a_problembook
.pdf
формуле Гульдена (площади поверхности вращения) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = 2πR∫5/2 f(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + [f′(x)]2 dx, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R/2 |
|
√ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πR2(5−√ |
|
) |
|
||||||||
где |
y = f(x) = |
|
5R2 |
|
|
x2 |
, |
находим σ = |
|
5 |
. Телесный угол, соответству- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
√ 4 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π(5−√ |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ющий этой площади, равен |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Искомая вероятность (часть полного |
||||||||||||||||
R2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π(5−√ |
|
) |
|
|
5−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 |
= |
|
|
|
|
0, 3455 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
телесного угла) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 · 4π |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
§6. Независимые события
6.1. Доказать, что если события A и B не зависимы, то независимы события
Аи B, A и B, A и B.
6.2.Пусть события A и B1 независимы и независимы также события A и B2, при этом B1 ∩ B2 = . Доказать, что события A и B1 B2 независимы.
????????????????
6.3.Бросили монету и игральный кубик. Определить, независимы ли события: A – выпал орёл и B – выпало четное число очков.
?????????????????
6.4.Брошены последовательно 3 монеты. Определить, независимы ли события: A – выпадение орла на первой монете и B – выпадение хотя бы одной решки.
??????????????
6.5.Доказать, что если A и B - независимые события с положительными вероятностями, то они совместны.
??????????????????
6.6.Выясните, как связаны между собой свойства независимости и несовместности двух событий.
??????????????
6.7.Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события: A - появление туза, B - появление карты красной масти, C - появление бубнового туза, D - появление десятки. Зависимы или нет следующие пары событий: а) A и B, б) A и C, в) B и C, г) B и D, д) C и D?
???????????????
6.8.Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются события: A — на первой монете выпал герб, B — на второй монете выпал герб, C — на двух
21
монетах выпал ровно один герб. Убедитесь в том, что события A, B, C попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.
Ω = {(o, o), (o, p), (p, o), (p, p)}; |
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2; P(A ∩ B) = |
P(A ∩ C) = P(B ∩ C) = 1/4, |
P(A)P(B) = P(A)P(C) = P(B)P(C) = 1/4; |
P(A ∩ B ∩ C) = P( ) = 0, P(A)P(B)P(C) = 1/8.
§7. Условная вероятность
7.1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: A = {выпал орёл на первой монете}, B = {выпал хотя бы один орёл}, C = {выпал хотя бы одна решка}, D = {выпал орёл на второй монете}. Определить зависимы или независимы пары событий: 1) A и B, 2) A и C, 3) B и D, 4) C и D. Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре.
??????????????
7.2.Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: A - выпадение орла на первой монете, B - выпадение хотя бы одного орла, C - выпадение хотя бы одной решки, D - выпадение орла на одной монете. Определить путем вычисления условных и безусловных вероятностей зависимы или нет следующие пары событий: а) A и C, б) B и C, в) A и D, г)
B и D.
????????????
7.3.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Используя понятие условной вероятности, найти вероятность того, что студент знает все вопросы, заданные ему экзаменатором. Найти ту же вероят-
ность, используя классическое определение вероятности.
2025 · 1924 · 1823 · = C203 /C253 = 57/115.
7.4. Из урны, содержащей 3 белых и 4 чёрных шара, вынимают без возвращения 5 шаров и записывают их цвета: б – белый, ч – чёрный. Какова вероятность,
что получится последовательность чбччб?
47 · 36 · 35 · 24 · 23 = 2/35.
7.5. Из урны, содержащей 10 шаров, занумерованных цифрами от 0 до 9, достают без возвращения шары и записывают их номера. Какова вероятность
записать последовательность 9731?
101 · 19 · 18 · 17 = 50401 0, 0002.
7.6.Из ящика, содержащего a белых и b черных шаров, вынимают подряд все находящиеся в нем шары, кроме одного. Найти вероятность того, что последний, оставшийся в ящике шар, будет белым.
?????????????????
7.7.Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти вероятность того,
22
что при случайной группировке их на пять групп по три человека в каждой группе будет мужчина.
