29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

т.е., как уже отмечалось, с увеличением числа начислений процентов за год по сложной процентной ставке величина наращенной суммы возрастает. В противоположность этому с увеличением числа начислений процентов за год по сложной учетной ставке величина наращенной суммы убывает. Видно, что, чем больше число наращений в течение года, тем меньше разница между итоговыми суммами, полученными декурсивным и антисипативным способами начисления процентов. Это и объяснимо, поскольку, чем меньше период начисления, тем меньше отличие между понятиями предварительный и последующий. Так, если т = 365 (каждый день идет начисление сложных процентов), то применение номинальной учетной ставки 24% годовых дает 298,928 тыс. руб., а такой же величины процентной ставки - 298,693 тыс. руб., и разница между этими суммами равна уже 235 руб., в то время как, например, при т = 4 соответствующая разница составляет 21 592 руб.

Пример 2.2.12. Вклад в размере 20 тыс. руб. помещен в банк сроком на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке: в первые два года - 16%, в последующие два года - 19% и в оставшийся год - 23%. Найдите наращенную сумму. При использовании какой постоянной сложной учетной ставки можно получить такую же наращенную сумму?

Решение. Наращенную сумму за первые два года определя-

(1-0,1 б)2

руб. Наращенную сумму за следующие два года определяем

191

Годовую (постоянную) учетную ставку d , обеспечивающую такой же результат, как и плавающая ставка, можно найти из

равенства (1-d)5 =(1-0Д6)2(1-0Д9)2(1-0ДЗ), разрешая его относительно d :

ОД 6)2(1 - ОД9)2 (1 - ОДЗ) = ОД 864, или 18,64%.

Пример 2.2.13. Банк выдал кредит сроком на 1 месяц под 3% за месяц, удержав проценты при выдаче кредита. Определите доходность такой финансовой сделки для банка в виде годовой эффективной процентной ставки и поясните, как такого рода сделку можно соотнести с начислением сложных процентов по учетной ставке.

Решение. Обозначим через F величину кредита, тогда заемщику выдается сумма F-0.03F = 0,97F\ Теперь можно воспользоваться формулой (64), где Р = 0,97F, Fn = F и п = 1/12:

Записывая формулу для вычисления г^ в виде:

делаем вывод, что начисление процентов один раз за год по процентной ставке 44,12% обеспечивает такой же результат, как и начисление ежемесячно процентов по годовой номинальной

учетной ставке </(12) = 3% • 12 = 36%.

Таким образом, выдача банком кредита с одновременным удержанием начисленных процентов по существу означает, что на вьщанную сумму будут начисляться сложные проценты по учетной ставке.

Пример 2.2.14. Согласно финансовому соглашению банк начисляет по полугодиям проценты на вклады по сложной учетной ставке 28% годовых. Определите в виде простой годовой процентной ставки стоимость привлеченных средств для банка при их размещении: а) на 3 месяца; б) на год.

192

Решение, а) Стоимость привлеченных средств найдем по формуле (23), где через Р обозначена использованная сумма средств; через F-P - проценты, выплаченные за использование суммы Р в течение времени п, a F определяется с помощью формулы (77), где п = 0,25, т = 2, d m = 0,28 . Итак,

00783/* г = р ^ = 0,3132, или 31,32% годовых.

Естественно, можно было и сразу применить формулу (85):

стой ставки г и сложной учетной ставки dSm^:

и*г-20,25 -1

г — — — — = 03132. 0,25

б) Полагая п = 1, воспользуемся сразу формулой (85) эквивалентности простой процентной и сложной учетной ставок:

Заметим, что если найти простую учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке г = 35,21%, то она в точности будет равна годовой эффективной учетной ставке, соответствующей номинальной учетной ставке d® = 28%. Действительно, по формуле (26):

1+0,3521

а по формуле (74) получаем то же значение:

<V =0,2604.

Пример 2.2.15. Вексель учитывается в банке за 3 года до его погашения по сложной учетной ставке 26% годовых. Найдите доходность такой финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки, если банк удерживает комиссионные в размере 2% от суммы, выплачиваемой за вексель. Как изменится такого рода доходность при учете за 2 года и за 6 лет до срока погашения?

Решение. Пусть за 3 года до срока погашения предъявлен вексель на некоторую сумму F3. Так как сумма, выплачиваемая

за вексель, составит: F3(l-0,26)3 = 0,4052F3, то величину удерживаемых комиссионных определяем, взяв 2% от этой суммы: О,4052F3 0,02 = 0,0081/^. Следовательно, векселедержатель получит сумму: P = 0,4052F3 - 0,0081F3 = 0,3971F3. Теперь по формуле (7S) можно определить доходность финансовой операции для банка в виде эффективной учетной ставки:

т.е. def «26,50%, что больше объявленных банком 26% годовых.

