Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Калининградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть I.3. Индивидуальная работа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

lim

3 n

ln n

условие

lim

2-го признака сравнения

n bn

выполняется и, следовательно, оба ряда (1) и (3) имеют одинаковый характер сходимости.

Ряд (3) расходится (показано в п. 2 решения).

							1
Значит, расходится и исходный ряд (1)							1	.


					3	n 2	ln 2 n 1
			n	1	3	n 2	ln 2 n 1
			n	1
Итак, получили:
ряд
		1
		1

	3 n 2
	3 n 2		ln 2 n 1
n 1

расходится.

Задача 7. Исследовать на сходимость ряд.

(См.:

п. I. 1. 3. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Условная и абсолютная сходимость).

					2 n 1
7.1	1 n 1				2 n 1			.
7.1	1 n 1				n n 1			.
	n 1				n n 1
	n 1
		1 n 1
7.3		1 n 1			.
	n 2	ln n 1
	n 2
					2 n2
7.5		1 n			2 n2			.
7.5		1 n	n	4	n	2	1	.
	n 1		n		n		1
	n 1

										n
			1 n 1				n
7.2			1 n 1			2 n					.
	n	1				2 n			1
	n	1
				1 n
7.4				1 n					.
7.4				n ln n ln ln n					.
	n 3
				1 n
7.6				1 n				.
7.6				n 1 ln	n			.
	n	3		n 1 ln	n
	n	3

256

						1 n
7.7						1 n							.
7.7			n ln n								1		.
	n 3		n ln n								1
	n 3
					1 n
					1 n
7.9											sin				.
7.9											sin				.
	n 1				3 n 1							2		n
	n 1
								n
7.11				sin				n		.
7.11										.
	n	1					n !
	n	1
											1
	1								n		1
7.13										tg		.
7.13										tg		.
	n 1										n
	n 1
							1 n 1
7.15							1 n 1						.
7.15				2			2 n			n	1		.
	n	1		2						n	1
	n	1
							1 n				1
7.17							1 n				1			.
7.17				3					n	n 1				.
	n	1		3


				3

7.19

n 1

7.21

n 1

7.23

n 1

7.25

n 1

1 n

n 3 !

2 n

1 n

sin n

1 n

5 n 1

sin

							1 n
7.8							1 n												.
						4
			n			4		2		n 3
	n 1		n					2		n 3
	n 1
														3 n					1			n
						1 n								3 n					1
7.10						1 n										n								.
	n	1														n
	n	1
							1 n
7.12							1 n												.
7.12					n		ln 2 n												.
	n	3			n		ln 2 n
	n	3
				cos n
7.14														.
7.14					n			2						.
	n	1			n
	n	1
											1 n
7.16											1 n													.
7.16				3																				.
				3
	n	1				3 n cos
	n	1				3 n cos
																3 n
													2 n 1
7.18	1 n												2 n 1								.
7.18	1 n																				.
	n	1												3 n
	n	1
															1
7.20	1 n												n		1			.
7.20	1 n																	.
	n	1													n3
	n	1
											1 n
7.22											1 n													.
7.22				2			2 n 1						2			n 1								.
	n	0		2									2			n 1
	n	0
												1 n
7.24												1 n												.
7.24																			2					.
		1 n																	2
	n									cos
	n									cos
																	n 4
																n
	1								n			sin				n
7.26																							.
7.26																							.
	n	1																		2 n
	n	1

257

					sin 3 n
		1	n		sin 3 n						1	n		1
7.27							.		7.28				ln 1			.
7.27					3	n	.		7.28				ln 1	n	2	.
	n 1				3					n 1				n
	n 1									n 1
					1		1										1
		1	n		1		1				1	n					1
7.29				sin			tg	.	7.30				1 cos					.


	n 1				n		n			n 1							n
	n 1									n 1
					n3
7.31	1 n				n3		.
7.31	1 n						.
	n 1				n 1 !
	n 1

Указание к выполнению (см. также общий алгоритм исследования сходимости знакопеременных рядов на стр. 50)

1. Проверить необходимый признак сходимости ряда:

		lim an 0
		n
(если	lim an 0	, то ряд расходится, так как не выполнено
	n

необходимое условие сходимости ряда).

2.Проверить абсолютную сходимость ряда.

