Konspekt_za_2y_semestr_po_fizike

A(R, ) 2 Acos kd sin 2

2k d 2K

Kd 2

Тогда A(R, ) 2Acos 2

1 случай 0

A(R,t) 2A

I A2 (R, ) 4A2 4I1

2 случай

A(R, ) 0 I 2 0

§ 2.5 Многолучевая интерференция.

Рассмотри N источников которые излучают сферические волны с одинаковой амплитудой: A, , K ,0 0

Рассмотрим между источниками d.

Определим волновую функцию в точке p находящеюся в волновой зоне.

f (R,t) Acos( t KR1 ) Acos( t KR2 ) .. Acos( t KRn )

Re Aei( t KR1 ) Aei( t KR2 ) .. ARe ei( t KR1 ) (1 eiK ( R1 R2 ) .. )

R1 R2 d sin

f (r,t) ARe ei( t kR) (1 e ikd sin e 2ikd sin .. e (n 1)ikd sin

31

В точке p мы будем наблюдать волновую функцию с амплитудой

sin Nkd sin

Рассмотрим случай когда 0 Вычислим придел этой функции по, Лопиталю находим что A(0) AN . Точно также мы можем определить амплитуду волновой функции когда

kd sin n

2

d sin 2k n n A( ) AN A(0)

При таких будут наблюдаться max амплитуды, которые называются главными. Если

32

Следует заметить, что А побочных максимумов неодинакова в отличии от главных

А2

§2.6 Дифракция, принцип Гюйгенса

Рассмотрим точечный источник излучения S от которого распространяются сферические волны и которые находиться на большом расстояние от экрана с отверстием

. Величина отверстия - D

Определим волновую функцию в точке p которая также находиться на большом расстояние от экрана , но с другой стороны.

Больное

расстояние

Больное

расстояние

d

S

*

Гюйгенс предположил, что волновая функция в точке p будет складываться из волн, функция излучения источника f s и волн функции от экрана f p f s f0

Если экран закрыть пробкой:

В результате сложения функций в точке p воловая функция будет равна 0 .

33

f p ft

То есть волновая функция в точке p ,будет с точностью до знака совпадать с волновой функцией излучаемой только пробкой.

Гюйгенс предположил каждую точку волнового фронта в отверстие экрана рассматривать как источник «вторичных» волн.

Волновая функция в точке p, будет равна сумме вторичных волн. Для того чтобы определить волновую функцию в точке p заметим что волновой фронт в отверстие экрана можно считать плоским так как источник находится на большом

D

Каждый источник излучает сферическую волну с одинаковой амплитудой, частотой и одинаковой начальной фазой которую будем считать равной нулю. Так как точка p находиться в волновой зоне то можно допустить, что амплитуда волновой функции от каждого источника одинаковы.

f ( p) Acos(t KR1 ) Acos(t KR2 ) ...

Повторяем выводы § 2.5 получаем

Тогда получаем :

34

Следует заметить, что амплитуды побочных максимумов будут значительно меньше

Dsin =x

- 1

После экрана с отверстием мы будем наблюдать волну в виде расходящегося пучка. Полученный пучок излучения принято характеризовать угловой шириной или

расхождением пучка t за величину которая выберают половина углового расстояния между ближайшими к нулю нулями амплитуд.

1

sin 1

1

D

D

35

Следует заметить, что размер изображений отверстий на экране будет L * LXD и

будет значительно превышать геометрическое значение изображения отверстия .

Тень

D

D

Тень

L

Проникновения изображения в область геометрической тени называется дифракцией.

§2.7 Дифракционная решётка.

Рассмотрим экран в котором проделано N отверстий (щелей) ширина каждого из которого D

D

Дифракционная решётка

Пусть источник излучения S находиться на большом расстояние от решётки. Определим волновую функцию в точке p лежащей в волновой зоне с другой стороны решётки.

Волновая функция в точке p будет равно сумме волновых функций от каждого отверстия решётки. То есть каждая отверстие решётки мы рассмотрим как источник излучения.

f ( p) Acos(t kR1 ) Acos(t KR2 ) ...

Повторяем выводы §2.5 находим

36

При определение амплитуды волновой функции в точке p

Asin Nkd sin

Необходимо учесть что каждый источник имеет конечный размер D и не является точечным, как в §2.5 . Для определения амплитуды излученя такого источника надо воспользоваться результатами §2.6, где была получена амплитуда

0

dsin

37

Положение главных максимумов определяет исследование d sin n n 0, 1, 2 и

зависит от длины волны излучения за исключением центрального.

Это свойство дифракционной решётки позволяет определить спектральный состав излучения. Если источник испускает волны с различной длиной то с помощью дифракционной решётки можно найти длины этих волн, так как условие главного максимума : d sin n и волны различной длины будут наблюдаться под разными углами

Максимумы первого порядка будут определять спектр первого порядка излучения. n=2 – второй порядок спектра

Релей предложил критерий различимости двух линий в спектре излучения линии излучения будем считать различными если главный максимум 1 совпадает с ближайшим минимумом другой 2

1

2

di sin n 1

d sin n 1 1

N

d sin n 1 1 n 2

N

n(2 1 ) 1

N

2 1 - минимальный интервал длин волн, который можно различить с помощью

дифракционной решётки.

2 1

Nn

R -разрешительная способность.

38

§2.8 Принцип Гюйгенса – Фринеля.

Дифракция Фринеля.

Если источник находиться на большом расстояние от экрана с отверстием, а точка наблюдения P также на большом расстояние, то наблюдается дифракция – дифракция Фраунгофера. Если нарушается хотя бы одно из условий то называется дифракция Фринеля.

Фринель дополнил принцем Гюйгенса следующим условие: для того чтобы найти волны в точке p надо разбить поверхность волнового фронта на бесконечно малые плоские участки ds. Тогда волновая функция в точке p будет равна сумме волновой функции излучаемых каждым участком.

Амплитуда в точке p будет равна сумме волны, что совпадает с принципом Гюйгенса.

известно что она уменьшается с увеличением угла.

В качестве примера принципа Гюйгенса-Фринеля рассмотрим сферически симметрическую задачу когда источник, центр отверстия и точка находятся на одной прямой

Предположим что источник находиться на большом расстояние от отверстия. Тогда волновой фронт в отверстия будет по принципу Фринеля будет равна сумме функций излучения небольшими участками.

f ( p) Re A ei ( t KR ) ds R

Амплитуда колебаний

Тогда A( p) Re A e ikR ds R

39

Вкачеств бесконечно малых участков поверхности ds выберем тонкое кольцо радиусом

и толщиной d

P

R0

R2 R0 2 2

2RdR 2d ds 2d

A( p) Re a e ikR 2d Re A e ikR 2RdR R R

Re 2 e iKR dR

Таким образом амплитуда колебаний в точке p, будет пропорциональной реальной части интервала.

Rm ax

eiKR dR

R0

Для вычисления этого интеграла предположим сначала, что постоянна , тогда:

e ikR dR e ikR j dR j j

0

1

0 KR0

1 K (R0 dR) d 1 0 kdR

Таким образом предположим, что const то такой интеграл не сходится. Влияние функции приведёт к тому что каждый следующие слагаемое будет меньше

предыдущего и в результате окружность деформируется в спираль Фринеля . Если отверстия в экране бесконечно большие то амплитуда колебаний точки p будет определяться радиусом окружности.

Фринель предложил разбить поверхность волнового фронта на зоны( зоны Фринеля)

таким образом что расстояние до границ зоны от точки p отличается на

2

40