Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

5. Теорема	(Радикальный признак Коши)

Пусть	an —	ряд с положительными членами, и существует
	n 1
конечный предел
	lim n
	lim n	a	q .
	n	n
	n

Тогда:

1)если q 1 , то данный ряд сходится;

2)если q 1 , то данный ряд расходится;

3)если q 1 , то ряд может сходиться или расходиться; в этом

случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

Замечание


Ряд an	будет расходящимся и в том случае, если lim n
Ряд an	будет расходящимся и в том случае, если lim n	an	.
n 1	n
n 1

6. Теорема 1.9 (Интегральный признак сходимости)


Пусть an	— ряд с положительными членами, и an	f n .
n 1

Тогда,
если соответствующая функция f x — положительная,
непрерывная и монотонно убывающая на промежутке
a ;		где	a 1 , то:

ряд	an и несобственный интеграл			f x dx сходятся или
	n 1			a

расходятся одновременно.

296

Знакопеременные ряды

7.Определения

1)Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два

соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд вида


1 n 1 an	или 1 n an , где	an 0	n 1,	2, 3 .
n 1	n 1

2)Знакопеременным называется ряд, содержащий и положительные,

иотрицательные члены (расположенные в произвольном порядке).

8.Теорема (Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда)

Знакочередующийся ряд сходится, если выполняются два условия:

1) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, т.е. a1 a2 a3 an an 1 ;

2) общий член ряда стремится к нулю при n , т.е.

lim

0 .

9. Теорема (Сходимость знакопеременного ряда)

Пусть дан знакопеременный

ряд

, где

an произвольные

n 1

числа (действительные или комплексные).

Если

сходится

ряд

(составленный из

абсолютных

величин

n 1

исходного ряда), то исходный

ряд

an также сходится. В этом случае ряд

n 1

называется абсолютно сходящимся.

n 1

Если

же

знакопеременный

ряд

сходится,

а ряд

n 1

расходится, то ряд

an называется условно сходящимся.

n 1

297

Замечание 1

Для

исследования абсолютной

сходимости

ряда

к ряду

n 1

можно применять все признаки,

используемые при исследовании

n 1

рядов с положительными членами.

Замечание 2

Из расходимости ряда

расходимость ряда

, вообще

n 1

говоря, не следует.

Но:



если

расходимость ряда

установлена в результате

n 1

применения признака Даламбера (теорема 1.7 на стр. 31) или

признака Коши (теорема 1.8 на стр. 36),

т.е. если получили

an 1

lim

или

lim n

признак Даламбера

признак Коши

то в этом случае

оба ряда

an расходятся.

n 1

Замечание 3 (Сходимость ряда с комплексными членами)

Ряд вида



	an		bn i cn		bn	i		cn
n 1			n 1 Комплексное число	n 1			n 1
(где bn ,		cn	действительные числа,	i		мнимая единица)

сходится тогда и только тогда, когда сходятся два ряда —							bn и		cn .
							n 1		n 1

298

Функциональные ряды

10.Определения

1)Функциональным рядом называется ряд вида


f1 x f2 x f3 x fn x fn x ,
							n 1
члены которого			fn x	n	1,	2,	3,	— функции от		x .
2) Совокупность			значений		x	,	при	которых	функции
fn x	n	1, 2,	3,	определены и				функциональный		ряд

fn	x	сходится,		называют			областью		сходимости

n 1

Xфункционального ряда.

3)Если обозначить:

S x fn x

( S x — сумма ряда),

n 1

Sn x fk x

( Sn x —

n я

частичная сумма ряда),

k 1

Rn x

fk x

( Rn x — остаток (

n й

остаток) ряда),

k n 1

то сумму S x

ряда можно представить в виде

S x S n x R n x .

4) Функциональный

ряд

fn x

называется

равномерно

n 1

сходящимся в некоторой области сходимости

, если:

для любого сколь угодно малого

0 найдется такой номер

N , что при всех

n N

выполняется неравенство

R n x

S x Sn x

для

любого

x X .

