Konspekt_za_2y_semestr_po_fizike

Лучом называют линию касательно к каждой точке которой является вектор К. Для определения формы луча очень полезен принцип Ферма для вывода которого рассмотрим разности фаз в двух точка распространяется на одном луче в один и тот же момент времени.

Эту разницу фаз модно вычислить интегрируя бесконечно малые изменения фазы вдоль луча

Так как t const dt 0

aR

1 2

С другой стороны dR dl

k

То есть градиент направлен по касательной к траектории точно также как и dldR dl | | dl

Из уравнения Эйконала

p

луча от 1 до 2.

Заметим, что разность фаз в точках 1-2 величина постоянная и не зависит от способа её нахождения. Туже самую разность фаз можно по другой траектории не совпадает с

лучом, но в этом случаи полученный результат будет неправильным так как , dl

непараллельные Выбирая каждый раз другую траекторию не совпадающий с лучом мы будем получать

различные результаты, то есть будет зависит от траектории и только тогда когда траектория совпадёт с лучом не зависит от формы траектории.

Условие независимости функции и условие её экстремума совпадает поэтому интеграл вычисленный вдоль луча не зависит от формы луча и является экстремальной. Оказывается что на траектории луча это минимальная величина.

dl min Время распределения волны вдоль луча минимально. Это и есть принцип

vp

Ферма.

Рассмотрим форму луча между двумя точками в однородной среде.

В однородной среде во всех точках фазовая скорость волны будет постоянна

51

dl min -длинна луча.

1 2

Таким образом в однородной среде луч между точкой 1 и 2 должен быть минимальной длины, то есть прямая линия.

Другими словами в однородной сфере лучи это прямые линии.

Рассмотрим форму луча между точками 1 и 2 находящихся в разных однородных сферах

x

l

h2

Так как в каждой сфере луч это прямая линия то общий луч будет состоять из двух прямых.

Время распространения волны от точки 1 до точки 2 будет

l2 h2 2 (l x)

Так как время должно быть минимальным то dxdt 0

§2.13 Электромагнитные волны в вакууме.

Электромагнитное поле, как известно полностью описывает уравнение Максвелла которые в вакууме будут иметь вид

(B ) B () (B ) 2 B

52

§ 2.1. Точно также:

x(xE ) x( Bt ) (E ) 2 E t (xB )

2 E c 2 2 E 0t 2

То есть мы получим волновое уравнение. Таким образом решение уравнения Максвелла в вакууме будет иметь вид волновых функций. Для простоты рассмотрим сначала случай гармонических волн.

E Eo ei ( t kR )

B B0 ei( t kR )

То есть мы ищем решение уравнения Максвелла в виде плоских монохроматических волн.

Подставим решение в уравнение Максвелла при этом учтём, что оператор можно

заменить на

R

E 0 ikE 0 k EB 0 ikB 0 K B

xE Bt

iKxE i E B

xB 1 E c 2 t

ikxB ci2 E

kxB c 2 E

53

KE B

E E k B

E BC

K

B

§ 2.14 Энергия электромагнитного поля. Вектор Умова-Пойтинга

Рассеем некоторый замкнутый объём V ограниченно замкнутой поверхности S в котором существует электромагнитное поле.

Предположим, что это поле обладает энергией плотность которой u. Тогда полная энергия электромагнитного поля будет udv

v

Вычислим t v udv .

Изменение энергии в объёме V может происходить по двум причинам: за счёт переноса энергии через поверхность S и за счёт мощности всех сил действующих в системе. Смотри §2.4. Для вычисления переносим через поверхность S, введём вектор uv , где v скорость переноса энергии, которая называется плотностью потока энергии.

Тогда энергия переноса в единицу времени, через ds, будет uvds (смотри Электроток.

Уравнение непрерывности). Так как это будет энергия, выносим из объёма ds направленная наружу, то за единицу времени энергия в объёме уменьшится на величину

- uvds .

s

Если внутри объема V имеются электромагнитные заряды, то электронное поле будет совершать работу, что приведёт к уменьшению энергии поля (работа магнитного поля равна 0)

В § « Законы электрического тока» было показано, что мощность электромагнитных сил в единицу объёма вещества будет jE поэтому за единицу времени энергия

электромагнитного поля в объёме V уменьшится на величину - jEdv

v

Так как это равенство должно выполняться для любого объекта V

u (uv ) jEt

Рассмотрим уравнение Максвелла в сфере.

