6.3. Определение необходимого объема выборки

При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки.

На необходимую численность выборки влияют:

1. допустимая ошибка (при определенной вероятности),

2. способ отбора.

Расчет необходимого объема выборки проводится с помощью преобразования формул предельных ошибок выборки , соответствующих различным способам отбора.

Так, для случайного повторного отбора имеем _x = , откуда.

При случайном повторном отборе объем (необходимая численность) выборки прямо пропорционален квадрату коэффициента доверия t² и дисперсии вариационного признака ² и обратно пропорционален квадрату возможной ошибки выборки ². Для уменьшения предельной ошибки, например, в 2 раза численность выборки должна быть увеличена в 4 раза.

Из трех параметров два (t и ) задаются исследователем, и трудность заключается в установлении размера выборочной дисперсии. Для этого используется вся информация, имеющаяся в распоряжении исследователя: данные подобных и пробных исследований, результаты предыдущих исследований, либо условно на основе свойств нормального распределения:

исходя из правила «трех сигм» в размах вариации укладывается 6σ (±3σ) или ,

если известна примерная величина средней.

При умеренно асимметричном распределении .

При бесповторном отборе необходимая численность выборки рассчитывается по формуле .

При прочих равных условиях при бесповторном отборе требуется меньший объем выборочной совокупности, чем при повторном.

При изучении альтернативного признака (доли р) необходимый объем выборки определяется по формулам при отборе:

повторном ,

бесповторном .

Если неизвестна, даже приблизительно, дисперсия альтернативного признака w(1-w), то она принимается равной своему максимуму – 0,25 (0,5∙0,5) и формулы объема выборки выглядят следующим образом:

; .

Репрезентативность выборки зависит не только от количества отобранных единиц совокупности и степени их колеблемости по изучаемым признакам, но и от способа отбора.

6.4. Виды отбора единиц в выборочную совокупность

В зависимости от способа выборки единиц из генеральной совокупности различают следующие виды отбора (выборки): собственно случайный, механический, типический (районированный, стратифицированный), серийный (гнездовой), комбинированный, многофазный и др.

При собственно случайном отборе единицы отбираются из генеральной совокупности в строгом соответствии с научными принципами и правилами случайного отбора. Прежде чем производить собственно случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку.

Формировать выборку в строгом соответствии с правилами случайного отбора практически очень сложно. Так, если пользоваться таблицами случайных чисел, то нужно перенумеровать все единицы генеральной совокупности, а если жеребьевкой, то на каждую единицу необходимо заготовить соответствующие карточки или фишки. При проведении многих выборочных обследований генеральная совокупность оказывается настолько большой, что проводить такую предварительную работу практически невозможно и нецелесообразно. Поэтому для удобства проведения выборочного наблюдения на практике применяют другие формы отбора, организуемые таким образом, чтобы была обеспечена случайность выборки.

Механический отбор применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.д.).

При механическом отборе генеральная совокупность делится на n равных частей в соответствии с естественным расположением ее границ (географическим, пространственным, алфавитным и др.) и из каждой части обследуется одна единица. (В соответствии с требуемым объемом выборки с шагом ).

Например, если нужно отобрать 10% рабочих, то обследуют каждого десятого рабочего по списку, упорядоченного по алфавиту.

Ошибки репрезентативности при механическом отборе возникают не в результате случайности отбора, а в результате случайности размещения единиц изучаемой совокупности.

Списки единиц совокупности должны быть составлены так, чтобы упорядочение единиц совокупности не было связано с изучаемыми свойствами.

Если единицы в генеральной совокупности размещены случайно в отношении изучаемого признака (в алфавитном порядке, в порядке времени поступления единиц совокупности), то ошибка механической выборки становится случайной и ее можно определять по формуле ошибки случайной выборки. Механический отбор удобно проводить, когда уже имеются списки единиц совокупности и когда имеют дело с генеральной совокупностью, численность которой известна лишь приблизительно и единицы которой появляются постепенно, например, при контроле качества услуг.

Средняя ошибка выборки при механическом отборе определяется по формуле средней ошибки выборки для собственно-случайного отбора. Следовательно, объем выборки определяется также, как и для собственно случайного отбора.

Типический (районированный, стратифицированный) отбор осуществляется на основе предварительного разделения единиц генеральной совокупности на типические группы (районы, страты) по изучаемым признакам. В качестве групп, страт в зависимости от характера изучаемого признака могут использоваться:

для обследования предприятий - округа, регионы, отрасли, формы собственности предприятия;

для населения – регионы, социальные, возрастные группы.

Типическая выборка применяется в случае когда генеральная совокупность неоднородна и это влияет на размер изучаемого признака. Тогда применяют предварительное деление генеральной совокупности на типические однородные группы.

