a_problembook

З А Д А Ч Н И К

§1. Пространства элементарных событий и случайные события

Теория вероятностей, как и любая современная математическая теория, начинается с аксиоматических (неопределяемых) понятий. Такими являются следующие понятия.

1)Понятие: опыт = испытание = эксперимент. Считается, что все три слова означают одно и то же, т.е. являются синонимами.

2)Понятие: произойти = появиться = возникнуть.

3)Понятие: элементарное событие = элементарный исход = результат =

шанс.

Типичная фраза: «В результате опыта произошло элементарное событие ω». Про элементарное событие известно то, что оно не может состоять из более мелких событий. Выпадение орла при подбрасывании ломаного гроша, вспышка сверхновой звезды — элементарные события. Множество всех элементарных событий, которые могут произойти в результате опыта, называется простран-

ством элементарных событий и обозначается Ω = {ω1, ω2, . . .}.

Любое подмножество A пространства элементарных событий Ω называется случайным событием или просто событием. Считается, что событие A произошло, если произошло какое-нибудь элементарное событие ω A.

Событие A называется массовым, если опыт (испытание, эксперимент), при котором событие A может произойти, можно повторить

1)неограниченное число раз и 2) при одних и тех же условиях. Например, вспышка сверхновой звезды не является массовым событием. Методами теории вероятностей изучают (в основном) опыты, которые по-

рождают массовые события.

1.1. Пусть Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6} — пространство элементарных событий в опыте бросания игральной кости, где ωi — выпадение грани с числом очков равным i. Рассмотрим события: A — выпало три очка, B — выпало число очков кратно трём, C — выпало нечётное число очков, D — выпало число очков не меньше двух. Выразить эти события через ω1, ω2, . . . , ω6.

A = {ω3}, B = {ω3, ω6}, C = {ω1, ω3, ω5}, D = {ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.

1.2. Опыт состоит в том, что производится один выстрел по плоской мишени (мишень считаем бесконечной, размером пули можно пренебречь). Начало O координат xOy на мишени — основание перпендикуляра, опущенного из центра

1

Описать в координатах событие A — расстояние от точки попадания до начала координат не превосходит 10 (см).

A = {(x, y) Ω | x2 + y2 ≤ 100}.

1.3. Монету подбрасывают три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать упорядоченную последовательность (x1, x2, x3), где каждый xi обозначает выпадение орла o или решки p. а) Описать пространство элементарных событий Ω перечислением его элементов. б) Описать событие A, состоящее в том, что выпало не менее двух орлов.

а) Ω = {(o, o, o), (o, o, p), (o, p, o), (o, p, p), (p, o, o), (p, o, p), (p, p, o), (p, p, p)}; б) A = {(o, p, p), (p, o, p), (p, p, o), (p, p, p)}.

1.4.Опыт состоит в подбрасывании двух монет с возможным выпадением o

—орла или p — решки на каждой монете. Возможны два условия опыта: а) монеты неразличимы; б) монеты различимы, например, пронумерованы. Описать пространства элементарных событий в случаях а) и б).

а) Ω = {(o, o), (o, p), (p, p)}, б) Ω = {(o, o), (o, p), (p, o), (p, p)}.

1.5.Опыт состоит в регистрации числа элементарных частиц, появившихся в процессе радиоактивного распада на определённом промежутке времени τ. Элементарные исходы — натуральные числа из Z. Описать пространство элементарных событий.

Ω = Z {0} = {0, 1, 2, . . .}.

1.6.Подбрасывают две неразличимые игральные кости и фиксируют выпавшие очки. а) Описать пространство элементарных событий и указать число его элементов µ(Ω). б) Привести пример случайного события A Ω, не являюще-

гося элементарным исходом, и найти число его элементов µ(A).

1.8.Четыре разные буквы написаны на четырёх карточках. Случайным образом последовательно выбирают 3 карточки и наблюдают выложенное из них "слово". а) Найти число элементов µ(Ω) пространства элементарных событий. б) Привести пример случайного события A Ω, не являющегося элементарным исходом, и найти число его элементов µ(A).

