Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Решение

Имеем степенной ряд вида

5 2 n

x x

n 1

В данном случае ряд содержит не все, а только четные степени

выражения

x 5 .

Поэтому (см. указание к выполнению)

степенной

ряд

(1) следует

рассматривать как функциональный ряд общего вида

x 5 2 n

fn x

n 1

и определять интервал

сходимости

помощью

признака Даламбера или

признака Коши (применяя их к ряду

n 1

Воспользуемся признаком Коши:

lim

1 .

признак

Коши

Имеем:

x 5

2 n

lim n

lim

x 5 2

x 5

2 x 5 2

2 5 x 2 5

3 .

Получили:

интервал сходимости ряда

7 x 3 .

266

										x 5 2 n
2. Исследуем сходимость степенного ряда										x 5 2 n	в граничных
										4n

									n 1
точках интервала сходимости						7 x 3 .
 При			x 7 :
	7	5 2 n			2 2 n		4 n
	7	5 2 n			2 2 n		4 n			1n .

		n			n			n
n 1		4		n 1	4	n 1	4			n 1

Ряд 1n расходится, так как не выполняется необходимый признак

n 1

сходимости ряда:

lim a

(в нашем случае a

1n 1

Таким образом,

при x 7 степенной ряд расходится.

 При

3 :

3 5 2 n

2 2 n

4 n

1n .

n 1

Ряд 1n

расходится.

n 1

Таким образом,

при x 3 степенной ряд расходится.

3. Объединяя результаты п. 1 и 2 решения, окончательно получаем:

		x 5 2 n
степенной ряд		x 5 2 n	сходится при 7 x 3 .
		4
		n
	n 1		область сходимости

267

Задача 9. Разложить функцию f x в ряд Тейлора по степеням x . (См.:

п. I.1.6. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенные ряды некоторых элементарных функций).

9.1					9						.

			20 x x2
			20 x x2
9.3	ln 1 x							6 x2 .
9.5		sh 2 x					2 .
9.5							2 .
				x
9.7					x						.


				27 2 x
9.9	x 1 sin 5 x													.
9.11					6							.

		8 2 x x2
		8 2 x x2
9.13		ln 1 x								12 x2 .
9.15			arcsin x							1 .
9.15					x					1 .
					x
		x 2											.
9.17		x 2				4 3 x							.
								2	x
9.19		2 x sin									x			.
9.19		2 x sin									x			.
									2
9.21					5						.

			6 x x2
			6 x x2
9.23		ln 1 x								12 x2 .

9.2				x2				.

			4 5 x
			4 5 x
	2					x
9.4	2 x cos								x .
9.4	2 x cos								x .
						2
9.6	7							.

	12 x x2
	12 x x2
9.8	ln 1 x					6 x2 .
9.10			ch 3 x 1					.

					x2
					x2
9.12	1							.

			4
			4	16 3 x
9.14		3 e x 2 .
9.16	7							.

		12 x x2
		12 x x2
9.18		ln 1 2 x						8 x2 .
9.20		x 1 sh x .
		x 3							.
9.22		x 3			27 2 x				.
9.24		sin 3 x					cos 3 x .
9.24				x			cos 3 x .
				x

268

9.25		arctg x			.				9.26	5		.
											6 x x2
			x
			x
	4					.				ln 1 x		20 x2 .
9.27	4		16 5 x			.			9.28	ln 1 x		20 x2 .
9.29	2 e x 2 .								9.30	x 1 ch x .
9.31	3						.

		2 x x2
		2 x x2
Указание к выполнению
1.		Преобразовать функцию f x							к виду, допускающему использование
табличных					разложений функций				e x ,	sin x , cos x , 1 x ,			ln 1 x ,
arctg x ,				ch x ,				sh x .

(См. табл. 2 на стр. 122 или приложение 2).

2.Найти разложение функции f x в ряд Тейлора, используя:

табличные разложения;

сложение (вычитание) рядов;

умножение ряда на число.

