
j =1 |
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||
|
Sфакт = ∑ |
|
|
Tj |
|
− |
|
|
|
|
∑Tj |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
j =1 n j |
|
|
|
|
|
|
N j =1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
ост |
= S |
общ |
− S |
факт |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n j |
n j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где K j = ∑ yij2, Tj = ∑ yij. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sост2 дисперсииис-
(4.1)
27
Сиспользованием(4.1) дисперсиинайдутсяпоформулам
|
|
|
|
|
S |
факт |
|
|
S |
факт |
|
|
|
S |
факт |
|
|
|
Sфакт2 |
= |
|
= |
|
|
= |
|
|
, |
|||||||||
p − 1 |
|
7 − 1 |
|
|
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.2) |
|||||||
|
|
|
|
|
Sост |
|
|
|
Sост |
|
|
|
|
|
||||
S 2 |
= |
|
= |
|
|
|
|
= Sост . |
||||||||||
|
ост |
|
|
N − p |
|
|
28 − 7 |
|
|
|
21 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Составим расчетную таблицу (табл. 4.2).
Используяданныетабл. 4.2 иформулы(4.1) и(4.2), найдем:
Sобщ = 1417 − 32 = 1416,7;
28
Sфакт = 578,5 − 32 = 578,2;
28
Sост = 1416,7 − 578,5 = 838,5;
Sфакт2 |
= |
|
578,2 |
= 96,4; |
|
6 |
|
||||
|
|
|
|
||
Sост2 |
= |
838,5 |
|
= 39,9. |
|
21 |
|
||||
|
|
|
|
||
Проверкузначимостиразличияфакторнойиостаточнойдисперсий осуществим по критерию Фишера. Для этого вычислим наблюдаемое значениекритерияпоформуле
F |
= |
Sфакт2 |
= |
96,4 |
= 2,42 . |
|
|
||||
набл |
|
Sост2 |
|
39,9 |
|
|
|
|
|
КритическуюточкураспределенияФишеранайдемпотаблицевприложении6:
Fкр(α; k1; k2 )= Fкр(0,01; p − 1; N − p)= Fкр(0,01; 7 − 1; 28 − 7)=
= Fкр(0,01; 6; 21)= 3,81.
28
Таблица 4.2
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уровни фактора Fj |
|
|
|
|
|
|
|
Σ |
||||||
|
|
F1 |
|
|
F2 |
|
F3 |
|
F4 |
F5 |
|
F6 |
|
|
F7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
yi1 |
|
yi21 |
yi 2 |
|
yi22 |
yi3 |
|
yi23 |
yi4 |
|
yi24 |
yi5 |
|
yi25 |
yi6 |
|
yi26 |
yi7 |
|
yi27 |
|
|
1 |
|
–13 |
|
169 |
16 |
|
256 |
8 |
|
64 |
4 |
|
16 |
–12 |
|
144 |
4 |
|
16 |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
–2 |
|
4 |
1 |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
–1 |
|
1 |
3 |
|
9 |
|
||
3 |
|
|
|
|
4 |
|
16 |
17 |
|
289 |
|
|
|
2 |
|
4 |
0 |
|
0 |
5 |
|
25 |
|
||
4 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
2 |
|
4 |
|
|
|
–11 |
|
121 |
–6 |
|
36 |
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
–7 |
|
49 |
3 |
|
9 |
|
|
|
–13 |
|
169 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–2 |
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
nj |
2 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
N = 28 |
|
|
|
Kj |
|
|
173 |
|
|
326 |
|
|
366 |
|
|
17 |
|
|
439 |
|
|
61 |
|
|
35 |
1417 |
|
|
|
Tj |
–15 |
|
|
16 |
|
|
30 |
|
|
5 |
|
|
–33 |
|
|
–3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
T 2 |
112,5 |
|
|
51,2 |
|
|
180 |
|
|
12,5 |
|
|
217,8 |
|
|
1,5 |
|
|
3 |
|
|
578,5 |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
nj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
СравнимFнабл иFкр:
Fнабл = 2,42 < Fкр = 3,81.
Вывод. Таккакнаблюдаемоезначениекритериянепревышаеткритического значения, можно считать, что факторная и остаточная дисперсия различаются незначимо. В свою очередь это означает, что различиевсреднихнесущественно, тоестьподготовкаспортсменоввовсех плавательныхцентрахпримернонаодномуровне. Различиевсредних объясняетсяслучайнымипричинами.
30
Литература
1.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – М. : Высш.
шк., 2003. – 479 с.
2.Джонсон, Н. Статистикаипланированиеэкспериментавтехникеинауке: методыобработкиданных[Текст] / Н. Джонсон, Ф. Лион. –
М. : Мир, 1980. – 610 с.
3.Колде, Я. К. Практикум по теории вероятностей и математической статистике [Текст] : учеб. пособие для техникумов / Я. К. Кол-
де. – М. : Высш. шк., 1991. – 157 с.
31