а) µ(Ω) = A34 = 24; б) например, событие A — упорядоченные тройки из трёх фиксированных букв, µ(A) = 6.

1.9.На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи — белую и чёрную и наблюдают полученную расстановку этих фигур в координатах шахматной доски {a, b, c, d, e, f, g, h}×{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, что означает, что расстановки различны при симметриях шахматной доски. а) Найти число элементов µ(Ω) пространства элементарных событий расстановок этих ладей. б) Привести

2

пример случайного события A Ω, не являющегося элементарным исходом, и найти число его элементов µ(A).

а) µ(Ω) = 64 · 63 = 4032;

б) например, событие A — ладьи бьют друг друга, µ(A) = 64 · 14 = 896.

1.10.На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи — белую и чёрную, так, что ладьи не бьют друг друга. а) Найти число элементов µ(Ω) пространства элементарных событий расстановок этих ладей. б) Привести пример случайного события A Ω, не являющегося элементарным исходом, и найти число его элементов µ(A).

а) µ(A) = 64 · 14 = 896;

б) например, событие A — ладьи стоят рядом, µ(Ω) = 4 · 1 + 24 · 2 + 36 · 4 = 196.

1.11.На шахматную доску ставят случайным образом две ладьи одного цвета. а) Найти число элементов µ(Ω) пространства элементарных событий расстановок этих ладей. б) Привести пример случайного события A Ω, не являющегося элементарным исходом, и найти число его элементов µ(A).

а) µ(Ω) = 64·63 = 2016; б) например, событие A — ладьи не стоят на одной

2

горизонтали, µ(A) = 64·56 = 1792.

2

1.12. Опыт состоит в том, что производится один выстрел по плоской бесконечной мишени, на которой попадание пули рассматривается как точка. Описать пространство элементарных событий.

Ω = R2.

1.13. Монету бросают до появления первого орла. Описать пространство элементарных событий.

Ω = {o, po, p2o, p3o, . . . , pno, . . .}.

§2. Действия над случайными событиями

Событие Ω называется достоверным. Событие Ω называется невозможным.

Т.к. события определены как подмножества пространства элементарных событий, то операции над множествами автоматически переносятся на события.

Событие A B называется объединением событий и состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B.

Событие A ∩ B называется пересечением событий A и B и состоит в том, что произошли оба события A и B.

Событие A r B называется разностью событий A и B и состоит в том, что событие A произошло, а B — нет. Ясно, что

A r B = A ∩ B. (1)

3

Вчастности, событие A = Ω rA называется противоположным событию A

впространстве элементарных событий Ω и состоит в том, что событие A не произошло. Ясно, что

A = A (2) и A A = Ω. (3)

Т.к. = Ω r = Ω и Ω = Ω r Ω = , то невозможное событие и достоверное событие Ω являются взаимно противоположными друг другу.

Говорят, что событие A влечёт событие B, и пишут A B, если при наступлении события A происходит и событие B.

События A и B называются несовместными, если A ∩ B является невозможным событием, т.е. A ∩ B = .

События A1, . . . , An называются попарно несовместными, если для i ≠ j события Ai и Aj несовместны.

4) Законы поглощения:

A A = A, A ∩ A = A, A = A, A ∩ = , A Ω = Ω, A ∩ Ω = A.

4) Правила двойственности де Моргана.

а) Событие, противоположное объединению событий, равно пересечению противоположных событий:

A1 A2 . . . An = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An.

б) Событие, противоположное пересечению событий, равно объединению противоположных событий:

A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = A1 A2 . . . An.

4

2.1.Событие B влечёт событие A. Чему равны их объединение и пересече-

ние?

A B = A, A ∩ B = B.

2.2.Докажите, что в пространстве элементарных событий Ω из дистрибутивности пересечения относительно объединения (A B)∩C = (A∩C) (A∩C) следует дистрибутивность объединения относительно пересечения (A∩B) C = (A C) ∩ (B C).

Преобразуем правую часть к левой. (A C) ∩ (B C) =

(A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C) (C ∩ C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C) C = (A ∩ B) (A ∩ C) (B ∩ C) (Ω ∩ C) = (A ∩ B) (A B Ω) ∩ C =

(A ∩ B) (Ω ∩ C) = (A ∩ B) C.

