Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

14.19

n 1

14.21

n 0

14.23

n 1

14.25

n 1

14.27

n 0

14.29

n 1

14.31

n 1

x n 3 n n 1

1 x3 n

n 1

n x 5 n 5

x n 5 n n 1

1 x5 n

n 1

4 n 1 n x 2 n 2

sin n 1 x

				4 n
14.20				4 n						.
14.20				n 1 x				2 n		.
	n	0		n 1 x
	n	0
				x n		4
14.22				x n		4					.
14.22			n 1			n			2		.
	n	0	n 1			n			2
	n	0
				cos n x
14.24				cos n x			.
14.24							.
	n	0		n 1
	n	0
				2 n
14.26				2 n						.
14.26				n 1 x				4 n		.
	n	0		n 1 x
	n	0
				x n		6
14.28				x n		6					.
14.28			n 1			n			2		.
	n	0	n 1			n			2
	n	0
			1 x3		n 1
14.30			1 x3						.
	n	1		n
	n	1

Указание к выполнению

Использовать почленное интегрирование функционального ряда

(теорема 1.13 (Интегрирование функциональных рядов) на стр. 77).

Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 9 (Вычисление суммы ряда	почленным
интегрированием) на стр. 78.

286

Задача 15. Найти сумму ряда.

(См.:

 п. I.1.4. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак

Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов).


15.1	n 5 x n 1
	n 1

15.3	n 4 x n 1
	n 1

15.5	n 3 x n 1
	n 1

15.7	n 2 x n 1
	n 1

15.9	n 1 x n 1
	n 1

15.11	n x n 2 .
	n 2

15.13	n 4 x n 2
	n 2

15.15	n 3 x n 2
	n 2

15.17	n 2 x n 2

n 2


.	15.2	n 5 x 2 n
		n 0

.	15.4	n 4 x 3 n
		n 0

.	15.6	n 3 x 4 n
		n 0

.	15.8	n 2 x 5 n
		n 0

.	15.10	n 1 x 6 n
		n 0

	15.12	n x 6 n .
		n 1

.	15.14	n x 5 n .
		n 1

.	15.16	n x 4 n	.
		n 1

.	15.18	n 1 x 3 n

n 0

3	.

287

15.19

n 2

15.21

n 0

15.23

n 0

15.25

n 0

15.27

n 0

15.29

n 0

15.31

n 0

n 1 x n 2

n 1 x 2 n

n 2 x 3 n

n 3 x 4 n

n 4 x 5 n

n 5 x 6 n

n 6 x 7 n


.	15.20
		n 0

.	15.22
		n 3

.	15.24
		n 3

.	15.26
		n 3

.	15.28
		n 3

.	15.30

n 3

n 1 x 2 n 2

n 1 x n 3

n 2 x n 3

n 3 x n 3

n 4 x n 3

n 5 x n 3

Указание к выполнению

Использовать почленное дифференцирование функционального ряда

(теорема 1.14 (Дифференцирование функциональных рядов) на стр. 87).

Пример выполнения задания.
См. пример I.1. - 10 (Вычисление суммы ряда	почленным
дифференцированием) на стр. 88.

288

Задача 16.

Разложить в ряд Фурье функцию f x с периодом

2 l ;

при этом,

если функция задана на полупериоде (т.е. на промежутке, длина

которого равна половине периода

), то разложить в ряд Фурье по синусам

или по косинусам.

(См.:



п. I.1.8.

Тригонометрические

ряды. Ряд Фурье, сходимость рядов

Фурье, коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных

функций;



п.

I.1.9.

Ряд Фурье для

функций с «двойной симметрией»;

 п. I.1.10. Ряд

Фурье

для

функций, заданных на полупериоде.

Разложение в ряд Фурье непериодических функций).

16.1

f x x 1 на

; ;

16.2

f x x2 1 на 2; 2 ;

2 .

T 4 .