Таким образом, удержание комиссионных увеличивает доходность финансовой операции для банка.

При предъявлении векселя за 2 года до срока сумма, выплачиваемая за вексель, составит F2(l-0Д6)2 -0,5476F2, и поэтому после удержания комиссионных векселедержатель получит сумму:

Р = 0,5476F2 - 0,5476F2 - 0,02 « 0,5366F2, и, следовательно, доходность для банка составит:

т.е. больше, чем при учете за 3 года.

Аналогичным образом при учете за 6 лет получим:

Р = F6(1 - 0Д6)6 - F6(1 - 0,26)6 • 0,02 - ОД 609F6,

194

напоминает формулу (75) определения эффективной годовой учетной ставки). В данном случае срок службы станка составляет п = 8 лет, Р = 320 тыс. руб., Рп « /fc = 50 тыс. руб., поэтому:

0,2071, или 20,71%.

Далее последовательно находим амортизационные отчисления за год и стоимость станка на конец этого года:

а) в конце первого года:

Pd =s 320 • 0,2071 = 66,272 тыс. руб., />-/></ = 320-66Д72 а 253,728 тыс.руб.;

б) в конце второго года:

Р{ 1 - d)d « 253,728. 0,2071 = 52,547 тыс. руб., P(\-d)2 -253,728-52,547201Д81 тыс.руб.

Продолжая аналогичным образом, получим таблицу:

Небольшое отличие остаточной стоимости от 50 тыс. руб. (получили 49,992 тыс. руб.) связано с погрешностью приближенных вычислений.

196

Задачи

2.2.1.Вексель на сумму 100 тыс. руб. учитывается за 4 года до срока погашения. Составьте схему учета векселя по годам, если при этом используется сложная учетная ставка 20% годовых. Какую сумму получит предъявитель векселя?

2.2.2.Долговое обязательство на выплату 12 тыс. руб. со сроком погашения через 5 лет учтено за 3 года до срока с дисконтом по сложной учетной ставке 14% годовых. Найдите величину дисконта. Как изменится величина дисконта, если долговое обязательство учтено сразу после его выдачи?

2.2.3.Сделайте сравнительный анализ графиков, отражающих дисконтирование по простой и по сложной учетным ставкам.

2.2.4.Определите дисконтированную сумму при учете 1 тыс. руб. по простой и сложной учетным ставкам, если годовая учет-

ная ставка равна 18% и учет происходит за 30 дней, 210 дней, 1 год, 3 года, 5 лет, 20 лет. Полагать год равным 360 дней. Обсудите полученные результаты. JO

2.2.5.Вексель на сумму 50 тыс. руб. со сроком погашения через 3 года учтен за 26 месяцев по сложной учетной ставке 20% годовых. Определите суммы, которые получит предъявитель векселя при различных способах учета векселя (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).

2.2.6.В банк 10 июня предъявлен для учета вексель на сумму 15 тыс. руб. со сроком погашения 10 сентября того же года. Банк

учитывает вексель по сложной учетной ставке 20% годовых, считая год равным 360 дням и проводя приблизительный подсчет дней. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. Как изменятся результаты, если срок погашения векселя - 10 сентября следующего года?

2.2.7. За 3 года 9 месяцев до срока погашения в банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. руб. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 24% годовых при осуществлении дисконтирования раз в год и выплатил предъявителю векселя 28,797 тыс. руб. Какую из двух схем дисконтирования (только по сложной учетной ставке или смешанную) использовал банк?

197

2.2.8.Вексель на сумму 30 тыс. руб. учтен за 15 месяцев до срока погашения по номинальной учетной ставке 16% годовых, причем производилось поквартальное дисконтирование. Составьте схему учета по кварталам. Какую сумму получит векселедержатель?

2.2.9.Долговое обязательство на выплату 200 тыс. руб. со сроком погашения через 6 лет учтено за три года до срока. Определите полученную сумму, если производилось: а) полугодовое; б) поквартальное; в) помесячное дисконтирование по номинальной учетной ставке 18% годовых.

2.2.10.Определите современное значение суммы в 30 тыс. руб., если она будет выплачена через 4 года 9 месяцев и дисконтирование производится по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 20%.

2.2.11.Определите, какую сумму получит владелец векселя на 40 тыс. руб. со сроком погашения через 2$ месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке 24% годовых при осуществлении операции дисконтирования 4 раза в год. Сравните два способа дисконтирования (при применении только сложной учетной ставки и при применении смешанной схемы).

2.2.12.За долговое обязательство 50 тыс. руб. банком было выплачено 40 тыс. руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась: а) годовая сложная учетная ставка 22%; б) годовая простая учетная ставка 22%? Полагать в году 360 дней.