C51C102 |
· |
C41C82 |
· |
C31C62 |
· |
C21C42 |
· |
C11C22 |
= |
45 |
· |
28 |
· |
30 |
· |
3 |
· 1 = |
81 |
. |
C153 |
C123 |
C93 |
C63 |
C33 |
91 |
55 |
56 |
5 |
1001 |
7.8.Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме не менее девяти очков? Какова вероятность выпадения единицы хотя бы на одной из костей?
????????????
7.9.Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три карточки и располагаются в ряд в порядке появления. Какова
вероятность, что получится слово ДВА?
601 0, 01(6).
7.10.Из ящика, содержащего n занумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в нем шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: {1, 2, . . . , n}.
1/n!.
7.11.Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, наугад вынимают один шар, записывают его номер, возвращают обратно в ящик и перемешивается с другими. Найти вероятность того, что будет записана естественная последова-
тельность номеров: {1, 2, . . . , n}.
1/nn.
7.12.Бросили игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало простое число очков, если известно, что число выпавших очков нечетно?
2/3.
7.13.В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наугад вынимаются 2 шара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если
известно, что не вынут синий шар?
C121 C81/C202 = 48/95.
§8. Полная группа событий
8.1. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет): а) опыт - бросание монеты; события выпадения: A1 – орла, A2 – решки;
б) опыт - бросание двух монет; события: B1 – два орла; B2 – две решки, B3
– орёл и решка; в) опыт – вынимание наугад одной карты из полной колоды (54 листа); со-
бытия: C1 – вынута черва, C2 – бубна, C3 – трефа, C4 – пика;
г) опыт - бросание игрального кубика; события: D1 – не менее 3-х очков, D2
– не более 3-х очков.
23
д) опыт – бросание двух игральных костей; события: C1 – выпадение двух шестёрок, C2 – не выпало ни одной шестёрки, C3 – выпала ровно одна шестёрка.
а) да, б) да, в) да, г) нет, д) да.
§9. Формула полной вероятности
9.1. Из ящика, содержащего a белых и b черных шаров, вынимают подряд два шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.
a |
|
a−1 |
+ |
b |
|
a |
= |
2a |
|
a+b |
· |
a+b−1 |
|
a+b |
· |
a+b−1 |
|
a+b |
. |
9.2. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.п. Найти
вероятность того, что число будет четным.
49 · 58 + 59 · 48 = 59 .
9.3. Имеются 3 одинаковые с виду коробки. В первой – a белых шаров и b черных, во второй – c белых и d черных, а в третьей – только белые шары. Некто подходит наугад к одной из коробок и не глядя вынимает из нее 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
1 |
( |
a |
+ |
c |
+ 1). |
3 |
a+b |
c+d |
9.4.В трех ящиках имеются белые и черные шары. Известно, что во втором
итретьем ящиках число шаров одинаково, причем в два раза больше, чем в первом. Про ящики также известно, что во втором ящике черных и белых шаров поровну, в первом ящике белых шаров в 4 раза больше, чем черных, а в третьем ящике черных шаров столько же, сколько и в первом. Из наугад выбранного ящика случайным образом вынимают шар. Какова вероятность того, что он
белый. |
|
|
|
|
) |
|
||
1 |
( |
4 |
|
1 |
|
9 |
11 |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
15 . |
3 |
|
5 |
2 |
10 |
||||
9.5. Имеются 2 одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него 1 шар. Какова вероятность, что вынутый шар ока-
жется белым? |
|
|||||
1 |
( |
2 |
|
1 |
) |
13 |
2 |
|
3 |
+ |
5 |
= |
30 . |
9.6. В коробку, содержащую два шара, опущен белый шар; после этого из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того,что извлеченный шар окажется белым, если все возможные предположения о первоначальном числе
белых и числе чёрных шаров в коробке равновозможны.
23 .
9.7. В коробку, содержащую n белых и чёрных шаров, опущен белый шар. После этого наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если все возможные предположения о первоначальном числе белых и числе чёрных шаров в коробке равновозможны.