16.3

16.4

f x

на

; ;

f x 1

на 1; 1 ;

T 2 .

2 .

16.5

16.6

f x

, x 0 ;

f x x2

на 0; 2 ;

x .

4 .

по

синусам

2 .

16.7

f x

x sin x

на 0;

16.8

;

f x

0 x 1 ;

по

синусам

2 .

2 x ,

x 2 ;

по

синусам

4 .

16.9

16.10

f x

0; ;

x ,

;

f x

на

по

синусам

2 .

x ,

x ;

2 .

по

синусам

289

16.11

16.12

f x

cos2 x

на

; ;

f x

1 2 x

на

; ;

T 2 .

16.13

16.14

, x 0 ;

f x

2 x

, x 0 ;

f x

0 x .

3 x

0 x .

T 2 .

16.15

16.16

f x sin2 x

на

;

f x

на

0 ;

;

2 .

по

косинусам

1 .

16.17

16.18

f x

x ,

0 x 1 ;

f x 2 x

на 0 ; ;

2 x ,

1 x 2 ;

по

косинусам

2 .

по

косинусам

4 .

16.19

16.20

f x

на 0; ;

f x ch x на 0; ;

T 2 .

2 .

по

косинусам

по

косинусам

16.21

16.22

f x e x 1 на 0; 2 ;

f x x2

на 3; 3 ;

2 .

T 6.

16.23

16.24

f x

на ; ;

f x

x 3

на ; ;

T 2 .

16.25f x

1 x

на

2; 2

;

16.26f x x3

на

;

T 4 .

T 2 .

290

16.27

	0 ,		0 x							;
f x	0 ,		0 x						2	;
f x


	cos x ,						x .
				2		T		2 .
по		синусам				T		2 .
16.29
f x	2 x ,						0 x 3 ;
f x		6	, 3 x 6 .
		6	, 3 x 6 .
по		синусам					T	12 .
16.31
f x	4		,			0 x 2 ;
f x		2 x 8			, 2 x 4 .
		2 x 8			, 2 x 4 .
по		косинусам						T 8 .

16.28

1 cos x

, 0 x

;

f x

x .

T 2 .

по

синусам

16.30

f x

0 x 1 ;

2 x

, 1 x 2 .

по

синусам

T 4 .

Указание к выполнению

Использовать формулы разложений в ряд Фурье:

	периодических функций с произвольным периодом T	2 l ;
	с периодом T 2 ;

четных и нечетных функций;

функций, заданных на полупериоде,

из п. I.1.8. – I.1.10 (или из приложения 3, стр. 306 – 312).

Пример выполнения задания.

См.:

 пример	I.1. – 18 (Разложение функций с периодом
T 2	в ряд Фурье) на стр. 155;

пример I.1. – 19 (Разложение функций с произвольным

периодом T

2 l в ряд Фурье) на стр. 174;

пример I.1. – 21 (Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде) на стр. 196.

291

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Некоторые замечательные	ряды
Ряд

a a q a q2 a q3 a qn 1	a qn 1 ,	1
	n 1

составленный из членов бесконечной геометрической прогрессии со

знаменателем

и первым членом

a 0

, называется

геометрическим рядом.

Если

, то геометрический ряд (1) расходится;

если

, то ряд (1)

сходится, и его сумма S

определяется формулой

a q n 1

n 1

Замечание

Вычислить сумму ряда (1), начиная с

k го

слагаемого

q k 1

a q k 1

a q n 1

, можно по формуле

n k

Сумму

n первых слагаемых ряда (1) можно вычислить

по формуле

a q n 1 1

q 1

Ряд

n 1

называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.Ряд

	1		1		1			1
1	1		1		1			1		3

	2	p	3	p	n	p		n	p
	2		3		n		n 1	n

называется рядом Дирихле (обобщенным гармоническим рядом).

Ряд Дирихле сходится при p 1

и расходится при p 1 .

