[] Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка
Метод Рунге — Кутты 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.
Рассмотрим задачу Коши
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где
—
величина шага сетки по
Этот
метод имеет четвёртый порядок точности,
то есть суммарная ошибка на конечном
интервале интегрирования имеет порядок
(ошибка
на каждом шаге порядка
).
[] Прямые методы Рунге — Кутты
Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задаётся формулами
где
—
величина шага сетки по
и
вычисление нового значения проходит в
этапов:
Конкретный
метод определяется числом
и
коэффициентами
и
.
Эти коэффициенты часто упорядочивают
в таблицу (называемую таблицей Бутчера)
Для
коэффициентов метода Рунге — Кутты
должны быть выполнены условия
для
.
Если требуется, чтобы метод имел порядок
,
то следует так же обеспечить условие
где
—
приближение, полученное по методу
Рунге — Кутты. После многократного
дифференцирования это условие
преобразуется в систему полиномиальных
уравнений на коэффициенты метода.
Листинг программы в приложении
Результат работы программы
С шагом 0,2:
Vvedite znachenija koncov otrezka [a,b]
1 2
vveditenachalnoe znachenie funkcii y0 pri x=x0
0
Vvedite chislo znacheniy funkcii na promegutke (a,b]
5
Metod Eilera Metoda E-koshi Metod Runge-Koshi
x= 1.00 y1= 0.000000 y2= 0.000000 y3= 0.000000
x= 1.20 y1= 0.200000 y2= 0.216667 y3= 0.218779
x= 1.40 y1= 0.433333 y2= 0.467063 y3= 0.471049
x= 1.60 y1= 0.695238 y2= 0.746287 y3= 0.751990
x= 1.80 y1= 0.982143 y2= 1.050684 y3= 1.057997
x= 2.00 y1= 1.291270 y2= 1.377426 y3= 1.386272
Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu
С шагом 0,1:
Vvedite znachenija koncov otrezka [a,b]
1 2
vveditenachalnoe znachenie funkcii y0 pri x=x0
0
Vvedite chislo znacheniy funkcii na promegutke (a,b]
10
Metod Eilera Metoda E-koshi Metod Runge-Koshi
x= 1.00 y1= 0.000000 y2= 0.000000 y3= 0.000000
x= 1.10 y1= 0.100000 y2= 0.104545 y3= 0.104841
x= 1.20 y1= 0.209091 y2= 0.218216 y3= 0.218785
x= 1.30 y1= 0.326515 y2= 0.340247 y3= 0.341073
x= 1.40 y1= 0.451632 y2= 0.469991 y3= 0.471060
x= 1.50 y1= 0.583891 y2= 0.606896 y3= 0.608197
x= 1.60 y1= 0.722817 y2= 0.750480 y3= 0.752005
x= 1.70 y1= 0.867993 y2= 0.900326 y3= 0.902067
x= 1.80 y1= 1.019052 y2= 1.056065 y3= 1.058015
x= 1.90 y1= 1.175666 y2= 1.217366 y3= 1.219521
x= 2.00 y1= 1.337543 y2= 1.383938 y3= 1.386293
Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu
|
I |
X |
Значения, найденные методом |
Точное значение | |||
|
|
|
Эйлера |
Эйлера-Коши |
Рунге-Кутта |
F(x)=ln x | |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
1 |
1.2 |
0.200000 |
0.181860 |
0.182321 |
0,182321 | |
|
2 |
1.4 |
0.363720 |
0.335794 |
0.336472 |
0,336472 | |
|
3 |
1.6 |
0.502685 |
0.469224 |
0.470003 |
0,470003 | |
|
4 |
1.8 |
0.623600 |
0.586966 |
0.587786 |
0,587786 | |
|
5 |
2 |
0.730732 |
0.692316 |
0.693147 |
0,693147 | |
Погрешность по методу Рунге <0.000001
|
I |
X |
Значения, найденные методом |
Точное значение | |||
|
|
|
Эйлера |
Эйлера-Коши |
Рунге-Кутта |
F(x)=ln x | |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 | |