Отбор из каждой группы может осуществляться в случайном (повторном или бесповторном) или механическом порядке. Объем выборки в каждой типической группе обычно устанавливается пропорционально ее удельному весу в генеральной совокупности (пропорциональный отбор). Это повышает точность выборочного наблюдения, поскольку более точно, чем при собственно случайной выборке, отражается структура генеральной совокупности.

,

где - численностьi-й группы в генеральной совокупности,

- объем выборки из i-й группы.

При различиях в однородности типических групп лучшие результаты дает распределение запланированного объема выборки между типическими группами не только с учетом их объема, но и с учетом дисперсии признака (оптимальный отбор). ,

- дисперсия признака в i-й группе генеральной совокупности.

Такой отбор дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднительно вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения обследования.

При типической выборке устраняется влияние межгрупповой вариации изучаемого признака на точность ее результатов, так как имеется представительство в выборочной совокупности каждой из типических групп. Средняя ошибка выборки здесь зависит не от общей дисперсии ², а от средней из групповых дисперсий . Так как средняя из групповых дисперсий всегда меньше общей дисперсии, при прочих равных условияхошибка типической выборки меньше ошибки собственно случайного отбора.

Следовательно, для того, чтобы типическая выборка была наиболее эффективной, нужно сформировать группы таким образом, чтобы удельный вес межгрупповой дисперсии в общей дисперсии был как можно больше.

При определении ошибки типической выборки в случае пропорционального отбора применяется формула случайной выборки, в которой вместо дисперсии ² применяется средняя из групповых дисперсий _{(дисперсия типической выборки)}: ;, где

n_i – численность единиц выборочной совокупности i-й группы; ²_i – выборочная дисперсия i-й группы.

Объем выборки определяется: ,

Цель типической выборки:

• обеспечение представительства в выборке соответствующих типических групп генеральной совокупности по интересующим исследователя признакам,

• повышение точности результатов выборочного наблюдения.

В статистике находит применение серийный (гнездовой) отбор, при котором в случайном порядке отбираются не единицы, а группы единиц (серии, гнезда). Серии, или группы, единиц отбираются по принципу случайного отбора или механическим способом, внутри отобранных серий (гнезд) обследованию подвергаются все единицы.

Серии состоят из единиц, связанных между собой различным образом:

• территориально (районы, поселки),

• организационно (предприятия, цеха, бригады),

• во времени (совокупность единиц продукции, произведенной за конкретный отрезок времени).

Серийный отбор удобен в тех случаях, когда единицы совокупности естественным образом объединены в группы (серии). Например, в качестве серий могут рассматриваться партии товара, бригады и т.д.

Если общее число серий в генеральной совокупности обозначить через R, а число отобранных серий – r, то средняя ошибка выборки может быть определена по формуле _x = ,

где ²_x – межсерийная (межгрупповая) дисперсия.

Чем меньше серийные средние отличаются одна от другой, т.е. чем ближе друг к другу серии по уровню изучаемого признака, тем точнее серийная выборка.

Объем серийной выборки определяется ,

На практике в зависимости от цели и задач выборочного обследования часто выборки производят на основе сочетания двух и более способов, образующих ступени отбора: механический и серийный, типический и механический, серийный и собственно случайный. Такие выборки получили название комбинированных (ступенчатых, многоступенчатых). На каждой ступени используются разные единицы отбора: более крупные на начальных ступенях, на последней ступени единица отбора совпадает с единицей наблюдения.

При комбинированном отборе общая ошибка выборки состоит из ошибок на каждой ее ступени. К многоступенчатым выборкам обращаются при проведении крупных выборочных обследований для получения достаточной репрезентативности с наименьшими затратами на их организацию и проведение.

Средняя ошибка выборки при двухступенчатом отборе рассчитывается по формуле:

,

- число отобранных «крупных» единиц,

- дисперсия признака х по совокупности «крупных» единиц,

- дисперсия признака х в каждой из отобранных «крупных» единиц,

- число отобранных единиц наблюдения в i-й «крупной» единице.

Еще один вид выборочного наблюдения – многофазная выборка. Такая выборка включает определенное количество фаз, каждая из которых отличается подробностью программы наблюдения. Например, 25% всей генеральной совокупности обследуются по краткой программе, каждая четвертая единица из этой выборки обследуется по более полной программе.

Многофазная выборка характеризуется тем, что так же, как и многоступенчатая выборка, включает несколько стадий отбора, но в отличие от последней на всех ее ступенях сохраняется одна и та же единица отбора. Каждая ступень отбора имеет свой объем выборки и свою программу наблюдения.