Автокорреляция в рядах динамики

Во многих рядах динамики можно наблюдать зависимость уровня y_t от предшествующих y_t-1. Например, численность населения за определенный год зависит (при прочих равных условиях) от численности в предшествующие годы. То же самое наблюдается в случае цен на товары и услуги.

Зависимость между последовательными уровнями ряда динамики называется автокорреляцией.

Измерить автокорреляцию между уровнями ряда можно с помощью коэффициента автокорреляции, вычисляемого по формуле парного линейного коэффициента корреляции:

Коэффициент автокорреляции можно рассчитывать

• между соседними уровнями,

• между уровнями, сдвинутыми на любое число единиц времени m.

Этот сдвиг, называемый временным лагом, определяет порядок коэффициента автокорреляции: 1-го порядка при m=1, т.е. между соседними уровнями; 2-го порядка при m=2, т.е. при сдвиге на 2 периода, и т.д.

Рассмотрим коэффициент автокорреляции первого порядка. Он определяется по формуле:

При достаточно большом числе уровней ряда n значения средних уровней и СКО у исходного и сдвинутого рядов практически совпадают, т.е. и

Используя эти равенства и отдавая предпочтение средней и СКО исходного ряда, получим приближенную формулу коэффициент автокорреляции:

или

Чтобы иметь возможность использовать вышеприведенные формулы и для коротких рядов, у которых первый и последний уровни отличаются незначительно, сдвинутый (укороченный) ряд условно дополняют, принимая (чтобы сдвинутый ряд не укорачивался и чтобы средний уровень и СКО одного ряда были соответственно равны среднему уровню и СКО второго ряда).

Найденное значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о наличии или отсутствии автокорреляции. Его необходимо сравнить с критическим (существуют специальные таблицы).

Если фактическое (расчетное) значение коэффициента меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Если же фактическое значение больше табличного, то данная гипотеза отвергается и делается вывод о наличии автокорреляции.

Определение уравнения авторегрессии

В рядах динамики, в которых обнаружена автокорреляция между уровнями ряда, каждый уровень можно рассматривать как функцию предыдущих значений уровней. Уравнение, выражающее эту зависимость, называется уравнением авторегрессии.

Наиболее простой формой зависимости между соседними уровнями ряда может служить линейная функция, выраженная уравнением

Параметры уравнения авторегрессии с лагом в один год определяем, решая систему нормальных уравнений

При этом следует иметь в виду, что поскольку сдвинутый ряд содержит на один уровень меньше, чем исходный ряд, то все расчеты сумм необходимо проводить для одного и того же числа членов ряда, а именно для .

Более сложной формой линейной авторегрессионной зависимости будет такая, при которой значение уровня в каждый момент времени t характеризуется зависимостью одновременно от нескольких предшествующих уровней, т.е.

,

где m – число уровней ряда, включенных в уравнение в качестве переменных и определяющих порядок авторегрессии.

Авторегрессионные модели различного порядка можно оценить с помощью остаточных дисперсий, рассчитываемых между фактическими и теоретическими уровнями. Предпочтение следует отдать уравнению авторегрессии с таким числом m, при котором остаточная дисперсия минимальна.