|
1 |
1.1 |
0.100000 |
0.095241 |
0.095310 |
0,095310 | |
|
2 |
1.2 |
0.190483 |
0.182206 |
0.182322 |
0,182321 | |
|
3 |
1.3 |
0.273136 |
0.262216 |
0.262364 |
0,262364 | |
|
4 |
1.4 |
0.349230 |
0.336302 |
0.336472 |
0,336472 | |
|
5 |
1.5 |
0.419748 |
0.405280 |
0.405465 |
0,405465 | |
|
6 |
1.6 |
0.485462 |
0.469808 |
0.470004 |
0,470003 | |
|
7 |
1.7 |
0.546996 |
0.530427 |
0.530628 |
0,530628 | |
|
8 |
1.8 |
0.604857 |
0.587581 |
0.587787 |
0,587786 | |
|
9 |
1.9 |
0.659464 |
0.641646 |
0.641854 |
0,641853 | |
|
10 |
2 |
0.711169 |
0.692939 |
0.693147 |
0,693147 | |
Погрешность по методу Рунге <0.000002
Приложение
Листинг программы к заданию 1
program GausMethod;
uses Crt;
label
finish;
const
l=9;
type
matriceA=array[1..l,1..l+1] of real;
vectorX=array[1..l] of real;
var
i,j,k,m,n: integer;
aa,bb,S: real;
a:matriceA;
x:vectorX;
ch:char;
{Podprorammy}
procedure PAUSA;
begin
writeln;
writeln('Dlja prodolgenija nagmite lubuju klavishu');
repeat
ch:=readkey
until (ch<>'');
end;
procedure OutputOfMatrice;
begin
ClrScr;
for i := 1 to n do
begin
for j := 1 to n+1 do
write (a[i,j]:16:7);
writeln;
end;
pausa;
end;
{Main Program}
begin
ClrScr;
writeln ('Vvedite chislo uravneniy n');
read(n);
writeln ('Vvedite rasshirennuju matricu');
writeln ('po odnomu elementu po strokam');
for i := 1 to n do
begin
for j := 1 to n+1 do
read(a[i,j]);
writeln;
end;
OutputOfMatrice;
for k := 1 to n do
begin
{Poisk maksimalnogo elementa v k-toy stroke}
aa:=abs(a[k,k]);
i:=k;
for m := k+1 to n do
begin
if abs(a[m,k])>aa then
begin
i:=m;
aa:=abs(a[m,k]);
end;
end;
if aa<0.000001 then
begin
writeln;
writeln('Sistema ne imeet edinstvennogo reshenija');
pausa;
goto finish;
end;
{Perestanovka i-toy stroki,
sodergachey glavniy element s k-toy
strokoy}
if i<>k then
begin
for j := k to n+1 do
begin
bb:=a[k,j];
a[k,j]:=a[i,j];
a[i,j]:=bb;
end;
end;
{Preobrazovanie k-toy stroki}
aa:=a[k,k];
a[k,k]:=1;
for j := k+1 to n+1 do
a[k,j]:=a[k,j]/aa;
{Preobrazovanie s pomochju k-toj stroki ostalnih strok }
for i := k+1 to n do
begin
bb:=a[i,k];
a[i,k]:=0;
if bb<>0 then
begin
for j := k+1 to n+1 do
a[i,j]:= a[i,j]-bb*a[k,j];
end;
end;
end;
OutputOfMatrice;
{koec prjamogo hoda v metode Gaussa}
for i := n downto 1 do
begin
s:=a[i,n+1];
for j := n downto i+1 do
s:=s-a[i,j]*x[j];
x[i]:=s;
end;
ClrScr;
for i := 1 to n do
writeln('x',i,'=',x[i]);
pausa;
finish:;
end.
Листинг программы к заданию 2,1
program metodPolovinngoDelenija;
uses crt;
label
finish;
var
a, b,d,e,x1,fa,f1:real;
ch:char;
{procedures/functions}
function f(x:real):real;
begin
f:=x*x*x-2*x*x-4*x+5;
end;
procedure OutputOfResult;
begin
clrscr;
writeln('x=',x1);
writeln('Pogreshnost rezultat =',d);
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch<>'';
end;
{Main program}
begin
clrscr;
writeln('Vvedite po porjadku 3 chisla');
writeln('koordinaty koncov otrezka a,b, tochost epsilon');
readln(a,b,e);
if f(a)*f(b)>0
then
goto finish;
repeat
x1:=(a+b)/2;
f1:=f(x1);
if f1=0 then
begin
d:=0;
OutputOfResult;
goto finish;
end;
fa:=f(a);
if fa*f1<0 then
b:=x1
else
a:=x1;
d:=b-a;
OutputOfResult;
until d<e;
finish:
end.