54

Сравнивая полученное выражения, находим, что плотность энергии электромагнитного

Для того чтобы убедится, что полученные результаты верны вспомни §2.13, что

Таким образом электромагнитное поле обладает энергией, плотность которой

u 0 E 2 0 c 2 B 2

2 2

Часть 4 Квантовая механика.

§1 Экспериментальные основы квантовой механики.

К началу 20го века основные физические явления были объяснены классической физикой за исключение нескольких явлений:

1) тепловое излучение тела. Как известно любая движущаяся с ускорением заряженная частица излучает электромагнитные волны. Так как все тела содержат заряженные частицы, то при температуре выше абсолютного 0 они двигаются. Поэтому любое тело при T>0 излучает электромагнитные волны частота которых от 0 до

Пусть энергия излучает электромагнитные волны за единицу времени приходящаяся на

С помощью классической электродинамики Максвелла можно получить зависимость

I ( )

55

I ( )

~ 2

I ( )

I () ~ w2 -закон Релея и Джинкса или «ультрафиолетовой катастрофой»

2) Фотоэффект, который состоял в том, что электромагнитная волна вырывала с поверхности проводника электромагнит. Само это явление легко объясняется классической электродинамикой. Под действие электромагнитного поля электроны проводника начинают двигаться вдоль поверхности.

qvxB

A на движение электронов со стороны qvB со стороны магнитного поля направленного

наружу и она приводит к выражению.

Столетов экспериментом установил, что увеличение амплитуды волны то есть энергии волны, скорость вылетевших электронов не меняется, а меняется их число, что невозможно объяснить классической физикой.

3) Опыты по дифракции электрона

1. Опыт с пулями

Пулемет

Мишень

Будем описывать попадание пуль в мишень вероятность попадания P. Если открыть оба отверстия то вероятности попадания складываются.

56

2. Опыт с волнами

A2

Если открыть одно отверстие то (§2.6) будем наблюдать дифракцию, если второедифракцию

Если оба то интерференцию 3. Опыт с электронами

p

p- вероятность попадания в мишень.

Вероятности не складываются, а интерферируются Электроны описывают вероятности как пули, а вероятности интерферируются как у

волн.

57

§2 Волны де Бройля

Так как электрон проявляет одновременно волновые и корпускулярные свойства, то возникла идея, что этим обладают и все остальные частицы и поэтому общие законы механическим частицам и механические волны должны совпадать.

В теории волны таким общим законом является принцип Ферма, которой позволяет

описывать траектории луча из условий минимума dl v p

Оказывается, что такой же принцип существует и в классической механике E udl

должен быть min

Очевидно, что объединив свойства траектории луча и траектории частицы это одно и тоже, поэтому оба принципа должны удовлетворятся одновременно

Так как это равенство должно выполняться для любых E и u то коэффициенты (E,u) в левой и правой частях должны быть равны.

dE постоянная Планка d

2h

Интегрируя получим

Так как если частицы нет то E 0 и 0 то очевидно, что E0 0

58

Таким образом, частица с одной стороны характеризует корпускулярные

hp - длина волны Дебройля

Таким образов каждая частица соответствует некоторая волновая функция.

(R , t) Aei (kR t )

Получим волновую функция называемую волной Дебройля.

§ 3 Уравнение Шредингера.

Как было показано в § 2.1 волновая функция является решением волнового уравнения, поэтому для волновой функции Дебройля мы можем написать точно такое же уравнение

Рассмотрим волновые функции в виде монохроматической волны, то есть с постоянной частотой

E

Тогда волновая функция:

(R , t) Aei (kR t ) (R )e i t

Подставим функцию в уравнение

59

Это уравнение Шредингера для независимой от времени части волновой функции частицы (R) и часто называют стационарным уравнение Шредингера.

Умножим это уравнение на e i t

Полученное уравнение называется уравнение Шредингера . Рассмотрим комплексно сопряженное уравнении.

(a ib)* a ib

(a ib)(a ib) a2 b2 | a ib |2 (a ib)(a ib)*

Рассмотрим уравнение Шредингера и комплексно сопряжённое уравнение Шредингера

Действительно

( * * ) * * 2 * *

Напоминает по внешнему виду уравнение непрерывности.

(v ) 0t

Чтобы убедиться в этом рассмотрим волновую функцию в виде плоской монохроматической волны Aei(kR t ) F (t)eikR

60