(См. также на стр. 123 – 124 приемы, применяемые при разложении в степенные ряды).

3. Определить область сходимости полученного ряда к функции f x .

269

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 13 (Разложение функций в степенные ряды) на стр.

124))

Разложить функцию f x ln x2 3 x 2 в ряд Тейлора по степеням x .

Решение

1.Преобразуем функцию f x ln x2 3 x 2 к виду, допускающему использование табличного разложения

xn 1

x n 1

ln 1 x x

1 n

n 1

n 0

при

1 x

1 .

Имеем:

f x ln x2 3 x 2

x2 3 x 2 x 1 x 2

ln x 1 x 2

по свойству

логарифмов :

ln a b

ln a

ln b .

ln x 1 ln x 2 .

Таким образом, получили:

	ln x2 3 x 2	ln	x 1	ln x 2		. 3

			f1 x		f2 x
2.	Теперь разложим в	ряд	Тейлора		по	степеням x каждую из
	полученных функций:	f1 x ln x 1			и f2 x ln x 2 .
	Имеем:
	разложение функции	f1 x	ln x 1		является табличным разложением

(1) с областью сходимости (2):

270

xn 1

x n 1

ln 1 x x

1 n

, 1

n 1

n 0

n 1

область сходимости :

1 x 1 .



получим разложение функции

f2 x

ln x 2

по степеням x

чтобы использовать табличное разложение (1),

ln x 2

преобразуем

логарифм ln x 2

виду

ln 1

где

является

степенью x

заменяем в разложении (1)

ln 2 1

ln 2

ln 1

на

n 1

ln 2

2 2

ln 1

n 1

ln 2

n 1

n 0

или

n 1

1 n

ln x 2 ln 2

n 1

n 0

n 1

область

сходимости

ряда (4) :

неравенстве

(2)

1 x 1 заменяем x

на

;

получаем

. 5

3. Подставляя полученные разложения (2) и (4) в равенство (3), получаем искомое разложение функции f x ln x2 3 x 2 :

271

ln x2

3 x 2

см.(3)

ln x 1

ln x 2

подставляем :

xn 1

ln x 1

;

n 0

1 x 1

xn 1

ln x 2

1 n

ln 2

n 1

n 0

2n 1

n 1

1 n

ln 2

n 1

n 0

ln 2 1 n

x n 1

n 1

n 0

или

ln x2

3 x

ln 2 1 n

x n 1

. (6)

n 1

n 0

—искомое разложение.

	1	x 1	1	x	1 .
Область сходимости ряда (6):	2	x 1

Итак, получили:	ln x2	3 x 2
разложение функции f x	ln x2	3 x 2			в	ряд	Тейлора
по степеням x имеет вид
			1			1
ln x2 3 x 2 ln 2 1 n			1			1	x n 1
				1
			n 1	1		2 n 1
	n 0		n 1			2 n 1

при 1 x 1 .

272

Задача 10. Вычислить интеграл с точностью до 0,001 . (См.:

п. I.1.7. Приложения степенных рядов: вычисление значений функций

с помощью рядов; вычисление определенных интегралов с помощью

рядов; вычисление пределов с помощью рядов).

	0,1						6 x 2
10.1	e						6 x 2				dx .
	0
	1
10.3	cos x2 dx										.
	0
	0,1				e 2 x
10.5		1			e 2 x							dx .
10.5						x						dx .
	0					x
	0
	1, 5					dx
10.7						dx			.

		3
		3		27 x3
	0
	0, 2
10.9	sin 25 x2 dx													.
	0
	1					dx
10.11						dx					.

			4
			4		16		x	4
	0				16		x
	0
										x
	0,4					ln	1
	0,4					ln	1
10.13										2			dx .
10.13							x						dx .
	0						x
	0
	0, 3						2 x 2
10.15	e						2 x 2					dx .
	0
	0, 2
10.17	cos 25 x2 dx .
	0

	0,1
10.2	sin 100 x2 dx													.
	0
	0, 5					dx
10.4						dx			.

