Konspekt_za_2y_semestr_po_fizike

x Acos(t )

вынуждающей силы. Зависимость амплитуды от называется амплитудно-частотный характеристикой системы.

A

Легко заметить, что достаточно приравнять к нулю производную от подкоренного выражения

11

V0

Полученная зависимость называется резонансом скорости. Для определения частоты

при которой V0 = max надо dV0 0 . d

Полученное решение уравнения вынужденных колебаний представляет собой гармоническое колебание. В §1.3 было показано, что энергия гармонических колебаний постоянна. В §2.4 из 1ой части курса было сказано, что полная энергия системы сохраняется, если сумма мощностей всех не потенциальных сил = 0.

В нашей системе таких сил 2: сила трения и внешняя сила. Как известно мощность

силы будет : FтрV FтрхVx VxVx 2 mVx 2

N FV

Sin2 (t ) -мощность внешних сил

N0

t

Очевидно, что среднее значение мощности вынуждающей силы будет:

12

N

Nm

Nm

2

Так как средняя мощность пропорциональна квадрату амплитуды скорости, то резонанс мощности будет происходить при той же частоте, что и резонанс скорости, то есть при0 , осциллятором в котором происходит вынужденные колебания принято характеризовать полимерной резонансной кривой, которая определяется на уровне половины максимальной средней мощности.

Рассмотрим систему со слабым затуханием когда 0 , так как при уменьшение затухания ширина резонансной кривой уменьшается, тогда :

§ 1.5 Вынужденные колебания. Переходный процесс

Решение полученное в § 1.4 уравнение вынужденных колебаний не зависит от начальных условий и поэтому не является единственным и общим. Это частное решение

Для общего решения заметим, что сумма решений нашего уравнения и уравнений затухающих колебаний:

x1 Acos( t )

x2 A0 e t cos( t 0 )

Будет являться решением уравнения вынужденных колебаний, для этого чтобы в этом убедиться:

решением уравнения вынужденных колебаний мы учли, что уравнение затухающих колебаний имеет вид:

13

x A cos(t )) A0 e t cos(t )

A, , , , - определяются параметрами системы

A0 ,0 - являются произвольными и определяться из начальных условий. Поэтому

полученное решение является общим и единственным при заданных начальных условиях.

x A cos(t ) A0 e t cos(t 0 )

Рассмотрим частный случай нулевых начальных условий. x0 x(0) 0

V0 dxdt (0) 0

Подставим начальные условия в решение

0 Acos A0 cos0

Будем считать точно также как в §1.3, что затухание слабое. Тогда: dxdt A sin(t ) A0 e t sin(t 0 )

t 0

0 A sin A0 sin 0

A sin A0 sin 0

Acos A0 cos0 tg 0 tg

Таким образом мы нашли две произвольные величины, которые удовлетворяют нулевым начальным условиям.

Рассмотрим случай, когда tg 0 tg

0

Так как х(0)=0 , то знак «+» не подходит x A(1 e t ) cos(t )

14

x

t

Таким образом полученное ранение состоит из двух частей, при этом вторая часть с течением времени уменьшается и через время релаксации практически исчезает и начиная с этого времени в системе будут наблюдаться колебания формулы которых были получены в §1.4.

При это говорят в системе наблюдается установившейся или стационарный процесс. Поэтому частное решение из §1.4 часто называется стационарным решением.

Это решение от начальных условий не зависит если t

То существуют обе части решения и в системе наблюдается переходный процесс. Форма этого процесса определяется начальными условиями. Рассмотрим случай, когда в системе нет затухания, при нулевых начальных условиях 0 тогда)

t

15

Таким образом при 0 в системе никогда не будет наблюдаться установившееся решение. Всё время переходит процесс. Колебание такого видабиение.

§1.6 Сложение гармонических колебаний двух частот.

В системе с одной степенью свободы могут существовать колебания только с одной частотой.