299

11. Теорема (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда)

Функциональный ряд

f1 x f2 x fn x fn x

n 1

сходится равномерно (и абсолютно) в некоторой области сходимости

X , если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами


a1 a2 an an
	n 1
такой, что:
для всех значений	x X	выполняются неравенства
f n x	an	n 1, 2, 3,

12. Теорема (Интегрирование функциональных рядов)

Если функциональный ряд


f1 x f2 x fn x fn x
				n 1
(где f1 x , , fn x , непрерывные функции)
равномерно сходится в некоторой области X					и имеет сумму			S x ,
то
ряд
x	x			x			x
f1 u du	f2 u du			fn u du
f1 u du	f2 u du			fn u du			fn u du

x0	x0			x0		n 1 x0
			(где промежуток		x0 ;	x X )
		x
сходится и имеет сумму		S u du		:
		x0
				x	x
fn x S x					S u du .
fn x S x				fn u du	S u du .

n 1			n 1 x0		x0

300

Замечание (Интегрирование степенных рядов)


Степенной ряд вида cn x x0	n (или	cn xn ) можно
n 0		n 0

интегрировать на любом промежутке, лежащем внутри интервала сходимости.

13. Теорема (Дифференцирование функциональных рядов)

Если выполняются два условия:

1) функциональный ряд


f1 x f2 x fn x fn x
n 1
(где функции f1 x , , fn x , определены в некоторой области X
и имеют в этой области производные	f ' x , , f	' x , )
	1	n
сходится в области X и имеет сумму		S x ;

2)ряд, составленный из производных


f1 ' x f2 ' x fn ' x fn ' x		,
	n 1
сходится равномерно в той же области		X ,
то

сумма ряда производных fn ' x равна производной			S ' x от суммы
n 1
первоначального ряда:

fn x S x	fn ' x S ' x .
n 1	n 1

Замечание (Дифференцирование степенных рядов)


Степенной ряд вида cn x x0	n (или	cn xn ) можно
n 0		n 0

почленно дифференцировать внутри его интервала сходимости.

301

Степенные ряды

14. Определения

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

c0 c1 x x0 c2 x x0 2 cn x x0 n cn x x0 n

n 0

или

c1 x c2 x2 cn xn

cn xn

при

0 .

n 0

15. Теорема (Абеля)

1. Если степенной ряд

cn x x0 n

сходится

при

некотором

n 0

значении

x x

, то он

сходится

(и притом

абсолютно)

при

всяком

значении

удовлетворяющем

неравенству

x x

;

2. Если степенной ряд

cn x x0 n

расходится при некотором

n 0

значении

x x

то он

расходится при всяком значении

x , удовлетворяющем неравенству

x x

Следствие

Для всякого степенного ряда


c0 c1 x x0 c2 x x0 2 cn x x0 n							cn	x x0 n
x0	и cn		n 0, 1, 2, действительные числа				n 0
существует интервал сходимости
x x0		R	или x0		R x x0 R с центром в точке				x x0 ,
x x0		R	или x0		R x x0 R с центром в точке				x x0 ,
внутри которого ряд сходится абсолютно и вне которого
		(т.е.	при	x a		R ) ряд расходится.
		(т.е.	при	x a		R ) ряд расходится.

302

На концах интервала сходимости (в точках

x x0

R ) возможна

как сходимость, так и расходимость степенного ряда.

Число R (половина длины интервала сходимости) называют

радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях радиус сходимости R может быть равен нулю или бесконечности.

Если	R 0 , то степенной ряд сходится только при	x x0 ; если
R	, то ряд сходится на всей числовой прямой.

16.Формулы для интервала и радиуса сходимости степенного ряда

Все коэффициенты ряда cn 0 , т.е. ряд содержит все целые положительные степени выражения x x0 .

