Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Воспользуемся стандартным разложением e x в ряд Тейлора по степеням

(1)

n 0

Получаем:

в разложении

(1)

заменяем x

на

x2 3

x2 n

1 n

n 0

2.Подставляем полученное разложение в искомый интеграл и интегрируем почленно:

0,5		x2				0,5			x2			x4					x6									x2 n
			4																				n
	e			dx	1						2						3	1								n	n!							dx
0						0			4 1!		4					2!	4 3!						4				n!
0						0
						0,5						0,5									0,5										0,5
						dx				1			x2 dx					1				x4 dx									1			x6 dx

										4 1!								42 2!											43 3!
						0								0							0													0
																					1		0,5
																	1 n				1		x2 n dx

																				4 n n!
																							0
											3				0,5			5			0,5									7			0,5
											3				0,5			5			0,5									7			0,5
						x	0,5	1			x						1		x				1					x
							0,5	1			x						1		x				1					x

							0	4 1! 3							0		42 2!	5			0			43 3!			7						0		0,5
							0	4 1! 3									42 2!	5						43 3!			7

																						1 n				1						x 2 n 1
																										1						x 2 n 1
																									4n n!						2 n 1				0
																																			0

276

	0,5		1					0,53					1				0,55		1			0,57		1 n					1			0,5 2 n 1
	0,5		4 1!								42								43					1 n
			4 1!					3			42			2!			5		43		3!	7							4n n!				2 n 1
																																			Rn
		0,5				x	2
		e				x
									dx
						4			dx
		0
		1						0,53					1				0,55		1			0,57		1 n					1				0,5 2 n 1
0,5																																		. (2)
0,5				4 1!				3				42 2!					5			43 3!		7								4n n!			2 n 1	. (2)

	3. Определим, сколько слагаемых нужно взять,																												чтобы				погрешность
		приближенного равенства (2) не превышала																								0,001 .
		Воспользуемся														известной							оценкой					погрешности							для

знакочередующегося													ряда					вида			1 n an					an 0					(см.		указание к
																				n 0
выполнению):
					Rn					an 1			,		где an 1 первый из отброшенных																		(3)
					Rn					an 1			,		где an 1 первый из отброшенных
																				членов ряда .
																				членов ряда .
	Чтобы выполнялась требуемая точность																								Rn		0,001 ,				достаточно, чтобы
	Чтобы выполнялась требуемая точность																								Rn		0,001 ,				достаточно, чтобы

первый из отбрасываемых членов ряда (по абсолютной величине) был меньше заданной точности:

					an 1 0,001 .				(4)
В нашем случае имеем:
a0	0,5			0,001		,
a	1		0,53		1		0,53	0,0104	0,001 ,
a								0,0104	0,001 ,
1	4 1!	3			4 1	3
	4 1!	3			4 1	3

277

a	1		0,55	1		0,55	0,0002	0,001
a							0,0002	0,001
2	42 2!	5		42 1 2	5
	42 2!	5		42 1 2	5

				2!				4 выполняется.
							условие	4 выполняется.

Поэтому для вычисления искомого интеграла с точностью до 0,001, в

приближенном равенстве (2) достаточно взять первые два слагаемых (так

как уже третье слагаемое a2									меньше заданной точности):
0,5	x	2							0,53
e	x					1

	4 dx				0,5					0,5 0,0104	0,4896	0, 49.
	4 dx				0,5					0,5 0,0104	0,4896	0, 49.
0							4 1!		3
0
	Итак, окончательно получили:
		0,5		x	2
			e	x

				4 dx				0, 49		с точностью до	0,001 .
		0

278

Группа Б (Дополнительные задания)

Задача 11. Вычислить сумму ряда с точностью до																	.
(См.: п. I.1.3. Знакопеременные ряды.															Признак Лейбница							сходимости
	знакочередующегося ряда. Условная и абсолютная сходимость).
					n 1													n 1
			1		n 1											1		n 1
11.1			1				2			,	0,01 .				11.2	1					,		0,01 .
	n	1	3 n													n 1	n!
	n	1														n 1
		1		n	1												1			n 1
				n	1															n 1
11.3										,	0,001 .				11.4									,	0,001.
11.3					3					,	0,001 .				11.4									,	0,001.
	n 1	2 n														n 0 n! 2 n 1
										n 1							1 n
11.5	1 n 1								2	n 1		,	0,01.		11.6		1 n					,			0,0001.
11.5	1 n 1								3	n 1		,	0,01.		11.6		2 n 1 !					,			0,0001.
	n 1							n		n 1						n 1	2 n 1 !
	n 1															n 1
																				2
	1 n															1 n				2
11.7							n		,		0,1.				11.8				n		,			0,1 .
11.7							n		,		0,1.				11.8				n		,			0,1 .
	n 1				2											n 1		3
	n 1															n 1

	1 n										n			,			1 n
	1 n										2		2	,			1 n
11.9	n 1					2 n 1 2 n 1									11.10							,		0,0001.
11.9	n 1					2 n 1 2 n 1									11.10							,		0,0001.
	0,001 .															n 0	2 n 1 !!
	0,001 .