Гармонический ряд является частным случаем ряда Дирихле при p 1 .

292

Приложение 2

Разложения в ряд Тейлора по степеням

некоторых элементарных

функций

1. ex 1

;

n 0

x x3

x2 n 1

2. sh x

;

2 n 1 !

n 0

x2 n

3. ch x 1

;

2 n !

n 0

x2 n 1

4. sin x

1 n

;

1! 3!

2 n 1 !

n 0

2 n 1 !

x2 n

5. cos x 1

1 n

;

2 n !

n 0

Разложения (1) – (5) справедливы для всех x .

x2 n 1

6. arctg x

1 n

;

2 n 1

3 5 7

2 n 1

n 0

при

x 1

xn 1

x n 1

7. ln 1 x x

1 n

;

n 1

при

x 1

1 2

8. 1 x

2 n 1

xn ;

(

если

x 1

;

если

0 :

x 1

;

если

0 :

x 1

)

293

Приложение 3

Основные теоремы и формулы теории рядов

Ряды с положительными членами

1.	Теорема (Необходимый признак сходимости)

	Если ряд		an		сходится, то общий член ряда an стремится к нулю
		n 1
при	n , т.е.:
					lim		an		0 .
					n
Таким образом,

	если	lim	an		0	, то ряд			an		расходится;
	n								n 1
									n 1

	если же	lim		an		0	, то ряд			an	может быть как сходящимся,
		n								n 1
										n 1
		так и расходящимся.
2.	Теорема (Первый признак сравнения)

	Пусть	an		и	bn			—	ряды с положительными членами,
		n 1			n 1

причем
an	bn	для всех номеров n , начиная с некоторого
		номера n p .
Тогда:

1) если ряд	bn	сходится, то сходится и ряд an ;
	n 1	n 1

2) если ряд	an	расходится, то расходится и ряд bn .
	n 1	n 1

Иначе говоря,

из сходимости ряда с бóльшими членами следует сходимость ряда с мéньшими членами;

из расходимости ряда с мéньшими членами следует расходимость ряда с бóльшими членами.

294

3. Теорема		(Второй признак					сравнения (признак	сравнения в
предельной форме))

Пусть	an и		bn		— ряды с положительными членами, причем
	n 1		n 1
существует конечный и отличный от нуля предел
			lim	an			k 0 .
			lim				k 0 .
			n bn

Тогда	оба	ряда	an			и	bn одновременно	сходятся или
			n 1				n 1

одновременно расходятся (другими словами, имеют одинаковый характер сходимости).

4. Теорема (Признак Даламбера)


Пусть	an —	ряд с положительными членами, и существует
	n 1
конечный предел
	lim		a n 1	q .
	lim		a n	q .
	n		a n

Тогда:

1)если q 1 , то данный ряд сходится;

2)если q 1 , то данный ряд расходится;

3)если q 1 , то ряд может сходиться или расходиться; в этом

случае требуется дополнительное исследование ряда с помощью других методов.

Замечание 1

Если	lim	a n 1	1		, но,	начиная с некоторого номера n N ,
Если	lim	a n	1		, но,	начиная с некоторого номера n N ,
	n	a n

имеет место неравенство				an 1	1	, то ряд an расходится.
имеет место неравенство				an	1	, то ряд an расходится.
				an		n 1

Замечание 2

		a n 1
Ряд an	будет расходящимся и в том случае, если lim		.

n 1	n
		a n

295

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015105.47 Кб596Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб278Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб62Химия Методичка, 2008.pdf
#
01.03.2025872.45 Кб4Хозяйственное право (Лекции).doc
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб16Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
01.04.2025297.47 Кб0Часть вторая. Право.doc
#
01.04.2025251.9 Кб0Часть первая. Государство.doc
#
01.04.2025158.72 Кб0Часть четвертая. Применение и толкование права.doc
#
15.12.2018249.34 Кб5Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб65численные методы 6 вариант.docx