Для того чтобы в системе могли наблюдаться колебания с разными частотами должно быть много степеней свободы. Если у нас осциллятор с 2-я степенями свободы, то в нём могут наблюдаться колебания с 2я частотами .

Рассмотрим 2 пружинных маятника

Пусть в положение равновесия все пружины не деформированы, координаты каждого из грузиков будет определяться по отношению к его положению равновесию.

Уравнение 1ого грузика будет

Эту систему уравнений можно переписать в общем виде:

d 2 x1 a11 x1 a12 x2

dt 2

d 2 x2 a21 x1 a22 x2

dt 2

a11 k1 k2

m1

Решение этой системы будем искать в виде : x1 A1 cos( t )

x2 A2 cos( t )

Подставим в уравнение:

16

2 x1 a11 x1 a12 x2

2 x2 a21 x1 a22 x2

(a11 2 )x1 a12 x2 0

a21 x1 (a22 2 )x2 0

x

t

В результате сложения 2х колебаний мы получаем биение. Из математики известно, что система однородных уравнений:

(a11 2 )x1 a12 x2 0

нормальные координаты системы. Такие координаты существуют всегда . В нормальных координатах решение:

1 A01 cos( 01t 01 )

2 A02 cos( 02t 02 )

Каждая нормальная координата будет изменяться по гармоническому закону с одной своей собственной частотой никаких сложений колебаний не происходит. Таким образом сложение гармонических колебаний будет происходить в системе с несколькими степенями свободы при условии, что эта система описывает ненормальными координатам.

17

§ 1.7 Физические основы анализа Фурье.

Рассмотрим систему которая обладает N степенями свободы, тогда одна из ненормальных координат этой системы будет представлять собой сумму гармонических колебаний различных частот.

Для простоты выберем начало отсчёта таким образом, что на начальные фазы всех складываемых колебаний =0, тогда результирующие колебание будет:

x Acos1t Acos2t .... Acosn t

Рассмотрим простейший случай когда интервалы между соседними частотами одинаковы:

2 1 3 2 ...

Таким образом при сложение большого числа колебаний с различными частотами мы получим колебания с некоторой средней частотой s амплитуда которого:

18

sin n t A(t) A 2

sin 2 t

А зависит от t. В этой зависимости есть особая точка t = 0

Для вычисления амплитуды в этой точке воспользуемся правилом Лопиталя. A(0) AN тогда амплитуда будет

sin N t A(t) A(0) 2

N sin 2 t

Рассмотрим случай когда N

X

A(0) AN

t2 t t1

В результате сложения большого числа гармонических колебаний мы получим ограничение во времени колебаний которое называется импульсом.

За длительность импульса t выбирают половину временного интервала между

ближайшими максимальными нулями амплитуд.

T t1 2

Следует заметить что справедливо и обратное утверждение. Любой произвольный импульс колебаний можно представить в виде суммы гармонических колебаний, такое представление называться анализом Фурье, то есть:

x(t) A( ) cos( t ( ))d

0

Зависимость амплитуды складываемых колебаний называется спектрам колебаний. В нашем случае спектр колебаний был простой:

19

A

A

Интервал частот при которых A( ) 0 называется шириной спектра колебаний. В рассмотренном примере мы получили соотношение между длиной импульса и шириной спектра колебаний t 2 Так как был выбран простейший частный случай, то мы получили и частное соотношение.

В общем виде t 2 чем короче импульс тем шире спектр. Пример затухающих колебаний

2

t

A

Глава 2. Волны

§2.1 Волновой процесс. Волновая функция.

Волной или процесс или волной будем называть любое различное возмущение распространяющиеся в пространстве при этом форма возмущения может меняться, но она всегда должна быть различимой.

Волновые процессы описываются различными уравнениями. Рассмотрим лишь одно из них.

Рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнение частных производных 2го порядка.

Рассмотрим одномерный случай, когда: f (x, y, z,t) f (x,t)

20