2.3.Докажите, что (A r B) B = A B.

(A r B) B = (A ∩ B) B = (A B) ∩ (B B) = (A B) ∩ Ω = A B.

2.4.Доказать, что если, A влечёт событие B, т.е. A B, то а) B = A (B r A);

б) события A и B r A несовместны.

а) A (B rA) = A (B ∩A) = (B ∩A) (B ∩A) = B ∩(A A) = (B ∩Ω) = B; б) A ∩ (B r A) = A ∩ B ∩ A = B ∩ A ∩ A = B ∩ = .

2.5.Доказать, что для любых A и B

а) A B = A (B r (A ∩ B));

б) события A и B r (A ∩ B) несовместны

а) A (B r (A ∩ B)) = A (B ∩ A ∩ B) = (A B) ∩ (A A ∩ B) = (A B) ∩ (A A B) = (A B) ∩ (Ω B) = (A B) ∩ Ω = A B;

б) A ∩ (B r (A ∩ B)) = A ∩ (B ∩ A ∩ B) = (A ∩ B) ∩ A ∩ B = .

2.6. Доказать, что для любых A и B выполнено тождество

B = (B r A) (A ∩ B).

(B r A) (A ∩ B) = (B ∩ A) (A ∩ B) = (B ∩ A) (B ∩ A) = B ∩ (A A) =

B ∩ Ω = B

2.7. На звёздном небе Ω нарисованы два виртуальных круга. На небе в любой момент и в любом месте может вспыхнуть сверхновая звезда. События: A – сверхновая вспыхнет в первом круге, а B – во втором. Какой смысл имеют

события а) A, б) B, в) A B, г) A ∩ B, д) A B, е) A ∩ B? Ответ дать через A, B и Ω в положительной форме, например, звезда вспыхнет в A ∩ B.

а) A — звезда вспыхнет в Ω r A, б) B — звезда вспыхнет в Ω r B, в) A B

— звезда вспыхнет в Ω r A ∩ B, г) A ∩ B — звезда вспыхнет в Ω r A B, д)

A B — звезда вспыхнет в A ∩ B, е) A ∩ B — звезда вспыхнет в A B.

2.8. Пусть A, B, C — три произвольных события из пространства элементарных событий Ω = A B C. Выразить через них следующие события: а) произошло только событие A; б) произошло A или B, а C не произошло; в) произошли A и B, а C не произошло; г) произошли все три события; д) произошло хотя бы одно из событий; е) произошло только одно событие;

5

ё) произошло не более 1-го события; ж) произошли хотя бы два события; з) произошли два и только два события; и) произошло не более 2-х событий; к) не произошло ни одно событие.

а) A r B C; б) A B r C; в) A ∩ B r C; г) A ∩ B ∩ C; д) Ω = A B C; е) (A r B C) (B r A C) (C r A B); ё) то же, что в е); ж) (A ∩ B) (B ∩ C) (A ∩ C); з) (A ∩ B) (B ∩ C) (A ∩ C) r A ∩ B ∩ C; и) Ω r A ∩ B ∩ C; к) .

2.9. Пусть A, B, C — три произвольных события из пространства элементарных событий Ω и Ω r(A B C) ≠ . Выразить через них следующие события: а) произошло только событие A; б) произошло A или B, а C не произошло; в) произошли A и B, а C не произошло; г) произошли все три события; д) произошло хотя бы одно из событий; е) произошло только одно событие; ё) произошло не более 1-го события; ж) произошли хотя бы два события; з) произошли два и только два события; и) произошло не более 2-х событий; к) не произошло ни одно событие.

а) A r B C; б) A B r C; в) A ∩ B r C; г) A ∩ B ∩ C; д) A B C; е) (A r B C) (B r A C) (C r A B); ё) то же, что в е); ж) (A ∩ B) (B ∩ C) (A ∩ C); з) (A ∩ B) (B ∩ C) (A ∩ C) r A ∩ B ∩ C; и) A B C r A ∩ B ∩ C; к) .