Листинг программы к заданию 2,2
program ReshenieUravnenijaMetodomIteraciy;
uses crt;
var
d,e,x,x1:real;
ch:char;
{procedures/functions}
function g(x:real):real;
begin
g:=(x*x*x-2*x*x+5)/4;
end;
procedure OutputOfResult;
begin
{clrscr;}
writeln('x=',x1);
writeln('Pogreshnost pribligenija d=',d);
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch<>'';
end;
{Main program}
begin
clrscr;
writeln('Vvedite po porjadku 2 chisla');
writeln(' Nachalnoe znachenie i tochost epsilon/10');
readln(x,e);
repeat
x1:=g(x);
d:=abs(x1-x);
outputOfresult;
x:=x1;
until d<e;
end.
Листинг программы к заданию 3
uses crt;
const
l=15;
type
parameters=array [0..6] of real;
data=array [1..l] of real;
var
i,j,k,m: integer;
d1: real;
a,b,d: parameters;
x,y,x1,y1: data;
ch: char;
{Procedures}
procedure PAUSA;
begin
writeln;
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch <>'';
end;
{Vichislenije parametrov lineinoi funkcii
pri viravnivanii eksperimentalnih dannyh}
procedure CalculOfParameters;
var
k0,b0,a1,b1,a2,b2,f2: real;
begin
a1:=0;
b1:=0;
a2:=0;
b2:=0;
for i:=1 to m do
begin
a1:=a1+x1[i];
b1:=b1+y1[i];
a2:=a2+x1[i]*x1[i];
b2:=b2+x1[i]*y1[i];
end;
d1:=m*a2-a1*a1;
k0:=(m*b2-a1*b1)/d1;
b0:=(b1*a2-a1*b2)/d1;
d1:=0;
f2:=0;
for i:=1 to m do
begin
f2:=f2+y1[i]*y1[i];
d1:=d1+(y1[i]-k0*x1[i]-b0)*(y1[i]-k0*x1[i]-b0);
end;
d[j]:=sqrt(d1/f2);
a[j]:=k0;
b[j]:=b0;
end;
{Main Program}
begin
clrscr;
writeln ('Vvedite chislo eksperimentalnih tochek m>1');
read (m);
writeln ('Vvedite pari nacheniy xi,yi');
for i:=1 to m do
begin
read (x[i],y[i]);
{writeln(x[i],y[i]);}
end;
for j:=0 to 6 do
begin
case j of
0:
for i:=1 to m do
begin
x1[i]:=x[i];
y1[i]:=y[i];
end;
1:
for i:=1 to m do
y1[i]:=x[i]*y[i];
2:
for i:=1 to m do
y1[i]:=1/y[i];
3:
for i:=1 to m do
y1[i]:=x[i]/y[i];
4:
for i:=1 to m do
y1[i]:=ln(y[i]);
5:
for i:=1 to m do
begin
x1[i]:=ln(x[i]);
y1[i]:=y[i];
end;
6:
for i:=1 to m do
y1[i]:=y[i];
end;
CalculOfParameters;
end;
d1:=d[0];
k:=0;
for i:=1 to 6 do
if d[i]<d1 then
begin
d1:=d[i];
k:=i;
end;
write ('empirichskaja formula N',
k:1,' d=',d1:8:5);
writeln (' k=',a[k]:8:5, ' b=', b[k]:8:5);
pausa;
end.
