4.13. Закон нормального распределения

Закон нормального распределения характерен для распределения равновероятных событий, происходящих при взаимодействии множества случайных факторов.

Нормальное распределение характеризуется двумя существенными параметрами, определяющими центр группирования индивидуальных значений и форму кривой: средней арифметической и средним квадратическим отклонением. Кривые нормального распределения различаются положением на оси абсцисс центра распределения и разбросом вариант около этого центра (рис. 4.1, 4.2).

Нормальное распределение или закон Гаусса-Лапласа описывается уравнением

y_t = ,

где y_t – ордината кривой нормального распределения, или частость (вероятность) величины х нормального распределения; – математическое ожидание (среднее значение) индивидуальных значений х.

Если значения (х – ) измерить (выразить) в величинах среднего квадратического отклонения, т.е. в стандартизованных (нормированных) отклонениях t = (x – )/, то формула примет вид y_t = .

Особенностью кривой нормального распределения является ее симметричность относительно центра распределения – по обе стороны от ее середины образуются две равномерно убывающие ветви, асимптотически приближающиеся к оси абсцисс. Поэтому при нормальном распределении средняя, мода и медиана совпадают: = Мо = Ме.

x

Рис. 4.1. Нормальное распределение

Рис. 4.2. Нормальное распределение с различными дисперсиями (12 < 22)

Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба (переход от выпуклости к вогнутости) при отклонении вариантов от средней (х – ), равном среднему квадратическому отклонению. В пределах  при нормальном распределении заключается 68,3%, в пределах 2 – 95,4%, в пределах 3 – 99,7% количества наблюдений или частот ряда распределения. На практике почти не встречаются отклонения, превышающие 3поэтому приведенное соотношение называется «правилом трех сигм».

4.14. Моменты распределения

Средняя и дисперсия это частные случаи более широкого понятия обобщающих характеристик любого распределения моментов. Моментом распределения называется средняя арифметическая тех или иных степеней отклонений вариантов х от некоторой постоянной величины А: _z = .

В зависимости от принятой величины А различают три вида моментов:

начальные (при А=0) ,

центральные (при ),

условные (при ,).

Как следует из формул моментов, начальный момент первого порядка представляет собой среднюю арифметическую.

Для дальнейшего изучения характера вариации используются средние значения разных степеней отклонений отдельных величин признака от его средней арифметической величины. Эти показатели получили название центральных моментов распределения.

Таблица

Центральные моменты

Порядок момента	Формула
	по несгруппированным данным	по сгруппированным данным
Первый () Второй () Третий () Четвертый ()

Согласно свойству средней арифметической центральный момент первого порядка равен нулю, второй центральный момент представляет собой дисперсию. Величина третьего момента зависит, как и его знак, от преобладания положительных отклонений в кубе над отрицательными либо наоборот.

При нормальном и любом другом строго симметричном распределении сумма положительных отклонений в кубе строго равна сумме отрицательных отклонений в кубе (используется при оценке асимметрии). Четвертый момент используется для оценки эксцесса.

Условные моменты самостоятельного значения не имеют, ими пользуются для упрощения вычисления центральных моментов: ,

,

.

Рассмотренные нами ранее методы расчета средней арифметической и дисперсии способом отсчета от условного нуля или способом моментов свидетельствуют о существенном упрощении вычислительных операций.

Поскольку статистические характеристики наиболее часто рассчитываются для интервальных рядов распределения с равными интервалами, то отклонения х – А кратны величине интервала. Поэтому для исчисления условных моментов используется условная величина

m₁ = ;m₂ = ;m₃ = ;m₄ = .

В этом случае центральные моменты корректируются на величину k^z. Например:

₂ = (m₂ – m₁²)k²;

= (m₃ – 3m₁ m₂ + 2m₁³)k³.