a_problembook
.pdf
ятность того, что блок безотказно проработает 600 часов?
Случайная величина T — время исправной работы одного из элементов. По
условию задачи P (T > 600) = 1−P (T ≤ 600) = 1−FT (600) = 1− |
1 |
600 |
e− |
t |
|
||||||||
|
dt = |
||||||||||||
|
300 |
||||||||||||
300 |
0 |
||||||||||||
|
|
|
600 |
2 |
2 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 + e− |
|
0 = 1 + e− −1 = e− |
|
0, 135. Тогда вероятность, что блок безотказно |
|||||||||
проработает |
600 часов, равна 0, 1353 0, 0025. 0, 1353 |
|
0, 0025. |
|
|
|
|
|
|||||
Нормальное распределение
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение, если её плотность вероятности определена по формуле
|
1 |
e− |
(x a)2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(x |
− |
a)2 |
|
|
|
|
|
||||
f |
(x) = |
|
|
2 2 |
= |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
, |
|
< x < |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ξ |
|
σ√2π |
|
|
|
|
|
σ√2π |
|
[− |
|
2σ2 |
] |
−∞ |
|
∞ |
|
||||||
Функция распределения нормального распределения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
(t a)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
e− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Fξ(x) = |
σ√ |
|
|
dt, |
−∞ < x < ∞. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
||||||||||||||||||
−∞
Основные числовые характеристики: Mξ = a, Dξ = σ2, среднеквадратичное отклонение σ, Med ξ = a, Mod ξ = a.
График плотности вероятности — похожая на колокол кривая Гаусса — имеет две точки перегиба с абсциссами x = a ± σ. Расстояние между точками перегиба, равное 2σ, условно называется шириной кривой Гаусса, а максимум
1 |
|
|
|
|
|||
плотности fξ (a) = |
σ√ |
|
(его «высота») характеризует форму колокола: про- |
||||
2π |
|||||||
изведение «ширины» на «высоту» является константой, равной |
2 |
|
|||||
√π , для всех |
|||||||
нормальных распределений. |
|||||||
Если математическое ожидание равно нулю (a = 0), а среднеквадратичное равно единице (σ = 1), то нормальное распределение называется стандартным. Плотность стандартного нормального распределения вычисляется по формуле
1 |
e− |
x2 |
|
|||||
fst(x) = |
√ |
|
|
2 , −∞ < x < ∞, |
||||
2π |
|
|||||||
а его функция распределения — |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
∫ |
e− |
2 |
|
||||
Fst(x) = |
√ |
|
2 |
dτ, −∞ < x < ∞. |
||||
2π |
|
|||||||
−∞
51
Т.к. функция fst(x) является чётной, т.е. fst(−x) = fst(x), то fst(x) табулирована для x ≥ 0. Таблица её значений приведена на стр. 59.
Интегралы в выражениях для Fξ(x) и Fst(x) связаны при помощи замены переменного интегрирования τ = t−σa, поэтому
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
st ( |
|
|
|
|
|
1 |
|
(t a)2 |
1 |
|
|
|
x |
− |
a |
||||||
|
|
e− |
e− |
2 |
|
|||||||||||
F (x) = |
|
|
|
2 2 |
dt = |
|
|
2 |
dτ = F |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ξ |
σ√2π ∫ |
|
|
|
√2π |
∫ |
|
|
|
σ |
) |
|||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Медиана нормального распределения совпадает с его средним значением, поэтому
x |
x a |
|
|
1 |
|
1 |
∫0 |
e− |
(t a)2 |
|
|
1 |
|
1 |
∫0 |
e− |
2 |
|||||
Fξ(x) = |
|
+ |
σ√ |
|
2 2 |
|
dt = |
|
+ |
√ |
|
2 dτ. |
|||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||
2π |
2π |
||||||||||||||||||
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∫0 e− |
t2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Φ(z) = |
√ |
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
называется интегралом вероятности (нормального распределения). Как функция верхнего предела интеграл вероятности определен на интервале −∞ < x < ∞ и является чётной функцией: Φ(−x) = −Φ(x). Поэтому интеграл вероятности табулирован для x ≥ 0. Таблица его значений приведена на стр. 60 - 61. Заметим, что в этой таблице приведены значения функции Φ(x) лишь для x ≤ 5. Это обусловлено тем, что при x > 5 значения функции Φ(x) практически не отличается от 0,5.
