4.7. Другие структурные характеристики вариационного ряда Квартили и децили распределения

Квартили – это значения признака, делящие ранжированный ряд на четыре равновеликие части. Первый квартиль (Q₁) определяет ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, третий квартиль(Q₃) отсекает ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁, 25% единиц заключены между Q₁ и Q₂, 25% – между Q₂ и Q₃, остальные 25% превосходят Q₃. Вторым квартилем является медиана. Для расчета квартилей в интервальном вариационном ряду применяют формулы:

Q₁ = ,Q₃ = ,

где ,– нижняя граница интервала, содержащего первый, третий квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%, 75%);i – величина интервала; ,– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему первый, третий квартиль;,– частота интервала, содержащего первый, третий квартиль.

Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль (d₁) делит совокупность в соотношении 1/10 к 9/10, второй дециль (d₂) – в соотношении 2/10 к 8/10 и т.д. Расчет децилей осуществляется по той же схеме, что и медиана и квартили:

D₁ = ,D₂ = .

В социально-экономических исследованиях часто используется коэффициент децильной дифференциации

Значения признака, делящие ряд на сто частей, называются перцентилями.

4.8. Показатели размера и интенсивности вариации

Средняя величина, давая обобщающую характеристику вариационного ряда, не показывает, как располагаются около нее варианты признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. А от размера и распределения отклонений вариант зависят типичность и надежность средних характеристик

Следовательно, при характеристике вариационных рядов средние должны быть дополнены показателями вариации, измеряющими отклонения признаков от средней.

Вариация - различие значений признака у отдельных единиц совокупности в один и тот же период или момент времени.

Вариация вызвана воздействием каких-либо факторов на социально-экономические явления или процессы, причем характер этого воздействия определяет характер колеблемости, изменчивости признака. Поэтому анализ показателей вариации позволяет оценить влияние факторов и условий на изменчивость признаков.

Вариация прибыли и рентабельности предприятий обусловлена широким кругом внешних и внутренних факторов. Анализируя вариацию, мы можем определить доминирующие факторы. Например, на предприятиях с минимальной рентабельностью – узкие места, на предприятиях с максимальной рентабельностью – изучение опыта.

Статистический анализ вариации включает:

1. построение вариационного ряда

2. графическое изображение ряда

3. расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда

4. расчет показателей размера и интенсивности вариации

5. оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Абсолютные показатели вариации

Наиболее простой характеристикой вариации является размах вариации, исчисляемый разностью между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака:

R = x_max–x_min.

Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости признака, его значение определяется только двумя крайними значениями, тогда как колеблемость признака в целом складывается из всех значений совокупности. Размах вариации предназначен для измерения колеблемости признаков в совокупностях с небольшой численностью единиц.

Для характеристики вариации необходимо знать не только размах значений признака, но и обобщенные (суммарные) отклонения всех значений признака от какого-то типичного для изучаемой совокупности значения. В качестве такового обычно используется средняя арифметическая.

Характеристика вариации признака на основе отклонений его значений от средней может быть дана с помощью среднего линейного отклонения, рассчитываемого на основе абсолютных отклонений вариантов от их средней: l ,l .

Первая формула применяется для несистематизированных данных, вторая – в вариационных рядах.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней арифметической:

простая дисперсия ² ;

взвешенная дисперсия ² .

Корень квадратный из дисперсии представляет собой среднее квадратическое отклонение:

 = ; = .

Размах вариации, среднее квадратическое отклонение, среднее линейное отклонение измеряет абсолютную меру колеблемости признака и выражается в тех же единицах измерения, что и варианты. Дисперсия единицы измерения не имеет.

В зарубежной статистической практике среднее квадратическое отклонение называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.

Еще одним показателем силы вариации, характеризующим ее не по всей совокупности, а лишь в центральной части, служит среднее квартильное расстояние, т.е. средняя величина разности между квартилями:

Относительные показатели вариации

Для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях и тем более для разных признаков необходимы относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношения абсолютных показателей силы вариации, рассмотренных ранее, к средней арифметической величине признака.

Т.о. получаем следующие относительные показатели вариации:

1. относительный размах вариации (коэффициент осцилляции) ,

2. относительное отклонение по модулю (коэффициент вариации по среднему линейному отклонению, линейный коэффициент вариации) ,

3. коэффициент вариации (коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению) .

Коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению в статистике играет важную роль. Из теории математической статистики известно, что можно говорить об однородности изучаемой совокупности, если выдерживается неравенство

Коэффициент вариации, %	Степень однородности совокупности
Менее 30	однородная
30 - 60	средняя
60 и более	неоднородная

Поэтому коэффициент вариации по среднему квадратическому отклонению является критерием типичности средней и однородности совокупности.

4. относительное квартильное расстояние .