Листинг программы к заданию 4,1
program Integration;
{vich integrala po formule Simpsona}
uses crt;
var
i,n: integer;
a,b,h,s1,s2,s3,x,x1,x2: real;
ch:char;
{procedures}
function f(x:real):real;
begin
f:=ln(x+1);
end;
procedure PAUSA;
begin
writeln;
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch <>'';
end;
{Main program}
begin
clrscr;
writeln('vvedite znachenija koncov otrezka [a,b]');
read (a,b);
writeln ('Vvedite chislo razbieniy otrezka n');
read(n);
h:=(b-a)/n;
x1:=a+h/2;
x2:=a;
s1:=f(x1);
s2:=(f(x2)+f(b))/2;
for i:=1 to n-1 do
begin
x1:=x1+h;
x2:=x2+h;
s1:=s1+f(x1);
s2:=s2+f(x2);
end;
s1:=h*s1;
s2:=h*s2;
s3:=(2*s1+s2)/3;
writeln('s1=',s1:9:6,' s2=',s2:9:6,' s3=',s3:9:6);
pausa;
end.
Листинг программы для задания 4,2
program IntegrationbyGauss;
{vich integrala po metodu Gaussa}
uses crt;
var
i,n: integer;
a,b,c,c1,d,e,f1,f3,h,h1,s,s1,s2,x1,x2,x3: real;
ch:char;
{procedures}
function f(x:real):real;
begin
f:=ln(x+1);
end;
procedure PAUSA;
begin
writeln;
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch <>'';
end;
{Main program}
begin
clrscr;
writeln('vvedite znachenija koncov otrezka [a,b]');
read (a,b);
writeln ('Vvedite tochnost` vichisleniya epsilon');
read(e);
c:=sqrt(3/5);
h1:=(b-a)/2;
c1:=c*h1;
x2:=(a+b)/2;
f1:=f(x2-c1);
f3:=f(x2+c1);
s1:=h1*(5*f1+8*f(x2)+5*f3)/9;
n:=2;
repeat
h:=(b-a)/n;
h1:=h/2;
c1:=c*h1;
x2:=a+h1;
X1:=X2-C1;
x3:=x2+c1;
s2:=0;
for i:=1 to n do
begin
s2:=s2+5*f(x1)+8*f(x2)+5*f(x3);
x1:=x1+h;
x2:=x2+h;
x3:=x3+h;
end;
s2:=s2*h1/9;
d:=abs(s1-s2)/63;
s1:=s2;
n:=2*n;
until d<e;
writeln ('Velichina integrala s=',s2:9:6,
' Pogreshnost` d=',d:9:6);
pausa;
end.
Листинг программы для задания 5
program DifEquationsOfirstOrder;
uses crt;
const
c:array[1..4] of real=(0,0.5,0.5,1);
type
coef=array[0..4] of real;
var
i,j,m: integer;
a,b,h,x,y,y1,y2,y3: real;
k0,k:coef;
ch: char;
{Procedures}
function f(x,y:real):real;
begin
f:=(1-y+ln(x))/x;
end;
procedure PAUSA;
begin
writeln;
writeln ('Dlja prodolgenija nagmite lubuyu klavishu');
repeat ch:=readkey until ch <>'';
end;
{Main program}
begin
clrscr;
writeln('Vvedite znachenija koncov otrezka [a,b]');
read (a,b);
writeln('vveditenachalnoe znachenie funkcii y0 pri x=x0');
read (y);
writeln ('Vvedite chislo znacheniy funkcii na promegutke (a,b]');
read(m);
x:=a;
h:=(b-a)/m;
y1:=y;
y2:=y;
y3:=y;
writeln(' Metod Eilera Metoda E-koshi Metod Runge-Koshi');
writeln ('x=',x:5:2,' y1=',y1:9:6,' y2=',y2:9:6,' y3=',y3:9:6);
for i:=1 to m do
begin
y1:=y1+h*f(x,y1); {Metod Eilera}
for j:=1 to 2 do
k0[j]:=h*f(x+2*c[j]*h,y2+2*c[j]*k0[j-1]);
y2:=y2+(k0[1]+k0[2])/2; {Metod Eilera-Koshi}
for j:=1 to 4 do {Metod runge-Kutta}
k[j]:=h*f(x+c[j]*h,y3+c[j]*k[j-1]);
y3:=y3+(k[1]+2*k[2]+2*k[3]+k[4])/6;
x:=x+h;
writeln ('x=',x:5:2,' y1=',y1:9:6,' y2=',y2:9:6,' y3=',y3:9:6);
end;
pausa
end.