Для этого нужно исследовать сходимость ряда, составленного из абсолютных величин исходного ряда, используя: признаки сравнения,

признак Даламбера, признак Коши (радикальный), интегральный признак сходимости.

Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.

3. Если исходный знакочередующийся ряд вида 1 n an не является

n 1

абсолютно сходящимся, то исследовать его условную сходимость.

Для этого использовать признак Лейбница (теорема 1.10 на стр. 47).

258

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 7 (Исследование сходимости знакопеременных рядов)

на стр. 51).

Исследовать на сходимость ряд

		n2
	1 n	n2		3	.	1
	1 n				.	1
n 1			n5
n 1
Решение
							n2
Имеем знакочередующийся ряд вида 1 n an						, где an	n2	3	.
Имеем знакочередующийся ряд вида 1 n an						, где an			.
	n 1						n5
	n 1
1. Проверим выполнение необходимого условия сходимости ряда:
lim an	0 .
n

Имеем:

lim an

lim

n n

поделим

почленно

		n2
lim
	2
		n
n n

n2 n

выполняется необходимое условие

lim

сходимости ряда

2. Проверим абсолютную сходимость ряда (1).

Для этого исследуем сходимость ряда

	n2
	n2	3	, 2

	n5
n 1	n5
n 1

составленного из абсолютных величин ряда (1).

Воспользуемся вторым признаком сравнения:

259

если
	lim	an	k	0	,
	lim		k	0	,
	n bn

то оба ряда	an		и	bn	одновременно сходятся или
	n 1			n 1

одновременно расходятся (другими словами, имеют одинаковый характер сходимости).

Чтобы

выбрать эталонный

ряд

для

сравнения

рядом

(2),

сначала

оценим общий член

n2 3

ряда (2).

Имеем:

n2 3

воспользуемся

эквивалентностями:

n2 3 ~

, при n ;

n2 n

или

n2 3

при

. 3

n2 n

Выберем в качестве эталонного ряда

гармонический ряд

n 1

Найдем предел отношения общего члена

n2 3

исследуемого

ряда (2) к общему члену

эталонного ряда (4):

заменяем an эквивалентным из (3) :

lim

n2 3

n bn

n n

;

n2 n

260

lim

условие

lim

k 0 2-го

признака

сравнения

выполняется, и, следовательно, оба ряда (2) и (4) имеют одинаковый

характер сходимости.

Ряд

(4)

расходится (так как

ряд Дирихле

n 1

n 1 n2

при

расходится).

n p

n 1

Значит,

расходится

и ряд

(2),

составленный

из абсолютных величин

исходного знакочередующегося ряда (1)

1 n

n 1

Следовательно, ряд (1) не является абсолютно сходящимся.

3. Исследуем условную сходимость ряда (1).

Применим признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Согласно признаку Лейбница,


знакочередующийся	ряд	1 n 1 an сходится,	если
		n 1

выполняются два условия:

а) абсолютные величины членов ряда монотонно убывают, т.е.

a1 a2 a3 an an 1 ;

б) общий член ряда стремится к нулю при n , т.е.

lim an 0 .

261

Для ряда (1)

1 n

n 1



условие

lim

0 (необходимое

условие сходимости ряда)

выполняется (см. п. 1 решения);



проверим, выполняется ли условие an an 1 :

an 1

;

n 1 2

n 1

так как числители у дробей остаются постоянными, а знаменатели растут с увеличением номера, то значения дробей

уменьшаются, а значит, последовательность an монотонно

n 1

убывает, т.е. выполняется условие an an 1 признака Лейбница.

Таким образом,

для данного знакочередующегося ряда (1) выполнены оба условия

признака Лейбница, и, следовательно, этот ряд сходится.

Но, как было показано выше (п. 2 решения), данный ряд не является абсолютно сходящимся, поэтому он сходится условно.

Итак, окончательно получили:

знакочередующийся ряд

		n2
	1 n	n2	3

		n5
n 1		n5
n 1

сходится условно.

262

Задача 8. Найти область сходимости ряда.

(См.:

п. I. 1. 5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда, интервал (круг) сходимости и радиус сходимости).

n 2 3

1 n

8.1

x 3 2 n .

8.2

x 3 n

n 1

2 n 3

n 1

n 1 5

x 1 2 n

1 n

n 1

8.3

8.4

x 7 n

n 1

n 9 n

n 1

n 3 2 2 n 1

1 n 1

x 5 2 n 1 .

