Задача Коши

Задача Коши, ,- начальные данные:

Решением задачи Коши является функция, определённая на интервале <a,b>, включающем , являющаяся решением уравнения (1) и удовлетворяющая начальному условию (2).

Определение. Решением интегрального уравнения:

является функция , которая определена на <a,b>и

1. (непрерывна)

2. <a,b>

3. подстановка превращает уравнение (3) в тождество.

Лемма. Функция является решением задачи Коши тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения.

Доказательство. Пусть - решение задачи Кошии

Проинтегрируем тождество от до:

Теперь пусть - решение интегрального уравнения, покажем, что она есть решение дифф. уравнения и удовлетворяет начальному условию. Для этого вначале подставим в (3):

Продифференцируем (3) и получим (1)

Определение. , заданная на , удовлетворяет условию Липшица, если

Заметим, что если функция удовлетворяет условию Липшица, то она является равномерно непрерывной на (для док-ва замечания надо взять)

Определение. Последовательность функций является равномерно ограниченной если

Определение. Последовательность функций называется равнестепенно непрерывной, если

Единственность решения задачи Коши

Определение. Функция f удовлетворяет локальному в области G условию Липшица по переменной y, если окрестностьи постоянная

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Липшица, тогда решение задачи Коши единственное

Доказательство. От противного. Пусть существует два решения , определённые наи. В точкерешенияпо условию задачи Коши, но. Пусть.

Рассмотрим точку всех точек, таких что.

Множество точек непустое и ограниченное.

Поскольку непрерывны, супремум - максимум, значити{}

на (1)

на (2)

В силу условия теоремы удовлетворяет локальному условию Липшицанекоторая окрестностьверно как только

Вычтем (1) из (2): наПроинтегрируем неравенство на:

Заменим отрезок на меньший

. Выберем , чтобыоказалось. Получаем что, чего быть не может.

Определение. Функция удовлетворяет локальному в области G условию Осгуда по переменной, еслидиаметраи функциятакие что

Теорема. Если функция f удовлетворяет локальному условию Осгуда, тогда решение задачи Коши единственно.

Доказательство. Пусть у задачи Коши 2 решения: Повторяя доказательство предыдущего утверждения, приходим к тому, что функциияудовлетворяет на отрезкетождествуна.

Поделим обе части неравенства на :всюду на

на . Проинтегрируем на:

. Устремим ., второй интеграл- противоречие.

Метод Эйлера

Метод Эйлера— наиболее простойчисленный методрешения (систем)обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описанЛеонардом Эйлеромв 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимацииинтегральной кривойкусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

[править] Описание метода

Пусть дана задача Кошидля уравнения первого порядка

где функция определена на некоторой области. Решение разыскивается на интервале. На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим черезопределяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

[] Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна ви непрерывнодифференцируемапо переменнойв, то имеет место следующая оценка погрешности

где — средний шаг, то есть существуеттакая, что.

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

[] Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Кошииспользовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задачвариационного исчисленияи ряда других математических проблем.

[] Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты(предиктор-корректор).

Метод Рунге — Кутты

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты(распространено неправильное названиеМе́тоды Ру́нге — Ку́ттаили дажеМе́тоды Ру́нге — Кутта́) — важное семействочисленных алгоритмоврешенияобыкновенных дифференциальных уравненийи их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математикамиК. РунгеиМ. В. Куттой.

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple,MathCAD,Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков^[1][2]. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями^[3]. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков^[3].