Функция распределения Fξ(x) = P(ξ ≤ x) общего нормального распределения связана с функцией её стандартного распределения Φ(x) при помощи
формулы |
|
|
|
|
ξ |
|
|
2 |
|
( |
|
σ |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
F (x) = |
1 |
+ Φ |
|
x |
− a |
. |
|
|
|
|
|||||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(x |
|
< ξ |
≤ |
x |
) = F (x |
) |
− |
F (x |
) = Φ |
( |
x2 − a |
) − |
Φ |
x1 − a |
. |
|||||
|
|
σ |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
ξ 2 |
|
|
ξ 1 |
|
|
|
|
σ |
( |
) |
||||||
В частности, если требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины ξ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа ε, про-
ще говоря, требуется найти вероятность P( ξ |
− |
a |
|
< ε), то задачу решают по |
|||
формуле |
|
|
ε |
|
|||
P( ξ − a |
|
|
|
|
|||
< ε) = 2Φ ( |
σ) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последнего следует формула, называемая правилом k сигм: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 68268, |
k = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 95450, |
k = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 99730, |
k = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
P( ξ |
a < kσ) = 2Φ |
|
|
|
|
|
= 2Φ (k) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 99994, |
k = 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 99999, |
k = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17.21. Для нормально распределённой |
случайной величины ξ, имеющей a = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
30 и σ = 10, найти P(10 < ξ |
|
≤ |
50). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(10 |
|
< ξ |
≤ |
50) |
= Φ |
|
50 |
− |
30 |
|
− |
Φ |
|
10 |
− |
30 |
|
= Φ (2) |
− |
Φ ( |
− |
2) = |
2Φ (2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
10 |
) |
|
|
( |
10 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 · 0, 47725 = 0, 9545. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17.22. По статистике средний рост взрослого мужчины составляет 180 см, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
а среднеквадратичное отклонение равно 7 см. Рост взрослого мужчины удо- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
влетворительно описывается нормальным законом распределения. Найти веро- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
роста менее чем на 7 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Обозначим через ξ рост случайного мужчины. Требуется найти вероятность |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3√2π |
|
|
|
|
|
P( ξ − a |
|
< ε). Тогда |
P( ξ − |
180 |
< 7) = 2Φ |
|
77 |
|
= 2Φ (1) 2 · 0, 34134 |
0, 6827. |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
плотность вероятности f (x) = |
1 |
e− |
(x 12) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|||||||||||||||||
17.23. |
Случайная величина |
|
|
имеет |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Какова вероятность того, что ξ попадет в интервал (0, 12)? |
|
12 ) − Φ (0−312 ) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
По условию Mξ = 12, σ = 3. Тогда P(0 < ξ < 12) = Φ |
(12−3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Φ(0) − Φ (−4) = Φ (0) + Φ(4) 0 + 0, 49997 = 0, 49997 0, 5.
17.24.Считается, что отклонение длины изготавливаемых стержней от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина стержня 400 мм и среднеквадратичное отклонение равно 4 мм, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
По условию задачи случайная величина ξ, равная длине изготавливаемого стержня, имеет нормальное распределение с a = 400 и σ = 4. Требует-
|
|
ε |
|
− |
|
|
|
ε, для которого |
P |
|
|
ε |
≥ |
0, 8. По- |
|||
ся найти положительное число |
|
ξ − 400 < ε |
|
||||||||||||||
|
|
4 |
( |
|
|
. По |
) |
( |
) |
|
|
|
|
4 |
≥ |
|
|
|
( ) |
≥ |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
ξ |
|
400 < ε = 2Φ |
|
сводится к решению неравен- |
||||||||||
скольку |
|
|
|
|
|
|
4 |
, то задача |
|
|
( |
|
|
) |
|
1, 29, или |
|
ства Φ |
|
|
|
0, 4 |
|
таблице интеграла вероятностей находим: |
|
|
|
||||||||
ε≥ 6, 45. Таким образом, наименьшее значение ε равно 6,45 мм.
17.25.Пусть ξ случайная величина подчинена нормальному закону и имеет a = 16 и σ = 1. Какова вероятность того, что при четырех испытаниях случайная величина ξ попадет хотя бы один раз в интервал (1, 2)?
Вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (1, 2) при одном |
|||||||
|
( |
2−1,6 |
) |
|
(. |
|
) |
испытании равна P(1 < ξ < 2) = Φ |
1 |
|
− Φ |
|
1 |
= Φ (0, 4) − Φ (−0, 6) = |
|
Φ (0, 4) + Φ(0, 6) |
0, 15542 + 0, 22240 = 0, 3778 |
Тогда вероятность того, что |
|||||
случайная величина не попадёт в интервал (1, 2) при одном испытании, равна 1−0, 3778 = 0, 6222, а при четырех испытаниях равна 0, 62224 0, 1499. Значит, искомая вероятность составляет 1 − 0, 1499 = 0, 8501 0, 85.
53
|
17.26. Деталь считается бракованной, если ее отклонение ξ от номинала |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
больше 5 мм. Считая, что случайная величина ξ имеет нормальное распределе- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ние с средним квадратичным отклонением 3 мм, найти процент годных деталей. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Процент |
годных |
деталей соответствует |
вероятности |
P |
|
|
ξ − a |
|
≤ 5 |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2Φ |
( |
35 |
) |
2 · 0, 45154 0, 9031. Т.е. примерно 90,3% деталей —(годные. |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17.27. Мастерская изготавливает стержни, длина которых представляет |
со- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математи- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ческим ожиданием 250 мм и средним квадратичным отклонением 1 мм. Найти |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вероятность того, что отклонение длины стержня от среднего размера не пре- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
взойдет 2,5 мм. |
|
|
) |
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
2 · 0, 49379 0, 9876. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
ξ − 250 |
≤ 2, 5 = 2Φ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
17.28. Деталь считается бракованной, если ее отклонение ξ от номинала |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
больше |
4 мм. |
Считая, что случайная величина ξ имеет нормальное распреде- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ление с средним квадратичным отклонением 2 мм, найти процент бракованных |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
деталей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 4 |
|
|
||||||||||
|
Процент бракованных деталей соответствует вероятности 1 −P ξ − a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
− |
|
|
( |
4 |
) |
= 1 |
|
2 |
|
0, 47725 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,55% деталей — |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
· |
|
|
|
|
|
) = 0.0455. Т.е. примерно |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||
бракованные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
17.29. Бабушка с дедушкой купили мультиварку REDMOND для выпечки |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
колобков. Колобок считается кондиционным, если отклонение его диаметра от |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диаметра, описанного в инструкции к мультиварке, составляет (по абсолютной |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величине) меньше 1 мм. Изготовитель мультиварки REDMOND уверяет, что |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
диаметр ξ колобка является нормально распределенной случайной величиной с |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
среднеквадратичным отклонением 0,4 мм. Найти, сколько в среднем получится |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кондиционных колобков среди 100 испечённых. |
|
|
|
|
. В |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
· |
|
|
· |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100·P |
|
ξ |
− a |
|
≤ 0, 7 |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||
98 |
Число кондиционных колобков равно целой части от |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднем бабушка печёт |
|
|
|||||||||||||||||||||
100 2 Φ |
|
|
|
|
= 200Φ(2, 5) |
|
200 0, 49379 = 0, 98758 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
кондиционных колобков из 100. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
17.30. Случайная величина ξ подчиняется нормальному распределению с |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средним значением a = 2 и средним квадратичным отклонением σ = 5. При |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
каком x вероятность попадания случайной величины ξ в интервал (−4, x) рав- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на 0,7? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−2 |
|
|
|
|
−4−2 |
|
|
|
|
|
|
|
x−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
P( |
|
|
|
4 |
|
< |
ξ |
|
≤ |
x) |
|
= |
Φ |
|
− |
Φ |
|
|
|
= |
|
|
Φ |
|
|
+ Φ(1, 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
5 |
ξ |
|
|
|
|
5√2π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
, и |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Φ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 31507 |
