Часть I.3. Индивидуальная работа

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

расходится

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

то


1) если ряд	bn	сходится, то сходится и ряд an	;
	n 1	n 1

2) если ряд	an	расходится, то расходится и ряд	bn .
	n 1	n 1

Для применения этого признака выберем так называемый эталонный ряд, сходимость (или расходимость) которого уже известна (или легко определяется).

Чтобы выбрать эталонный ряд для сравнения с рядом (1), сначала

оценим общий член

3 sin n

ряда (1).

n ln n

По свойству функции

y sin x

имеем:

sin n 1

при

n 1, 2,

sin n

3 1 3 sin n 1 3

2 3 sin n

при

n 1, 2,

(3)

По свойству функции

y ln x

имеем:

0 ln n

p 0

при

n 1, 2,

np ln n 0

n np n ln n n

так как сравниваем положительные ряды

n n p 0

возьмем

n n p n

0 .

при

n 1, 2,

(4)

n ln n

236

Перемножая почленно неравенства (3) и (4) (это можно сделать, так как оба неравенства – с положительными членами), получаем:

sin n

при n 1, 2,

(5)

ln n

Рассмотрим теперь, в качестве эталонного ряда, ряд

Ряд 1

n 1 n

при

p 1).

расходится.

n 1

расходится как гармонический (ряд Дирихле

n 1 n

Следовательно, ряд

также

n 1

Таким образом, из неравенства (5) имеем:

по первому признаку сравнения (см. неравенство (2)), так как ряд

	2
	2		расходится, то исследуемый ряд		с бóльшими членами

n
n
n 1
		3	sin n
		3	sin n	также расходится.

n ln n
n ln n
n 1

Итак, получили:

ряд

		3 sin n

n	1	n ln n

расходится (по 1-му признаку сравнения).

237

Задача 3. Исследовать на сходимость ряд.

(См.:

п. I.1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки

сходимости рядов с положительными членами: первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак).


										1
										1
3.1			n 1 cos									.
3.1			n 1 cos									.
	n 1								n 1
	n 1
				n2			5
				n2			5
3.3
3.3	ln					2	4	.
	n 1			n			4
			1							1
			1							1


3.5		n 1			arctg 3					n 1	.
	n 2	n 1								n 1

		n 1


3.7	( e n3			1 ) .
	n 1
		1


3.9	( e n2		1 ) .
	n 1


				1
3.11								arctg						.
			3


	n	1				n				4			n
	n	1

							1					1
3.13										sin				.
			5
			5			n 5
	n	2				n 5					n 1
	n	2
									1

3.15							1			( e		n 1 ) .


					n 3
	n	1			n 3
	n	1

							n 1


3.2	n arcsin										.
3.2	n arcsin							3			.
	n 2						n		2
	n 2

		1							1
3.4						sin				.
3.4						sin				.
	n 2	n			4		n		1
	n 2
			n2		3
			n2		3
3.6
3.6	ln			2	n		.
	n 2		n		n


			1									1
3.8							tg						.
3.8		n 4					tg						.
	n 1	n 4										n
	n 1
													1
				1									1
3.10										sin						.
			5


	n 1				n 1									n
	n 1
												1
			3								n
			3								n
3.12				n tg											.
3.12				n tg							3				.
	n 2								n			n
	n 2
														n 3
				1										n 3
3.14										arctg									.
			3														2	5
			3		n			2									2
	n 1				n			2						n
	n 1
								n2			1
								n2			1
3.16
3.16	ln						2	n						.
	n 2					n		n					2

238

3.17

n 1

3.19

n 3

3.21

n 1

3.23

n 1

3.25

n 1

3.27

n 2

3.29

n 2

3.31

n 1

												1									n2									2
3
3

		n arctg										3				.			3.18	ln						2										.
									n											n 1				n									1
																																	n 1
3					5																												n 1
n			tg											.					3.20											1 n							4


