4.15. Асимметрия распределения

При анализе вариационных рядов смещение от центра и крутизну распределения характеризуют специальные показатели. Эмпирические распределения, как правило, смещены от центра распределения вправо или влево, асимметричны. Нормальное распределение строго симметрично относительно средней арифметической.

Асимметрия распределения возникает вследствие того, что какие-либо факторы действуют в одном направлении сильнее, чем в другом, или процесс развития явления таков, что доминирует какая-то причина. Кроме того, природа некоторых явлений такова, что имеет место асимметричное распределение. Если вершина распределения сдвинута влево и правая часть ветви оказывается длиннее левой, то такая асимметрия является правосторонней (рис. 4.3,а), в противоположном случае левосторонней (рис. 4.3,б).

а

б

Рис. 4.3. Асимметрия распределения: а – правосторонняя; б – левосторонняя

Наиболее простой мерой асимметрии является разность между средней арифметической, модой и медианой.

В симметричном ряду = Мо = Ме,

при правосторонней асимметрии Мо < Ме < ,

при левосторонней – Мо > Ме > .

Чем больше расхождение между ними, тем более асимметричен ряд. Для умеренно асимметричных рядов разность между модой и средней не более трех раз превышает разность между медианой и средней:

.

Соотношение между модой и средней арифметической в симметричном и асимметричном рядах позволяет в качестве меры асимметрии использовать более простой показатель коэффициента асимметрии Пирсона :

К_a = (–Мо)/.

Если К_a>0, то асимметрия правосторонняя, если К_a<0, то асимметрия левосторонняя, при К_a=0 ряд считается симметричным.

Учитывая, что в умеренно асимметричном распределении наблюдается равенство _{, формула Пирсона может быть записана следующим образом:}

Для определения направления и величины смещения (асимметрии) распределения рассчитывается коэффициент асимметрии, представляющий собой нормированный момент третьего порядка: As=₃/³,

где ₃ – центральный момент третьего порядка; ³ –среднее квадратическое отклонение в кубе.

Из курса математической статистики известно, что для нормального распределения все центральные моменты нечетных порядков равны нулю, в эмпирических распределениях центральные моменты нечетных порядков (кроме первого) отличаются от нуля в зависимости от характера асимметрии: при левосторонней асимметрии они будут меньше нуля (As<0), при правосторонней больше нуля (As>0) (рис. 4.3).

Коэффициент асимметрии изменяется от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Показатель Пирсона зависит от степени асимметричности в средней части распределения, а показатель асимметрии, основанный на моменте третьего порядка – от всех, в том числе крайних значений признака.

Для оценки существенности асимметрии вычисляется показатель среднеквадратической ошибки коэффициента асимметрии.

Если , это свидетельствует о существенности асимметрии. Следовательно, распределение нельзя считать нормальным.