0, 9 |
|
x |
|
|
2, 5 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
−5 |
|
|
|
+ 0 38493 = 0 7. Отсюда(Φ |
)−5 |
|
= ( |
|
|
) |
|
|
−5 |
|
|
), и |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 6) |
|
|
||
|
17.31. Случайная величина ξ имеет плотность вероятности f (x) = |
|
|
1 |
|
|
e− |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в ко- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торый случайная величина ξ попадает с вероятностью 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
, или |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
( |
|
|
|
|
|
|
ε |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||
|
Задача сводится к решению уравнения P |
ξ |
− |
6 |
≤ |
|
= 0, 5, или 2Φ |
|
|
ε |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0, 5, или |
ε |
|
= 0, 6745 |
|
|
|
|
ε = 3, 3725 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Искомый интервал — (2, 63; 9, 37), где |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
граничные точки определены с точностью до 0,01. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
17.32. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону и имеет
54
среднее значение a = 3. Найти среднеквадратичное отклонение σ, если известно,
что вероятность P (1 ≤ ξ ≤ 5) = 0, 954. |
Φ |
|
5−3 |
− |
Φ |
1−3 |
= 0, 954 |
|||||||||||
( |
Данное уравнение эквивалентно уравнению |
|
|
|
σ |
|
σ |
|
, или |
|||||||||
2 |
) |
|
( |
2 |
) |
( |
2 |
) |
2 |
( |
|
2,)или σ( |
|
1). |
|
|||
Φ |
σ |
|
− |
Φ |
−σ |
|
= 0, 954, или Φ |
σ |
= 0, 477, или |
σ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17.33. Товарняк состоит из 100 вагонов. Масса (измеряемая в тоннах т) произвольного вагона — случайная величина, распределенная по нормальному закону с средним значением 65 тонн и среднеквадратичным отклонением 9 тонн. Локомотив может везти состав массой не более 6600 тонн, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.
Масса ξ товарняка является случайной величиной. Математическое ожидание массы товарняка равно сумме математических ожиданий его вагонов, т.е.
Mξ = 65 · 100 = 6500 т. Т.к. массы вагонов попарно независимы, то дисперсия
√
массы состава равна сумме дисперсий вагонов, поэтому σ = 92 · 100 = 90 т.
Вероятность того, что второй локомотив не потребуется, составляет P (ξ |
≤ |
6600) = |
|||||||||||||
|
17.34. |
( |
6600−6500 |
) |
= 1 |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
F (6600) = 1 |
+ Φ |
|
+ Φ |
|
10 |
|
1 |
+ Φ (1, 11) |
|
0, 87 |
|
||||
ξ |
2 |
|
90 |
|
2 |
|
|
9 |
2 |
|
. |
|
|
||
Диаметр выпускаемой детали — случайная величина (измеряемая в сантиметрах), распределенная по нормальному закону с a = 25 см и σ = 0, 4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.
Вероятность |
для |
одной |
детали иметь указанное отклонение равна |
|||||
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,16 |
2 · 0, 15542 = 0, 31084. Вероятность для двух |
|||
P |
ξ − 25 ≤ 0, 16 |
= 2Φ |
|
0,4 |
||||
деталей равна |
0, 310842 |
|
(0 |
|
) . |
|||
|
|
|
|
|
, 097 |
|||
17.35.Диаметр выпускаемой детали — случайная величина ξ (измеряемая
всантиметрах), распределена по нормальному закону с a = 5 см и σ = 0, 9 см. Найти
1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр в пределах от 4 до 7 см;
2) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см;
3) в каких границах должен быть диаметр детали, чтобы вероятность не
выйти за эти границы была равна 0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) |
P (4 |
≤ |
ξ |
≤ |
7) = Φ |
7−5 |
− |
Φ |
4−5 |
|
= Φ |
|
|
2 |
|
+ Φ |
|
1 |
|
|
Φ (2, 22) + |
||||||||||||||||||
|
|
0,9 |
|
|
0,9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Φ (1 |
, |
11) |
|
|
0 |
, |
48679 + 0 |
, 36650 = 0, 8533 |
|
) |
|
|
( ) |
( |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
− 5 ≤ 2 = 2Φ (0,9 ) |
|
2Φ |
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
P |
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2, 22) |
|
2 |
|
0, 48679 |
|
|
0, 9736 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
≤ |
|
, или |
|
|
0,9 |
|
≤ |
|
, или |
|
0,9 |
|
|
≤ |
|
, или |
0,9 ≤ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
≤ |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1, 96 |
|
P |
( ξ |
|
|
5 |
|
|
ε ) |
0, 95 |
|
|
|
2Φ |
|
|
|
|
0, 95 |
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
0, 475 |
|
|
|||||||
|
|
или |
|
ε |
|
|
1, 764 |
|
|
Искомый |
интервал ( |
значений |
диаметра: |
||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
( |
) |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
[3, 236; 6, 236]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17.36.Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с a = 2, 2
иσ = 0, 5. Какова вероятность того, что при первом испытании случайная
55
величина окажется на отрезке [3; 4], а при втором испытании — на отрезке [1; 2]?