2.2.13.Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

2.2.14.За учтенный вексель была выплачена половина от написанной на вексслс суммы. За какое время до срока погашения был учтен вексель при дисконтировании по простой и по сложной учетным ставкам, если годовая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 25%; г) 50%; д) 80%?

2.2.15.Вы имеете вексель на сумму 15 тыс. руб. и хотели бщ при его учете по сложной учетной ставке за 2 года до срока погашения получить две трети этой суммы. Какая должна быть годовая номинальная учетная ставка при дисконтировании поквартально? Как изменится ответ, если дисконтирование осуществляется раз в год?

198

2.2.16. Долговое обязательство было учтено по номинальной учетной ставке 32% годовых, причем проводилось полугодовое дисконтирование. За какое время до срока погашения было учтено обязательство, если его дисконтированная сумма составила треть от суммы, которую нужно выплатить по этому обязательству?

2.2.17.3а какое время до срока погашения был учтен вексель на сумму 50 тыс.' руб., если предъявитель векселя получил 30 тыс. руб. и дисконтирование по номинальной учетной ставке 24% годовых производилось: а) поквартально; б) помесячно?

2.2.18. Долговое обязательство было учтено за 2 года до срока погашения, при этом его владелец получил половину от написанной в нем суммы. По какой годовой номинальной учетной ставке было учтено это обязательство, если производилось: а) полугодовое дисконтирование; б) поквартальное дисконтирование?

2.2.12Какие условия учета при дисконтировании по сложной учетной ставке более выгодны банку: а) 32% годовых, полугодовое дисконтирование; б) 33% годовых, поквартальное дисконтирование?

2.2.20.Вы имеете возможность учесть вексель либо по сложной учетной ставке 28% годовых с поквартальным дисконтированием, либо по сложной учетной ставке 29% годовых с помесячным дисконтированием. Какой вариант предпочтительнее?

2.2.21.Рассчитайте эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта и номинальной учетной ставке, равной 24% годовых. Сравните между собой полученные результаты.

2.2.22.Долговое обязательство, равное 15 тыс. руб., со сроком погашения через 3 года было сразу же учтено в банке, и владелец обязательства получил 10 тыс. руб. Найдите эффективную годовую учетную ставку в этой сделке.

2.2.23.Долговое обязательство на сумму 16 тыс. руб. было учтено за 170 дней до срока погашения, и владелец обязательства получил 14 тыс. руб. Определите доходность этой операции в виде эффективной учетной ставки на базе: а) 360 дней; б) 365 дней.

2.2.24.Определите номинальную учетную ставку, если эффективная годовая учетная ставка равна 22% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется: а) поквартально; б) помесячно.

199

2.2.25.На какую сумму должен быть выписан вексель, чтобы при его учете за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 28% годовых можно было получить 18 тыс. руб., если дисконтирование производится: а) по полугодиям; б) помесячно? Чему равен дисконт?

2.2.26.За 4 года до срока погашения учтено долговое обязательство, и его владелец получил 5 тыс. руб. Определите сумму, написанную в долговом обязательстве, если учет осуществлялся по сложной учетной ставке и дисконтирование производилось:

а) по полугодиям по учетной ставке 40% годовых; б) помесячно по учетной ставке 30% годовых.

2.2.27.Какая сумма должна быть написана на векселе, чтобы при его учете по сложной учетной ставке 30% годовых было получено 20 тыс. руб., если учет осуществляется: а) за 5 лет до срока погашения при дисконтировании раз в год; б) за 3 года до срока погашения при поквартальном дисконтировании?

2.2.28.В банке за 3 года 8 месяцев до срока погашения был учтен вексель по сложной учетной ставке 35% годовых, и векселедержатель получил сумму в размере 8,422 тыс. руб. Определите, какую сумму получил бы в этом банке владелец векселя при его учете за 2 года 5 месяцев до срока погашения, если банк использует при дисконтировании смешанную схему.

2.2.29.Определите, время, за которое происходит удвоение первоначальной суммы при начислении простых и сложных процентов, если используемая учетная ставка равна: а) 5%; б) 10%; в) 15%; г) 25%; д) 50%; е) 75%.

2.2.30.По условиям финансового контракта на депозит 30 тыс. руб., положенный в банк на 4 года, начисляются проценты по сложной учетной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму, если начисление процентов производится: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Сравните полученные величины

срезультатами наращения сложными процентами по процентной ставке 12% годовых.

2.2.31.Что выгоднее: получить 23,5 тыс. руб. через 5 лет или 30,5 тыс. руб. через 6 лет, если можно поместить деныи в банк под сложную учетную ставку 32% годовых? Оцените ситуацию

спозиции будущего и с позиции настоящего.

2.2.32.Сроком на 6 лет выпущена облигация номиналом 1000 руб., причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке:

200