			1 n
			1 n					0,001.
11.11						,
11.11			2 n			,
	n	1	2 n	!!
	n	1

11.13	1 n			n			,		0,0001.
11.13	1 n			n			,		0,0001.
	n 1			7
	n 1
			1 n
11.15			1 n		,				0,001.
11.15					,				0,001.
	n	1	2 n !
	n	1
11.17
	1 n
	1 n				,				0,00001.
	2 n ! 2 n				,				0,00001.
n 1

					2 n
					2 n
11.12						,
11.12						,
	n	0			5
	n	0
					2 n
					2 n
11.14						,
11.14						,
	n	0			3
	n	0
			1 n
11.16			1 n			,
11.16			3 n!			,
	n	0	3 n!
	n	0
11.18
				2	n 1
1 n				2	n 1

			2		n ! n!
n 1			2		n ! n!
n 1

0,01.

0,1.

0,01 .

,0,001.

279

		1 n														1 n
11.19		1 n				, 0,0001 .							11.20			1 n			, 0,001.
11.19			n			, 0,0001 .							11.20				n	n!	, 0,001.
	n 1		3 n!												n 1	2		n!
			1 n														1 n
11.21			1 n					,			0,00001 .		11.22				1 n					, 0,001 .
11.21		2 n		! n!				,			0,00001 .		11.22				n	n 1				, 0,001 .
	n 1	2 n		! n!											n 0	3		n 1
	n 1														n 0
			1 n													1 n
11.23			1 n							,	0,001 .		11.24			1 n			, 0,01.
11.23			n					1		,	0,001 .		11.24					3	, 0,01.
	n 0		4 2 n					1							n 1		n
	n 0														n 1
							2n										1 n
11.25 1 n							2n				,	0,001.	11.26				1 n				,		0,001.
11.25 1 n						n			n		,	0,001.	11.26				n	n			,		0,001.
	n 0					n		1							n 0		n	1
		1 n																				2
11.27		1 n				,		0,01 .					11.28		1 n							2		,	0,01.
11.27		3				,		0,01 .					11.28		1 n				n		2	n 3		,	0,01.
	n 1		n 1												n 1				n			n 3
	n 1														n 1
			1 n														1 n
11.29			1 n				,				0,001.		11.30				1 n			, 0,01.
11.29			n3		2		,				0,001.		11.30			3		2		, 0,01.
	n 0		n3	1											n 0		n	2
							n
11.31 1 n							n				,	0,001.

								2
	n 1					1 n3
Указание к выполнению
1.	Для		нахождения								суммы		S	знакочередующегося										ряда		вида

	1 n 1 an (или										1 n an ) использовать приближенное равенство
	n 1										n 1
			S				Sn	,			где	Sn	n я		частичная						сумма			ряда
												(сумма n		первых				членов					ряда).
2.	Для определения количества членов ряда, которое нужно взять,																									чтобы
	выполнялась заданная точность												, использовать условие
		an 1						,			где an 1 первый из отброшенных
												членов		ряда .

280

Задача 12. Найти область сходимости ряда. (См.:

 п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов)

						xn															1 n 1
12.1						xn							.					12.2			1 n 1													.
12.1				x	n			1					.					12.2			n	ln		1 x										.
	n 1			x				1											n 1		n
																												n									2
																												n									2				x n
													n												4									n x					4		x n
12.3													n				.	12.4		1					4						e										.
																x 2
	n 1			n 3									n			1			n 1						n
																														2		1
				3																		n2 sin						x
																												x
							n
12.5							n						.						e												n
																		12.6																				.
		x		2	n						2
				2							2
	n 1																		n 1
																			n 1

12.7				n 5											.			12.8	n arcsin 3 n x .
12.7				3 x x								2			.			12.8	n arcsin 3 n x .
	n 1 n			3 x x															n 1
	n 1 n																		n 1
					xn
12.9					xn											.		12.10	n2 arctg 2 n x .
12.9		x		2 n				1								.		12.10	n2 arctg 2 n x .
	n 1	x						1											n 1
	n 1																		n 1
																													n						n2
										n
										n
12.11																.		12.12					2				1							4		x				.
12.11																.											1									x
						x2 1								4
				n		x2 1																					n
	n 1			n															n	1							n
																			n	1
																															2
						1																									2	4x								x n
						1													n e							n x						4x						3		x n
8.13														.				12.14																							.
8.13		e		n x										.				12.14																							.
	n 1	e							1										n 1
	n 1																		n 1
																															x2 1
									1														n2 sin
12.15									1							.			e															n
																																		n
																																								.
				e	n x								1					12.16
					n x													12.16
	n 1																		n 1
																			n 1
			1 xn																				1 n 1
			1 xn																				1 n 1
12.17													.					12.18															.
																														2
											n																			2
	n 1 1 x																		n 1				ln 1 x
	n 1 1 x																		n 1			n
																						n