		4
		4			1 x4
	0
								x
	1		ln 1
	1		ln 1
10.6								5				dx .
10.6							x					dx .
	0						x
	0
	0, 2							2 dx .
10.8	e 3 x							2 dx .
	0
	0, 5
10.10		cos 4 x2 dx .
		0
	0, 2			1 e				x
10.12				1 e				x				dx .
10.12							x					dx .
		0					x
		0
	2						dx
10.14							dx				.

			3
			3					3
	0				64 x
	0
	0, 4						5	x 2
							5	x 2
10.16		sin										dx .
10.16		sin										dx .
		0						2
		0
	1, 5						dx
10.18							dx						.

				4
				4		81 x				4
		0				81 x
		0

273

	0, 4							x
	0, 4			1 e				2
10.19				1 e				2		dx			.
10.19							x			dx			.
	0						x
	0
	2 , 5						dx
10.21							dx					.

			3
					125 x3
					125 x3
	0
	0, 5
10.23	sin 4 x2 dx .
	0
	2						dx
10.25							dx				.

		4
		4		256 x					4
	0			256 x
	0
	2 , 5						dx
10.27							dx					.

			4
						625 x4
						625 x4
	0
	0, 5						3 x2
	e						25	dx .
10.29	e						25	dx .
	0
	0 ,1
10.31	cos 100 x2 dx												.
	0

	0 ,1	ln 1		2 x
10.20		ln 1		2 x	dx .
10.20			x		dx .
	0		x
	0
	0, 4		3 x2
	e		2	dx .
10.22			2
10.22

0, 4

10.24

	5 x 2	dx .
cos

	2

	0 , 5				dx
					dx
10.26								.
			3
			3			3
	0			1 x
	0
	1			dx
10.28				dx			.
		3
		3				3
	0		8 x
	0
	1
10.30	sin x2					dx .
	0

Указание к выполнению
1. Разложить подынтегральную функцию		f x в степенной ряд (ряд
Тейлора) по степеням x	:

f x	cn xn	1

иопределить его область сходимости.

(Использовать стандартные разложения из приложения 2).

274

2.Проинтегрировать почленно полученный ряд по заданному промежутку интегрирования, используя формулу Ньютона – Лейбница:

x n 1

f x dx

cn x

n 1

0 n 0

n 0 0

n 0

(При этом промежуток интегрирования должен лежать в области сходимости ряда).

3. Вычислить сумму ряда (2) с заданной точностью.

Для того чтобы определить, сколько слагаемых в разложении (2) достаточно взять (для достижения заданной точности), нужно оценить остаток

Rn ряда.

В	частности,		для	знакочередующегося			ряда	вида

1 n an	an 0 величина остатка				Rn	оценивается неравенством (3):
n 0
	Rn	an 1 ,	где an 1	первый из отброшенных				(3)
	Rn	an 1 ,	где an 1	первый из отброшенных
				членов		ряда .
				членов		ряда .

Пример выполнения задания.

(См. также:

 пример I.1 – 16 (Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов) на стр. 140)

0,5	x	2
Вычислить интеграл e	x

	4 dx с точностью до		0,001 .
0
		Решение
1. Разложим подынтегральную функцию f x e			x2
1. Разложим подынтегральную функцию f x e			4 в степенной ряд

по степеням x .

275

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015270.85 Кб7форма 5 2012.doc
#
03.05.2015105.47 Кб536Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб250Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб60Химия Методичка, 2008.pdf
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб14Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
15.12.2018249.34 Кб4Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб57численные методы 6 вариант.docx
#
03.05.20154.16 Mб107Шарков1.doc
#
25.09.201933.86 Кб4Шпаргалка.docx
#
24.04.2019573.01 Кб10шпора по ал.гем..docx