Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

n 4

sin

an 1

подставляем

n 1

lim

n! n

(2) и (3)

sin

используем

эквивалентности :

sin ~

при 0 .

в нашем случае :

при n .

sin

;

sin

2 n

2 n 1

2 n

2 n 1

n 4

lim n 1

lim

n 1

lim

n 3

n 1 n 3

n 4

разделим числитель и знаменатель

lim

на старшую степень n на n

n 3

lim

1 .

2 1

Получили:

lim

an 1

0 1

n an

n 3

исследуемый ряд

sin

сходится по признаку Даламбера.

n 1

Итак,

ряд

sin

сходится

(по признаку Даламбера).

246

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

См.:

п. I.1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки

сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак).

			1							n					n2
5.1			1							n							.
5.1	n																.
	n
	n	1	3			n					1
	n	1
													n2
				2 n2 1
5.3																.
5.3				n	2					1						.
	n 1			n						1
				2 n										n2
										1
										1
5.5			3 n													.
	n 1		3 n							2
	n 1
				4 n								n2
										3
										3
5.7				5 n 1												.
	n 1			5 n 1
	n 1

										n
5.9	n arcsin																.
5.9	n arcsin																.
	n 1										4				n
	n 1
							n			1 n
				n			n			1 n
5.11																.
5.11				n						n						.
	n	1	5							n
	n	1
										n						n
			n2					3		n					2
5.13			n2						4 n 1								.
	n	1							4 n 1
	n	1
							n					2n 1

5.15																	.
	n	1	3			n 1
	n	1

								2 n								n
		n4
5.2		n4						n											.
	n 1					3		n					5
	n 1
		1							1			n						2
		1							1			n
5.4						1													.
5.4				n		1				n									.
	n 1	4								n
	n 1
				2 n							n
				2 n					2								n3 .
5.6			3 n														n3 .
	n 1		3 n						1
	n 1
							n								n2
							n

5.8			10 n 5																.
	n 1		10 n 5
	n 1
						n								n2
									2
									2
5.10																			.
	n	1			3 n 1
	n	1
						2 n 3											n2


5.12						n 1													.
	n	1				n 1
	n	1
						n 1									n2


5.14					2 n 3														.
	n	1			2 n 3
	n	1
																		n
						2 n 1
																		2
																		2
5.16						3 n 1													.
	n	1				3 n 1
	n	1

247

		2 n 1
		2 n 1																	n			2		sin			n
5.17							.											5.18																	.
5.17		n		n			.											5.18																	.
	n 1	n																	n 1									2					n
	n 1																		n 1
																																3
				n3																					n					n
5.19												.						5.20																.
		ln		n n
																						3 n
																						3 n						1
	n 2																		n 1
									n														3n n 5
		3							n														3n n 5
5.21	n arctg															.		5.22																.
5.21	n arctg															.		5.22			2			n 1					n					.
	n 1									3			n						n 1		2			n 1
	n 1																		n 1
																									3 n									2n
		2 n		1 e n .																					3 n							1
5.23		2 n		1 e n .														5.24		n					4 n 2											.
	n 1																		n 1						4 n 2
											n2													n n 2
					2 n						n2													n n 2

																		5.26													n .
																		5.26
5.25				n 3											.
		4																	n 1 2 n 1
	n 1	4																	n 1 2 n 1												2
								n						2n						1					n 1 n2
								n						2n						1					n 1 n2
5.27			n														.
5.27			n														.	5.28	n															.
							n											5.28	n								n							.
	n 1					3	n				1								n 1	2							n
	n 1																		n 1
		n 3 n 2																		3							n 2 3n
		n 3 n 2																		3							n 2 3n
						n
5.29											.							5.30				n				2 n										.
	n 1			5															n 1							2 n								1

	n4			arctg 2 n
5.31																		.
5.31																		.
	n 1												4 n
	n 1

Указание к выполнению

Использовать радикальный признак Коши (теорема 1.8 на стр. 36).

При этом полезно иметь в виду следующий предел:

		1
lim n		lim n n	1 .
lim n	n	lim n n	1 .
n		n

248

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 5 (Исследование рядов на сходимость с помощью радикального признака Коши) на стр. 37).