1 |
(1 + |
n |
n 1 |
n 2 |
1 |
) = |
n+2 |
||
|
|
+ n+1− |
+ n+1− |
+ · · · + |
|
|
. |
||
n+1 |
n+1 |
n+1 |
2(n+1) |
||||||
24
9.8. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, а для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена,
если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
25 · 0, 7 + 35 · 0, 95 = 0, 85.
9.9. Имеются два ящика: в первом a белых и b черных шаров, во втором c белых и d черных. Из первого ящика во второй перекладывают не глядя один шар. После этого из второго ящика вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
a |
|
c+1 |
|
b |
|
c |
|
(a+b)c+a |
|
· |
+ |
· |
= |
|
. |
||||
a+b |
c+d+1 |
a+b |
c+d+1 |
(a+b)(c+d+1) |
|||||
9.10. Имеются две коробки: первая содержит 3 белых и 2 черных шара, вторая – 4 белых и 4 черных. Из первой коробки во вторую не глядя перекладывают два шара. После этого из второй коробки вынимают один шар. Какова
вероятность того, что этот шар окажется белым.
143 · 57 + 148 · 47 + 143 · 37 = 47 .
9.11. Сбой во время работы цифровой электронной машины может произойти либо в арифметическом устройстве, либо в оперативной памяти, либо в её остальных устройствах. Вероятности этих сбоев относятся как 3 : 2 : 5. Квалификация оператора, обслуживающего эту машину такова, что вероятности устранения оператором этих сбоев в этих устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что оператор устранит сбой, возникший в
машине.
103 · 108 + 102 · 109 + 105 · 109 = 0, 87.
9.12. Группа студентов состоит a отличников, b хорошистов, и c троечников. На предстоящем государственном экзамене отличники могут получить с равной вероятностью "пять" или "четыре". Хорошисты могут получить с равной вероятностью "пять" , "четыре" или "три". Троечники могут получить с равной вероятностью "четыре" , "три" или "два". Для сдачи экзамена первым вызывают случайного студента из этой группы. Найти вероятность события A
– студент получит "пять"или "четыре".
|
a |
|
1 |
|
1 |
|
b |
|
1 |
|
1 |
|
c |
|
1 |
|
3a+2b+c |
|
P(A) = |
|
· ( |
|
+ |
2 ) |
+ |
|
· ( |
|
+ |
3 ) |
+ |
|
· |
|
= |
|
. |
a+b+c |
2 |
a+b+c |
3 |
a+b+c |
3 |
3(a+b+c) |
||||||||||||
9.13.Прибор может работать в двух режимах: A и B. Режим A наблюдается
в80% всех случаев работы прибора; режим B – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в режиме A равна 0,1, в режиме B – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.
0, 8 · 0, 1 + 0, 2 · 0, 7 = 0, 22.
9.14.В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 использованных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры и после игры возвращаются обратно. После этого из ящика вынимают два мяча для следую-
щей игры. Найти вероятность того, что эти оба мяча окажутся новыми.
C122 |
· |
C102 |
+ |
C121 C81 |
· |
C112 |
+ |
C82 |
· |
C122 |
= 0, 366. |
C20 |
C20 |
C20 |
C20 |
C20 |
C20 |
||||||
2 |
|
2 |
|
2· |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
25
9.15. Два завода один в России, другой в Белоруссии выпускают фен "Ветерок". Российский завод поставляет 2/3 всех фенов на рынок таможенного союза, белорусский – 1/3. Надежность российского фена (вероятность безотказной работы за время гарантийного срока) равна p1, белорусского – p2. Определить
надежность случайного "Ветерка" , поступившего на рынок.
2p1+p2 .
3
9.16.Три завода производят однотипные электрические чайники. В магазины поступает 50% чайников с первого завода, 20% — со второго завода и 30 —
стретьего. Брак в общем количестве изделий, производимых на первом заводе, составляет 1%, на втором заводе - 2% и на третьем - 3%. Вы спешили и при покупке решили чайник не проверять (мол де сохраню чек, и если что, сдам обратно). Найти вероятность того, что чайник окажется бракованным?