2.10.Относительно каждой группы событий ответить на вопрос, являются ли они в данном опыте несовместными: а) опыт — бросание монеты, события: o — выпал орёл, p — выпала решка; б) опыт — бросание двух монет, события: o1 — орёл на первой монете, o2 — орёл на второй монете; в) опыт

—вынимание двух карт из колоды, события: C1 — обе карты черной масти, C2 — среди вынутых карт есть дама треф, C3 — среди вынутых карт есть туз пик.

а) несовместны; б) совместны; в) совместны.

2.11.Опыт — бросание двух монет. Рассматриваются следующие события:

Определить каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) A C, 2) A ∩ C, 3) E ∩ F , 4) G E, 5) G ∩ E, 6) B ∩ D, 7) E K.

1) E, 2) K, 3) G, 4) E, 5) G, 6) H, 7) E.

2.12. На отрезке [a, b] случайно возникают две точки. Какие пары из следующих событий являются несовместными: A — левая точка ближе к b, чем к a; B — расстояние между точками больше (b − a)/2; C — правая точка ближе к левой, чем к b?

6

§3. Классическая вероятность

Классическая вероятность определена только для опытов, имеющих конечное пространство элементарных событий, которые подчинены условию равновозможности, Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn}.

Элементарные события из пространства Ω называются равновозможными (или равновероятными), если при многократном повторении этого опыта ни одно из них не появляется чаще, чем другие. Например, равновозможными являются выпадение орла или решки при подбрасывании симметричной монеты; выпадения граней игральной кости; извлечение одной карты из колоды карт; вытягивание билета на экзамене и т.п.

Рассмотрим произвольное событие A Ω, скажем A = {ωi1 , ωi2 , . . . , ωik }. Напомним, что событие A происходит, согда происходить одно из его элементарных событий ωi1 , ωi2 , . . . , ωik . Эти события называются благоприятствующими исходами для появления события A. Обозначим число благоприятствующих исходов через µ(A) = k.

Если

1)пространство элементарных событий конечно, т.е. µ(Ω) N;

2)элементарные исходы равновозможны,

то такой опыт называется классической схемой шансов.

В классической схеме вероятностью события P(A). называют отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов:

P(A) = µµ((Ω)A) = nk .

Это определение называется классическим определением вероятности.

3.1.Студент выучил не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить невыученный билет будет для него наименьшей, когда он тащит билет, войдя первым или последним?

Вероятность одна и та же.

3.2.Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадения а) четвёрки, б) числа очков большего четырёх?

а) 1/6, б) 1/3.

3.3.Бросают две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, что сумма очков нечетная, а событие B состоит в том, что хотя бы на одном из

кубиков выпала единица. Найти вероятности событий а) A ∩ B, б) A B, в) A ∩ B, г) A ∩ B, д) A B.

а) 1/6; б) 2/3; )1/3; г) 5/36; l) 13/36.

3.4. Два игрока бросают по монету по 2 раза каждый. Выигравшим считается тот, кто получит больше орлов. Найти вероятность выигрыша каждого игрока.

7

3.5.Два игрока по очереди бросают кубик, каждый по одному разу. Выигравшим считается тот, у кого выпадет большее число очков. Найти вероятность

выигрыша каждого игрока.

Вероятность для каждого = 125 ; вероятность ничьи = 16 .

3.6.Бросают n игральных костей. Найти вероятности получить сумму очков

равные n и n + 1.

1/6n, n/6n.

3.7.В кармане имеется несколько монет достоинством в 2 коп. и 10 коп. (неразличимых на ощупь). Известно, что 2-копеечных монет втрое больше, чем 10-копеечных. Наугад вынимают одну монету. Какова вероятность того, что это 10-копеечная монета.

1/4.

3.8.Некто купил карточку "Спорт-лото 6 из 49" и отметил в ней 6 номеров. Найти вероятности следующих событий: Ai – угаданы i выигрышных номеров

из 6 для i = 3, 4, 5, 6 (при i = 1, 2 выигрыша не было).

C6i/C496 .

3.9. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

10/A25 = 1/2.

3.10. В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают наугад 1

шар. Найти вероятность того, что этот шар — белый.

a+a b.