Исследовать на сходимость ряд

	n2
	n2	.	1
	ln n 1 n	.	1
	ln n 1 n
n 1
Решение

По признаку Коши,

сходимость ряда an определяется в зависимости от величины
n 1
предела
	n		q .
lim	n	a	q .
n		n
n

А именно:

1)если q 1 , то ряд сходится;

2)если q 1 , то ряд расходится;

3)если q 1 , то в этом случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

Исследуем с помощью признака Коши ряд (1)

Найдем предел

lim

a .

Имеем:

lim

n a

lim

lim n2

ln n 1 n

1 2

1 0

0 ,

lim n

lim

ln n 1

249

так как:

1 2

lim n n

lim

0 .

lim

n ln n 1

Получили:

lim

исследуемый ряд

сходится по признаку Коши.

ln n

1 n

n 1

Итак,

ряд

ln n 1 n

n 1

сходится (по признаку Коши).

Задача 6. Исследовать на сходимость ряд.

(См.:

п. I.1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки

сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши интегральный признак).

						1										1
6.1						1			.			6.2				1						.

				n ln	2	3 n	1							n ln	2	2 n				1
	n	2		n ln		3 n	1						n 1	n ln		2 n				1
	n	2											n 1
						1											1
6.3						1					.	6.4					1							.

			2 n 3 ln				2	2 n	1					3 n 5 ln				2		4 n			7
	n 1		2 n 3 ln					2 n	1				n 3	3 n 5 ln						4 n			7
	n 1												n 3
						1											1
6.5						1				.		6.6					1							.

			3 n 4 ln2 5 n 2											2 n 1 ln2					n				2
			3 n 4 ln2 5 n 2											2 n 1 ln2					n		5		2
	n 1												n 1

250

										1													1
6.7										1						.	6.8						1							.

			n					1	ln2 n					1						n 2 ln n 3
			n				2	1	ln2 n				3	1						n 2 ln n 3
	n 1																	n 5
						1																		1
6.9						1								.			6.10							1							.

			2 n 1 ln 2 n																		n	1 ln 2 n
	n 1		2 n 1 ln 2 n															n	1		n	1 ln 2 n
	n 1																	n	1
						1																		1
6.11						1						.					6.12							1

					3	n 1 ln n															2	n 1 ln n 1
	n	2			3	n 1 ln n												n	2		2	n 1 ln n 1
	n	2																n	2
									1														1
6.13									1						.		6.14						1						.

					2 n 3 ln 3 n 1																n 2 ln2 n
	n 2																	n 1
						1																		1
6.15						1							.				6.16							1

				n		3 ln			2	2 n											2	n 3 ln					2	n 1
	n	1		n		3 ln				2 n								n	2		2	n 3 ln						n 1
	n	1																n	2
						1																		1
6.17						1					.						6.18							1


				n ln n 1																	2 n			ln 3 n 1
	n	3		n ln n 1														n	2		2 n			ln 3 n 1
	n	3																n	2
						1																		1
6.19						1								.			6.20							1


				n		2			ln n 3												3	n 1				ln n 2
	n	5		n		2			ln n 3									n	4		3	n 1				ln n 2
	n	5																n	4
						1																		1
6.21						1								.			6.22							1

				n		5 ln			2	n	1										n	3		ln	2	n 7
	n	2		n		5 ln				n	1							n	2		n	3		ln		n 7
	n	2																n	2
								n2																n
								n2																n
6.23					n3 1 ln n						.						6.24				n2		3 ln2 n							.
	n 2																	n 3
						1
						1
6.25												.						n2					1
6.25									2 n			.					6.26						5 ln n .
	n 4								2 n								6.26
	n 4
					n	3 ln												n 2
										2								n 2
										2

251

					3	n							n 1
		2 n2			3	n				6.28			n 1
6.27		2 n2			3 ln n				.	6.28		5 n2 9 ln n 2 .
	n 2										n 4
				2 n 1
				2 n 1
6.29									.	6.30			n	.
6.29				2				n	.	6.30		n2	1 ln n	.
	n 3			2				n				n2	1 ln n
		3 n				2 ln					n 2
		3 n				2 ln
							2
							2
					3	n
		n2			3	n
6.31		n2	2 ln 2 n						.
	n 2

Указание к выполнению

Использовать интегральный признак сходимости.