8.5

x 2 2 n .

8.6

n 1

2 n

n 1

3 n 8

1 n

x 6 n

8.7

x 6 n .

8.8

n 3 ln n 3

n 1

n 2 3

x 5 2 n 1

x 7 2 n 1

8.9

8.10

2 n2

5 n 4 n

2 n 1 4 n

n 1

x 2 n

3 n

8.11

8.12

x 2 3 n

3 n 1 2

5 n

n 1

x 5 n

x 2 n .

8.13

8.14

n 1

1 n

n 1

8.15

x 6 n .

8.16

x 4 2 n

3 n

n 1

1 3

n 1

x 6 n

8.17

8.18

x 5 2 n 1

n 1 !

n 1

n 3 2

n 1

263

8.19

n 1

8.21

n 1

8.23

n 1

8.25

n 1

8.27

n 1

8.29

n 1

8.31

n 1

3 n 2		x 3 n

n 1 2	2 n

1 n n x 4 n

4 n 1 3

1 n				x 3 n
3 n 1 2 n				x 3 n
n3		x 4 2 n			1
					1

n 3 !
n			x 4 3 n

4 n 1 3
4 n 1 3
x 2 n				.
2 n 1 3 n				.
2 n 1 3 n
n 1 5
	x 2 n			.
	x 2 n			.
2 n 1

		x	5 n
8.20		x	5 n				.
8.20		n 4	ln n			4	.
	n 1	n 4	ln n			4
	n 1
		n2
8.22		n2		x 1 2 n 1 .
8.22				x 1 2 n 1 .
	n 1	n 2 !
	n 1
		2 n
8.24		2 n			x 1 3 n .

		3 n		3
	n 1	3 n	1

8.26

n 1

8.28

n 1

1 n		x 2 n .
4 n 1	2 n

	1 n		x 1 n .
	n 2 ln n 2		x 1 n .
	n 2 ln n 2

		n2
8.30		n2	2 x 3 n .
8.30		n4	2 x 3 n .
n	1	n4	1

Указание к выполнению

(См. также: способы отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда на стр. 96 – 99)

1. Для степенного ряда вида

cn x x0 n

вслучае, когда все коэффициенты ряда cn 0 (т.е. ряд содержит все

целые положительные			степени выражения	x x0 ), интервал
сходимости определяется неравенством
	x x0	R	R x x0 R ,	1

264

где радиус сходимости

R определяется по формуле Даламбера (2)

или по формуле Коши (3):

R lim

c n

;

lim

3 .

c n 1

n n

с n

2.Если же степенной ряд содержит не все целые положительные степени выражения x x0 (например, степенной ряд содержит члены только с

четными или только с нечетными степенями выражения x x0 ),

то в этом случае степенной ряд рассматривается как функциональный

ряд общего вида

fn x ,

n 1

интервал сходимости которого определяется с помощью признака Даламбера (4) или признака Коши (5) (применяемых к

ряду

fn x

n 1

f n 1 x

4 ;

lim

5 .

f n x

признак

Коши

признак Даламбера

3.Исследовать сходимость степенного ряда в граничных точках интервала сходимости.

Пример выполнения задания.

(См. также:

пример I.1. - 11 (Определение области сходимости степенного ряда)

на стр. 101).

Найти область сходимости ряда

		x 5 2 n
		x 5 2 n	.
		4n

n	1

265

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015105.47 Кб596Формы и виды кредита(реферат).doc
#
03.05.20153.95 Mб278Франк С.Л. - Введение в философию. - 1993.pdf
#
03.05.2015547.15 Кб62Химия Методичка, 2008.pdf
#
01.03.2025872.45 Кб4Хозяйственное право (Лекции).doc
#
15.12.201857.34 Кб2Ценообр. Форум.doc
#
03.05.20151.44 Mб16Часть I.3. Индивидуальная работа.pdf
#
01.04.2025297.47 Кб0Часть вторая. Право.doc
#
01.04.2025251.9 Кб0Часть первая. Государство.doc
#
01.04.2025158.72 Кб0Часть четвертая. Применение и толкование права.doc
#
15.12.2018249.34 Кб5Четверикова-Философия-МУ по вып. контр.-2010.doc
#
03.05.2015531.61 Кб65численные методы 6 вариант.docx