281

12.19

n 1

12.21

n 1

12.23

n 1

12.25

n 1

12.27

n 1

12.29

n 1

12.31

n 1

n x

n n e x

n 1

2 3x x2

x2 2

n2 1 n e x

n2 n 1 x 1

12.20

n arcsin 3 n x .

n 1

12.22

n2 arctg 2 n x .

n 1

x n

1 x

12.24

n 1

12.26

n 1

1 .

12.28

n 1

12.30

e x

n 1 2 .

n 1

Указание к выполнению
Использовать	алгоритм		нахождения	области	сходимости
функционального ряда на стр. 62.
Пример выполнения задания.
См. пример	I.1. -	8	(Определение	области	сходимости
функционального ряда) на стр. 63.
			282

Задача 13. Найти область сходимости ряда.

(См.:

 п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).

5 n

13.1

n 1

x2 6 x 13

3 x 1

13.3

n 1

13.5

8n n2 sin3 n x .

n 1

4 n

13.7

n x2

5 x 10

n 1

lnn x e

13.9

n 1

n e

13.11

tg2 n x .

n 1

3 n

13.13

n 1

13.15

4 x 2 .

n 1

lnn x

13.17

n 1

13.2

sin3 n x .

n 1

13.4

x2 4

x 6 .

n 1

13.6

2 4

x .

n n 1

n 1

13.8

sin2 n 2 x .

n 1

x2 5 x 10 n

13.10

4 n n2 1

n 1

n e

13.12

cos x

n 1

13.14

sin4 3 x .

n 1

13.16

sin2 n x .

n 1

x2 5 x 11 n

13.18

5 n n2 5

n 1

283

3 n

13.19

n x2 2 x

n 1

13.21

n e nsin x

n 1

13.23

tgn

x .

n 1

2 n

13.25

n2 x2

4 x 5

n 1

ln n x e

13.27

n 1

n e

3 2

13.29

tgn 2 x .

n 1

4 n

13.31

n3 x2

4 x 7

n 1

Указание к выполнению

Использовать алгоритм функционального ряда на стр. 62.


13.20		1	tgn 2 x .
13.20		3	tgn 2 x .
n	1	n

			x2 1 n
13.22										.
13.22		2		n		n			1	.
	n 1	2				n			1
	n 1
								n
	n 5
13.24	n 5						3 x			.
	n 1
						1
13.26						1			tgn	x .

								n
	n 1
	n 1	n 3 2
		x2 2 x 2 n
13.28					2 n n2 2						.
	n 1

13.30		1			e n sin x					.
13.30					e n sin x					.
	n 1		n
	n 1

нахождения области сходимости

Пример выполнения задания.

См. пример I.1. - 8 (Определение области сходимости функционального ряда) на стр. 63.

284

Задача 14. Найти сумму ряда.

(См.:

 п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

x n 1

14.1

n n 1

n 1

14.3

n 0

n 1

14.5

4 n 4

n 1

x n

14.7

n n 1

n 1

14.9

n 0

n 1

14.11

n 1

x n 2

14.13

n n 1

n 1

sin n x

14.15

n 0

n 1

14.17

n x

3 n 3

			x n
14.2			x n
14.2		n 1 n 2
	n 0
			5 n
14.4			5 n				.
14.4		n 1 x				n	.
	n 0	n 1 x
	n 0
		1 x5		n 1
14.6		1 x5							.
	n 1		n
	n 1
			3 n
14.8			3 n					.

		n 1 x				3 n
	n 0	n 1 x
	n 0
			x n 1
14.10			x n 1

			n 1 n 2
	n 0
			1 x2		n 1
14.12			1 x2						.
	n 1		n
	n 1
			1
14.14			1						.

						5 n
	n 0		n 1 x
	n 0
			x n 3
14.16			x n 3

			n 1 n 2
	n 0
			1 x4		n 1
14.18			1 x4						.
	n 1		n
	n 1

285

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015270.85 Кб7форма 5 2012.doc
#
03.05.2015105.47 Кб537Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб250Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб60Химия Методичка, 2008.pdf
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб14Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
15.12.2018249.34 Кб4Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб57численные методы 6 вариант.docx
#
03.05.20154.16 Mб107Шарков1.doc
#
25.09.201933.86 Кб4Шпаргалка.docx
#
24.04.2019573.01 Кб10шпора по ал.гем..docx