1.	Упростить выражение для общего члена данного ряда				an ,	заменив
					n 1
	an эквивалентным:
	an	~ bn .

2.	Исследовать сходимость	полученного ряда bn		по	интегральному
			n 1
	признаку сходимости (теорема 1.9		(Интегральный			признак
	сходимости) на стр. 40).

3.	Исследовать сходимость	исходного ряда	an с	помощью		второго

n 1

признака сравнения (теорема 1.6 (Второй признак сравнения

(признак сравнения в предельной форме)) на стр. 21), используя ряд

bn в качестве эталонного ряда.

n 1

252

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 6 (Исследование рядов на сходимость с помощью интегрального признака) на стр. 41)

Исследовать на сходимость ряд

			1
			1	.	1


		3 n 2	ln 2 n 1
		3 n 2	ln 2 n 1
n	1

Решение

1.Упростим выражение для общего члена ряда (1).

Имеем:

при n :

n 2 ~ 3 n ;

ln 2 n 1

2 n 1 ~ ln 2 n ln 2 ln n

~ ln n .

ln n

Получили:

bn .

n ln n

2. Исследуем сходимость полученного ряда

			1
	bn		1		3


			3 n	ln n
			3 n	ln n
n 2		n 2

по интегральному признаку сходимости.

n 2 ,

так как при n 1 имеем : ln n ln1 0

253

По интегральному признаку,


сходимость ряда		bn	( bn	f n )	определяется		сходимостью
		n 1

несобственного	интеграла			f x dx ,	если	функция f x —
				a
положительная,	непрерывная		и	монотонно	убывающая	на	промежутке
a ; .

В нашем случае имеем:

f n .

3 n

ln n

Рассмотрим функцию

f x

3 x

ln x

Эта функция является положительной, непрерывной и монотонно

убывающей на промежутке

2 ;

Следовательно, по интегральному признаку, сходимость ряда

определяется сходимостью несобственного интеграла

занесем

под знак дифференциала :

f x dx

u ' x dx d u x

3 x

ln x

d ln x .

используем

определение

d ln x

несобственного интеграла

lim

ln x

1 го

рода .

ln x

используем табличный интеграл :

ln x

d ln x

lim

un 1

C const

n 1

254

							1	1		b				1	b
							1			b				1	b

							2							2
1				ln x							1			ln x		2			b
1				ln x							1			ln x		2			b
		lim			1								lim	1			lim	ln x	2
		lim											lim					ln x
3		b									3	b				3
3		b				1					3	b				3	b

					2									2

										2					2
										2					2
2		lim									.
2				ln b					ln 2
3				ln b					ln 2
		b
		b
	Получили:

			f x dx										не является конечным числом
				2

данный несобственный интеграл расходится, а значит, по интегральному

признаку расходится и ряд (3)

3 n

ln n

n 2

3. Исследуем сходимость исходного ряда (1)

3 n

ln 2 n 1

n 1

помощью второго признака сравнения,

используя расходящийся ряд

(3)

в качестве эталонного ряда.

3 n

ln n

n 2

По второму признаку сравнения,

найдем предел отношения общего

члена

ряда (1) к общему члену

n 2 ln 2 n

ln n

эталонного ряда (3):

lim

n bn

n 3

n 2

ln 2 n 1

ln n

заменяем an

эквивалентным из (2) :

;

3 n 2

3 n

ln 2 n 1

ln n

255

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015270.85 Кб7форма 5 2012.doc
#
03.05.2015105.47 Кб537Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб250Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб60Химия Методичка, 2008.pdf
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб14Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
15.12.2018249.34 Кб4Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб57численные методы 6 вариант.docx
#
03.05.20154.16 Mб107Шарков1.doc
#
25.09.201933.86 Кб4Шпаргалка.docx
#
24.04.2019573.01 Кб10шпора по ал.гем..docx