В этом случае:

R lim

c n

или R

lim

c n 1

n n

с n

из признака Даламбера

из

признака Коши

(Данные формулы следует использовать

осторожно, так как эти пределы

часто не существуют (например, это имеет место, если степенной ряд содержит

члены	только с четными или только с	нечетными степенями выражения
x x0	.)
	Коэффициенты ряда cn	n 0 ,1, 2 , — любые числа.
	В этом случае:

степенной ряд рассматривается как функциональный ряд общего вида

f1 x f2 x f3 x fn x fn x ,

n 1

и применяются общие формулы, определяющие интервал сходимости:

f n 1

lim

;

lim n

1 .

f n x

из признака Коши

из признака

Даламбера

303

17. Теорема (Дифференцирование и интегрирование степенных рядов)

Ряды,	полученные	почленным	дифференцированием		или
интегрированием степенного ряда

c0 c1 x x0 c2 x x0 2 cn x x0 n				cn x x0	n ,

n 0

имеют тот же интервал сходимости, что и исходный ряд, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной или интегралу от суммы исходного ряда, т.е.:


cn x x0 n S x
n 0


1. cn x x0	n '	n cn x x0	n 1	S ' x ;
n 0		n 0

	x
2.		cn t x0	n
2.		cn t x0		dt
n 0
n 0	x0

		cn x x0	n 1	x
				S t dt .
		n 1
n	0			x0

Ряды Тейлора и Маклорена
18. Формула Тейлора.
Для функции f x , имеющей все производные до	n 1 го порядка

включительно в некоторой окрестности x0 R x x0 R точки x0 ,

справедлива формула Тейлора:

f x f x

f ' x

x x

f '' x0

x x 2

f n x0

x x n

полином

(мног очлен)

Тейлора Pn

где

R x

x x0 n 1

n 1

, 0 1 .

x x x

n 1 !

остаточный член в форме Лаг ранжа

Rn x ,

остаточ ный член

304


	19.Теорема (Ряд Тейлора)
	Пусть		функция		f x —	бесконечно	дифференцируема (имеет
производные				всех	порядков)	в	некотором	интервале
	x x0	R		т.е. при	x0 R x x0 R .
	x x0	R		т.е. при	x0 R x x0 R .

Тогда:

1.если функция f x может быть разложена в этом интервале

всходящийся к ней степенной ряд по степеням x x0 , то этот ряд

(ряд Тейлора) имеет вид:

f x f x	f ' x x x			f '' x0		x x 2
f x f x	f ' x x x					x x 2
0		0	0		2!	0
					2!
или
					n x0
	f x			f	n x0	x x0 n
	f x				n!	x x0 n
			n 0		n!
							x x0
		разложение f (x) в ряд по степеням					x x0
		или	в окрестност и точки x0

f n x0 x x0 n , n!

2.При x0 0 получается частный случай ряда Тейлора – ряд Маклорена:

f x f 0 f ' 0 x	f '' 0	x2
	2!

		n 0
	f		xn	.

n 0		n!

разложение f x в ряд по степеням x
(или в окрестности точки x0				0 )

3. Ряды Тейлора и Маклорена сходятся к функции

f x только в

том случае, если при

x x0

остаточный член формулы

Тейлора стремится к нулю при

n , т.е. если:

lim Rn x

при

x x0

R .

(Если

lim

Rn x 0

то

ряд может

сходиться,

но уже не к

функции

f x

305

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015105.47 Кб596Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб278Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб62Химия Методичка, 2008.pdf
#
01.03.2025872.45 Кб4Хозяйственное право (Лекции).doc
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб16Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
01.04.2025297.47 Кб0Часть вторая. Право.doc
#
01.04.2025251.9 Кб0Часть первая. Государство.doc
#
01.04.2025158.72 Кб0Часть четвертая. Применение и толкование права.doc
#
15.12.2018249.34 Кб5Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб65численные методы 6 вариант.docx