																					3 n																	n3
							n													n 2	3 n																	n3

																														3 n
																														3 n

1 cos															.				3.22	sin							n				5		2
									3											n 1							n						2

						n																							2 n 1
																				sin

		3				1			1 )							.			3.24
( e n						1			1 )							.			3.24										2									2
																				n 1				n								n 1
											2										3 7								n
1
1				sin													.		3.26															.
				sin													.		3.26			n												.
		n							2 n												5	n			n
		n							2 n						1					n 1	5				n
																				n 1
							1																						1
																				n ( e

	n sin														.				3.28											n				1 )				2
																														n								2
							3	n		4
								n												n 1
																				n 1

													1							sin															n
	arctg												1																						n

							n		1					5		2		.	3.30									2					3
														5		2		.	3.30									2					3
															n		1			n 1			n													n	5

											n
arcsin																	.
arcsin														5			.
														5
									2
									2	3 2
						n				3 2

Указание к выполнению

1 .

Использовать:

второй признак сравнения (теорема 1.6 на стр. 22).

При этом в качестве эталонных рядов (для сравнения с исследуемыми рядами) использовать ряды из приложения 2.

239

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 3 (Исследование рядов на сходимость с помощью второго признака сравнения) на стр. 22).

Исследовать на сходимость ряд

							1
						(e2 n 3 1)
								. 1
					n			. 1
			n 1
			Решение
Согласно 2-му признаку сравнения,
если

для рядов an		и	bn		существует конечный и отличный
n 1			n 1
от нуля предел
lim		an	k	0			,
lim			k	0			,
n bn

то оба ряда	an		и	bn			одновременно сходятся или
	n 1			n 1

одновременно расходятся (другими словами, имеют одинаковый характер сходимости).

Для применения этого выберем так называемый эталонный ряд,

сходимость (или расходимость) которого уже известна (или легко определяется).

Чтобы выбрать эталонный ряд для сравнения с рядом (1), сначала

		1

	a		(e2 n3	1) ряда (1).
оценим общий член	a	n	(e2 n3	1) ряда (1).
	n
Имеем:

240

															воспользуемся эквивалентностями:
						1										e 1 ~												,			при 0 ;
an			(e2 n 3					1)							в нашем											случае :
an		n	(e2 n 3					1)				~			в нашем											случае :														~
																	1
																												1						1
															e 2 n				3	1						~									0	при		n

																														3				3
																													2 n					2 n
													1

					1						1		n2							1				1
~	n				1						1		n2							1				1				.
~	n				n3						2		n3							2					5			.
	2																								5

																							n 2
																							n 2
Таким образом,
													1
				a						(e2 n 3							1)										1	1						n .			2
									n													~					1	1				при
									n													~						5				при
					n																					2		5

																												n 2
																												n 2
Выберем в качестве эталонного ряда																																	ряд

																		1			.												3
																		5			.												3
														n 1 n
														n 1 n						2
																																					1

																																				a			(e2 n3	1)
Найдем							предел								отношения													общего						члена		a		n	(e2 n3	1)
																																				n

исследуемого ряда (1) к общему члену bn 15 эталонного ряда (3):

n 2

							1						заменяем an эквивалентным из (2) :
							1						заменяем an эквивалентным из (2) :
						2 n			3					1
						2 n			3
	an		n (e							1)
lim	an	lim	n (e							1)					3		1
lim		lim													3
n bn		n				1							n	(e2 n		1) ~		;


							5										5
																	5

																	2 n 2

					n		2
					n


		lim		1				:	1			1	0
				1					1			1
					5				5		2
		n
		n		n 2
			2	n 2					n 2

241

условие

lim

k 0 2-го

признака сравнения

n bn

выполняется

и,

следовательно,

оба

ряда

—

данный

3 1)

(e2 n

и эталонный

— имеют одинаковый

n 1

n 1 n

характер сходимости.

Ряд

сходится (так как ряд Дирихле

при

n 1 n

n 1

1 сходится).

3 1) .

(e2 n

Значит, сходится и ряд

n 1

Итак, получили:

ряд

3 1)

(e2 n

n 1

сходится (по 2-му признаку сравнения).