0, 5 · 0, 01 + 0, 2 · 0, 02 + 0, 3 · 0, 03 = 0, 018.
9.17.На фармацевтической базе скопилось N упаковок "Норсульфазола" , среди которых n просроченных, и M упаковок "Сульфадимезина" , среди которых m дефектных. С этой базы в аптеку "Алчный аптекарь" поступила партия, содержащая K упаковок "Норсульфазола" и L упаковок "Сульфадимезина" (K < N, L < M). Из той партии в K + L упаковок народный контролёр берет наугад одну упаковку. Найти вероятность того, что она будет просрочен-
ной или дефектной.
K |
|
n |
|
L |
|
m |
1 |
|
Kn |
|
Lm |
|
|
· |
|
+ |
|
· |
|
= |
|
( |
|
+ |
M ). |
K+L |
N |
K+L |
M |
K+L |
N |
|||||||
§10. Формулы Байеса
10.1. Событие A может появиться при условии появления лишь одного из несовместимых событий H1, H2, . . . , Hn, образующих полную группу событий. После появления события A были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены
условные вероятности P(Hi|A), i = 1, 2, . . . , n. Доказать, что |
|
in=1 P(Hi|A) = 1. |
|||||||||||||||||
|
n |
P( |
|
|
|
n |
P(Hi)P(Hi|A) |
|
1 |
|
|
n |
P( |
|
|
|
1 |
|
P(A) = 1 |
|
i=1 |
H |
A |
) = |
= |
P(A) |
|
i=1 |
H |
H A = |
|
|
|||||||
|
i| |
|
i=1 P(A) |
|
|
|
i)P( i| ) |
P(A) |
. |
||||||||||
10.2. Событие A может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) B1, B2, B3, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т.е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что P (B1|A) = 0, 6 и P (B2|A) = 0, 3. Чему равна условная вероятность P (B1|A)?
????????????????
10.3. Имеются три неразличимые по виду ящика. D одном ящике, назовём его первым, содержится a белых и b черных шаров, в другом, назовём его вторым, – c белых и d черных, в третьем – k белых шаров (черных нет). Наугад выбран один ящик и из него вынут один шар, который оказался белым. Найти вероятность событий а) H1 – шар вынули из первого ящика; б) H2 – шар вынули
26
из второго ящика; в) H3 – шар вынули из третьего ящика. |
|
|
|||||||||||||||||
а) P(H1) = |
a |
|
: |
|
a |
+ |
c |
+ 1 ; б) P(H2) = |
c |
: |
|
a |
+ |
c |
+ 1 ; в) P(H3) = |
||||
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
( |
a+b c+b |
) |
c+b |
( |
a+b |
c+b |
) |
||||||
|
|
|
|
|
a+b |
|
|||||||||||||
1 : |
a |
+ |
c |
+ 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a+b |
c+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10.4. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, каждое из которых он посещает с равной вероятностью. Известно, что в первом месте рыба клюет с вероятностью равной p1, на втором — с вероятностью p2, на третьем — с вероятностью p3. Во время очередной рыбалки рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что рыба клюнула на втором месте.
|
31 p2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
= |
|
. |
1 p1 |
+ 1 p2 |
+ 1 p3 |
p1+p2+p3 |
||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
10.5.Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).
20/21.
10.6.Два стрелка, независимо один от другого, стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
6/7.
10.7.Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому шоссе, как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1,
адля легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
3/7.
10.8.Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая опять оказывается стандартной. Найти вероятность
того, что детали были извлечены из третьей партии.
13 ·12
13 (1+ 1520 + 1020 )
10.9. В специализированную инфекционную больницу поступают в среднем 50% больных с гепатитом типа A, 30% — c гепатитом типа B, 20% — с гепатитами типов C – G. Вероятность полного излечения от гепатита A равна 0,9, от гепатита B — 0,8, от гепатита типов (в среднем) C – G — 0,1. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что он болел одним из гепатитов C – G.
0, 028.
10.10. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно
27
равны 0,6; 0,4 и 0,3.