( ) ( )
Вероятность для первого испытания P (3 ≤ ξ ≤ 4) = Φ
( ) ( )
4−2,2 |
− Φ |
3−2,2 |
= |
0,5 |
0,5 |
Φ |
1,8 |
− Φ |
0,8 |
= Φ (3, 6) − Φ (1, 6) 0, 49984 − 0, 44520 = 0, 05464. |
0,5 |
0,5 |
|||
|
|
|
|
( ) ( ) |
Вероятность для второго испытания P (1 ≤ ξ ≤ 2) = Φ |
|||
( ) |
( ) |
( ) |
( ) |
2−2,2 |
− Φ |
1−2,2 |
= |
0,5 |
0,5 |
Φ |
−0,2 |
− Φ |
−1,2 |
= −Φ |
0,2 |
+ Φ |
1,2 |
= −Φ (0, 4) + Φ (2, 4) −0, 15542 + |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
|||||
0, 49224 = 0, 33682. |
|
|
|
|
|
|||
|
Вероятность для обеих испытаний 0, 05464 · 0, 33682 0, 0184. |
|||||||
17.37. Для нормально распределённая случайная величина ξ со средним значением равным 10, найти среднеквадратичное отклонение σ, если известно, что вероятность её отклонения от математического ожидания (по абсолютной
величине) не превышало 0,2 равна 0,8? |
( |
) |
|
|
||||
( |
|
) |
( |
) |
|
|
||
|
|
≤ 0, 2 = 0, 8; 2Φ |
0,2 |
= 0, 8; Φ |
0,2 |
= 0, 4; |
0,2 |
1, 29; σ 1, 55. |
P ξ − 10 |
|
σ |
σ |
σ |
||||
17.38. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Случайный вектор
Занятие ?. Предельные теоремы
17.39.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух пуль и более, если число выстрелов равно 5000.
17.40.Вероятность того, что любой абонент позвонит на станцию в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
17.41.Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
17.42.Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.
17.43.Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено
a)ровно три изделия, б) менее трех изделий, в) более трех изделий, г) хотя бы
56
одно изделие.
17.44.Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок a) ровно две, б) менее двух, в) более двух, г) хотя бы одну (принять e−3 = 0, 04979).
17.45.Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит а) ровно 75 раз, б) ровно 85 раз?
17.46.В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика 0,515.
17.47.Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
17.48.Вероятность появления события A в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится а) не менее 75 раз и не более 90 раз, б) не менее 75 раз, в) не более 74 раз.
17.49.Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790
и830.
17.50.Вероятность появления успеха в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, что с вероятностью 0,9876 абсолютная величина отклонения частоты появления успеха от его вероятности 0,8 не превысит ε.
17.51.Игральную кость бросают 80 раз. Найти приближенно границы, в которых число µ выпадений шестерки будет заключено с вероятностью 0,9973.
17.52.Найти вероятность того, что событие A наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
17.53.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
17.54.Вероятность появления положительного результата в каждом из η опытов равна 0,9. Какое число опытов η надо провести, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?
17.55.Рабочий обслуживает 1000 машин. Вероятность поломки одной машины в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты сломаются пять машин.
17.56.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий забраковано не больше 17?
17.57.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится а) не менее 1470 и не более 1500, б) не менее 1470 раз, в) не более 1469 раз.
57
17.58.Монета брошена 2N раз (N – велико!). Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно N раз. Ф-ла Стирлинга: ≈ √πN1 .
17.59.Монета брошена 2N раз (N – велико!). Найти вероятность того, что орёл выпадет на 2m раз больше, чем решка.
17.60.Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.
17.61.Монета брошена 2N раз (N велико!). Найдите вероятность того, что
√√
число выпадений орла будет заключено между числами N − N2 и N + N2 .
17.62.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?
17.63.Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. На пробу взяли 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один микроб.
17.64.Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы вероятность появления среди них цифры 5 была не менее 0,9.
17.65.В некотором обществе имеется 1% дальтоников. Каков должен быть объем случайной выборки (с возвращением), чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одного дальтоника была не менее 0,95?
58
59
60