242

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

(См.:

п. I.1.2. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки

							n 1													4n
4.1							n 1						.			4.2				4n								.
4.1					n		n 1 !						.			4.2				2								.
	n 2			2			n 1 !										n 1		n!
			2n 1 n3							1									10n n!
4.3			2n 1 n3							1				.		4.4			10n n!							.
4.3														.		4.4										.
	n 1					n 1 !											n 1			2 n !
	n 1																n 1
					2 n 2 !														n 5										2
					2 n 2 !														n 5										2
4.5													.			4.6							sin									.
4.5					n		3 n			5			.			4.6							sin								n	.
	n 1		2				3 n			5							n 1				n!								3
										5											n n
			1			arctg				5											n n
4.7											.					4.8												.
4.7											.					4.8					n	n!						.
	n	1	n!							n							n 1	3				n!
	n	1															n 1
					n!					1											6n n2 1
					n!					1											6n n2 1
4.9								tg						.		4.10															.
4.9			2 n !					tg				n		.		4.10							n!								.
	n	1	2 n !							5							n 1						n!
	n	1															n 1
					4n n2																nn
4.11					4n n2				.							4.12					nn			.
4.11									.							4.12					2			.
	n 1				n 2 !												n 1				n!
							7 2 n														4n n!
4.13							7 2 n					.				4.14					4n n!						.
	n 1				2 n 1 !												n 1				3 n !
	n 1																n 1
				1 3 5 2n 1																		n!
4.15															.	4.16									.
4.15							3	n	n 1 !						.	4.16					n	n 1			.
	n 1						3		n 1 !								n 1				n
	n 1																n 1
							n! 2
							n! 2
4.17														.		4.18				n! sin										.
					3n 1					2n !																			2n
	n 1																n 1

243

				n			1 !
4.19				n			1 !						.
4.19						n				n			.
	n	1				n
	n	1
					2n			n!
4.21					2n			n!				.
4.21						n			n			.
	n	1				n
	n	1
										3n
4.23										3n				.
4.23					n									.
	n	1	4					n 2 !
	n	1
					1 4 7 3n 2
4.25					1 4 7 3n 2

					7 9 11 2n 5
	n 1
					3n 2 !
					3n 2 !
4.27							n			n	2 .
	n 1		10							n

					n! 3 n
4.29					n! 3 n							.
4.29			3			n			2			.
	n	1	3						2
	n	1
			1 4 7 3n 2
4.31
4.31										2		n 1	n!
	n 1									2			n!
	n 1

4.20

n 1

4.22

n 1


5 n 3
		n2	.
n
	1 !

	5n n 1 !		.
	2 n !

					5 7		2n 1
4.24			3		5 7		2n 1	.
4.24								.
	n	1		2 5 8 3n 1
	n	1
				2 n !
4.26				2 n !			.

			2		n	3
	n	1	2			3
	n	1

4.28

n 1

4.30

n 1

4 n 1 n2 5

n 1 !

n! 2 n 1 !

3 n !

Указание к выполнению

Использовать признак Даламбера (теорема 1.7 на стр. 31).

244

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 4 (Исследование рядов на сходимость с помощью признака Даламбера) на стр. 32).

Исследовать на сходимость ряд

		n 3
						. 1
			sin
		n!		2	n
n	1

Решение

По признаку Даламбера,


сходимость ряда an определяется в зависимости от величины
n 1
предела отношения
lim	an 1	q .
n	an

А именно:

1)если q 1 , то ряд сходится;

2)если q 1 , то ряд расходится;

3)если q 1 , то в этом случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

Исследуем с помощью признака Даламбера ряд (1).

Найдем предел отношения lim	an 1	.
Найдем предел отношения lim	an	.
n	an
Имеем:

n 3

sin

2 n

n 1 3

an 1

sin

1 !

2 n 1

	(2)
	(2)

	используем определение
	используем определение
	факториала числа :
	факториала числа :
	n 1 ! 1 2 3 n n 1
	n 1 ! 1 2 3 n n 1

	n !
	n !
	n ! n 1
	n ! n 1

.	(3)
.	(3)

245

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015270.85 Кб7форма 5 2012.doc
#
03.05.2015105.47 Кб534Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб250Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб60Химия Методичка, 2008.pdf
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб14Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
15.12.2018249.34 Кб4Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб57численные методы 6 вариант.docx
#
03.05.20154.16 Mб107Шарков1.doc
#
25.09.201933.86 Кб4Шпаргалка.docx
#
24.04.2019573.01 Кб10шпора по ал.гем..docx