0,6·0,4·0,7 |
= 14/27. |
0,6·0,4·0,7+0,6·0,6·0,3+0,4·0,4·0,3 |
10.11. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое – подготовленных отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеются 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданные вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен а) отлично, б) плохо.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 · |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
0,3 |
· |
1 |
|
|
|
|
|
|
, б) |
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
C3 |
|
|
C3 |
||||||||
0,3 |
· |
1 + 0,4 |
· |
16 |
+ 0,2 |
· |
10 |
+ 0,1 |
· |
5 |
|
|
0,3 |
· |
1 + 0,4 |
· |
16 |
+ 0,2 |
· |
10 |
+ 0,1 |
· |
5 |
|
|||||
3 |
3 |
3 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
C20 |
|
|
|
C20 |
|
C20 |
|
|
C20 |
|
|
C20 |
|
C20 |
||||||||||||
10.12. Пассажир может обратиться за билетом в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их места расположения и равны соответственно p1, p2, p3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, для первой кассы равна p1, для второй — p2, для третьей — p2. Пассажир направился за билетом в одну из касс
и приобрел билет. Найти вероятность того, что билет был куплен в первой кассе.
p1(1−p1) . p1(1−p1)+p2(1−p2)+p3(1−p2)
§11. Схема независимых испытаний
11.1. Для n испытаний по схеме Бернулли найти вероятности событий: а) A — не появилось ни одного успеха; б) B — появился хотя бы один успех; в) C — успех появился не менее m1 раз и не более m2 раз, m1 < m2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) P(A) = P(ξn = 0) = Cnp |
|
(1 − p) m2= (1 |
− p) ; б)mP2 (B) = P(ξn ≥ 1) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
− |
P(ξ |
n |
= 0) = 1 |
|
− |
(1 |
− |
p)n |
; в) |
P(C) = |
|
|
|
P(ξ = i) = |
|
Ci pi(1 |
− |
p)n−i |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=m |
|
n |
|
i=m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
11.2. Монету подбрасывают 10 раз. Найти∑1 |
вероятность∑1 |
выпадения орла: а) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ровно 5 раз; б) не более 5 раз; в) хотя бы один раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
5 |
|
|
1 |
|
5 |
1 |
|
|
5 |
= 63/256 0, 246; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
C10 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
б) |
|
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
9 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
8 |
3 |
1 |
3 |
1 |
|
7 |
|
4 |
1 |
|
4 |
|
1 |
|
6 |
+ |
|||||||
|
C10 |
(2 ) (2 ) |
|
|
+ C10 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
+ C10 |
2 |
|
|
2 |
|
|
+ C10 |
2 |
|
2 |
|
|
+ C10 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
C |
5 |
1 |
5 |
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
10/1024 + 45/1024 + 120/1024 + 210/1024 + 252/1024 = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2( )=(1) |
1024 + ( |
) |
|
( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
( ) |
|
|
( |
) ( |
) |
|
|
|
( |
) |
|
( |
) |
|
|
|||||||||||||||||||||
638/1024 = 319/512 |
|
|
0, 623; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
( |
) ( |
|
) |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − 1/1024 = 1023/1024 0, 999. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) 1 − C10 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
11.3. |
|
Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна 0,01. Сколько |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
билетов (n =?) нужно купить, для того, чтобы вероятность хотя бы одного
выигрыша была не меньше, чем 0,9?
P(ξn ≥ 1) = 1−P(ξn < 1) = 1−P(ξn = 0) = Cn00, 010 (1 − 0, 01)n = 1−0, 99n ≥
0, 9, откуда n ≥ lnln00,,991 229, 1, следовательно n ≥ 230.
28
11.4. Игральную кость подбрасывают пять раз. Найти вероятность того, что два раза появится число очков, кратное 3.
C52/25 = 5/16.
11.5. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий а) не окажется ни одного испорченного, б) будут два испорченных изделия.
а) 0, 955 0, 77, б) C52 · 0, 052 · 0, 953 0, 02.
11.6. В некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми?
C83 · 0, 43 · 0, 65 0, 28.