3.11. В ящике a белых и b черных шаров (a ≥ 2). Из ящика вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Ca2/Ca2+b.

3.12. В ящике a белых и b черных шаров (a ≥ 2, b ≥ 3). Из ящика вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три черными.

(Ca2 · Cb3)/Ca5+b.

3.13. В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают 1 шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из ящика берут

еще 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.

a−1 .

a+b−1

3.14. В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают один шар и, не глядя, откладывают в сторону. После этого из ящика взяли еще 1 шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в

сторону, тоже белый.

a−1 .

a+b−1

3.15. В ящике a белых и b черных шаров. Из ящика вынимают без возвра-

8

щения один за другим все шары, кроме одного. Найти вероятность того, что

оставшийся в урне шар — белый.

a+a b.

3.16. В ящике a белых и b черных шаров (a ≥ 2, b ≥ 2). Из ящика одновременно вынимают два шара. Какое событие более вероятно: A – шары одного цвета, B – шары разных цветов?

(Ca2 + Cb2)/Ca2+b (Ca1 · Cb1)/Ca2+b, событие A вероятнее B, если точка (a, b) находится снаружи параболы (a − b)2 = a + b; B вероятнее A, если точка (a, b)

находится внутри параболы этой параболы; равновероятны, если точка (a, b) лежит на параболе.

3.17. Из урны, содержащей 4 белых и 7 чёрных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар а) белый, б) чёрный?

а) 4/11, б) 7/11.

3.18. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке?

1/6!.

3.19. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что орёл появится хотя бы один раз.

3/4.

3.20. Загадано двузначное число. Найти вероятность а) его отгадать; б) его отгадать, если известно, что цифры его различны; в) его отгадать, если известно, что цифры его различны, и число десятков меньше числа единиц.

а) 1/90, б) 9/10, в) 2/5.

3.21. Из слова РОССИЯ выбирают наугад (например, с помощью игральной

( )

кости и подстановки Р О С С И Я ) одну букву. Какова вероятность того, что это а) гласная, б) согласная, в) буква С?

а) 1/2, б) 1/2, в) 1/3.

3.22.Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадает на одном из них, и на всех трёх кубиках выпадут числа очков, не совпадающие между собой.

5/18.

3.23.В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором

—с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров: а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11.

а) 1; б) 1/5; в) 3/5.

3.24.При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

1/20.

3.25.Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, пом-

9

ня лишь, что эти цифры различны, набрал номер наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

18/25.

3.26.Двое разыгрывают апельсин путём "выбрасывания" каждым из игроков пальцев на обеих руках и последующего суммирования их количества. Одинаковы ли вероятности чётного и нечётного количества "выброшенных" пальцев?

Чётное число пальцев – 13/25, нечётное – 12/25.

3.27.Выбранная из полного комплекта кость домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую наудачу взятую кость можно приставить к первой.

4/9.

3.28.Из ящика, содержащего 4 красных и 7 белых носков, не глядя достают пару носков. Какова вероятность того, что оба носка окажутся красного цвета?

6/55.

3.29.На книжную полку случайным образом поставлены 10 книг, среди которых оказались три тома учебника Г.М.Фихтенгольца. Какова вероятность, что эти три тома стоят рядом один за другим?

1/15.

3.30.В урне три белых и семь чёрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся разного цвета?

7/15.

3.31.Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что хотя бы на одном из них появится шестерка, а сумма очков на обоих была четным числом.

5/36.

3.32.Найти вероятность того, что дни рождения двенадцати человек приходятся на разные месяцы года.

12!/1212 ≈ 0, 0000537

3.33.На 64-клеточную шахматную доску ставятся наудачу две ладьи белого

ичерного цвета. С какой вероятностью они не будут "бить"друг друга?

64·49 = 7/9.

64·63

3.34.Брошены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут ровно два орла?

3/8.

3.35.Подброшены 100 монет. Какова вероятность выпадения ровно 50 ор-

вынимают один шар. Какова вероятность того, что число на шаре не содержит две идущие друг за другом одинаковые цифры?

10