11.7.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются).
3/8 > 5/16, две из четырёх.
11.8.Что вероятнее, выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) три партии из четырех или пять из восьми?
11.9.Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет а) менее двух раз, б) не менее двух раз.
11.10.Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность, что среди них не больше двух девочек.
11.11.Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
11.12.В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей а) два мальчика, б) не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
11.13.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятное число удачных опытов, если общее их количество равно 7.
11.14.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятное число попаданий было равно 20?
11.15.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех, б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.
11.16.Найти вероятность того, что событие A появится не менее трех раз
вчетырех независимых испытаниях, если вероятность появления события A в одном испытании равна 0,4.
11.17.Событие B появится в случае, если событие A наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события B, если будет произведе-
29
но пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна 0,8.
11.18. В семье пятеро детей. Найти вероятность того, что среди этих детей а) более двух мальчиков, б) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
§12. Случайные величины
12.1. Известно, что P(ξ > π) = 0, 3. Найти Fξ(π). |
|
|
|
|
||||||||||
|
Fξ(π) = P(ξ ≤ π) = 1 − P(ξ > π) = 0, 7. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
12.2. Дискретные случайные ξ и η имеют ряды распределения |
|
ξ |
−1 |
0 |
|||||||||
|
|
P |
0, 6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и |
η |
|
0 |
|
2 |
. Что больше по величине Fξ (Fη(0, 5)) или Fη (Fξ(0, 5))? |
|
|||||||
P |
0, 7 |
|
0, 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Fη(0, 5) = P(η ≤ 0, 5) = P(η = 0) = 0, 7, Fξ (0, 7) = P(ξ ≤ 0, 7) = P({ξ = |
|||||||||||||
−1} {ξ = 0}) = P(ξ = −1) + P(ξ = 0) = 1; Fξ(0, 5) = P(ξ ≤ 0, 5) = P(ξ = |
||||||||||||||
−1) = 1, |
Fη (1) = P(η ≤ 1) = P(η = 0) = 0, 7. |
Fξ (Fη(0, 5)) > Fη (Fξ(0, 5)). |
|
|||||||||||
|
12.3. |
Дискретная |
случайная величина |
ξ имеет ряд |
распределения |
|||||||||
ξ |
1 |
|
3 |
|
|
5 |
|
7 |
. а) Найти функцию распределения Fξ(x) и построить |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P |
0, 1 |
0, 3 |
|
0, 2 |
0, 4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
её график. б) Найти плотность вероятности fξ(x) и построить её график. в) Найти P(−3 ≤ ξ ≤ 5).
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x < 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 1, |
1 |
≤ |
x < 3 |
|
− |
− |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) Fξ(x) = |
|
0, 4, 3 |
≤ x < 5 |
= 0, 1 u(x |
1) + 0, 3 u(x |
3) + |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 6, |
5 |
|
|
x < 7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x ≥ 7 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
|
7); |
|
|
|
|
|
|
|
|
+0, 2 u(x 5) + 0, 4 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
б) fξ(x) = 0, 1 δ(x − 1) + 0, 3 δ(x − 3) + 0, 2 δ(x − 5) + 0, 4 δ(x − 7); |
|
||||||||||||||||
|
в) P(−3 ≤ ξ ≤ 5) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 2 = 0, 6. |
|
|
|||||||||||||||
12.4. |
Дискретная |
случайная |
величина ξ имеет ряд распределения |
|||||||||||||||
ξ |
−3 |
|
−1 |
|
0 |
2 |
|
|
3 |
|
. Найти функцию распределения, построить её гра- |
|||||||
P |
|
0, 1 |
0, 3 |
0, 2 |
|
|||||||||||||
0, 1 |
0, 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
фик |
и найти P(−3 ≤ ξ ≤ 1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0, |
x < |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0, 1, |
|
3 |
−x < −1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0, 4, |
−1 ≤ x < 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− ≤ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F (x) = |
|
0, 5, |
0 |
|
|
x < 2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0, 8, |
2 |
≤ x < 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
3 |
≤ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30