2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ

2.1. Обоснование необходимости моделирования

В настоящее время на лесосплавном флоте все стороны работы будущего судна или движительной установки (натуры) изучают предварительно на небольшой экспериментальной модели. Это позволяет избежать ошибок, влекущих за собой неудачи, излишнюю затрату средств и потери времени. Исследования на действующих судах или сооружениях весьма трудоемки: требуют больших затрат средств и времени и не всегда могут дать ответ на интересующие исследователя вопросы, а зачастую исследования просто невозможны. Уравнения, описывающие тот или иной физический процесс эксплуатации лесосплавного флота, далеко не всегда бывают известны. Во многих случаях существующие дифференциальные уравнения лесосплавных процессов из-за сложности не решены. Для приближенного их решения делаются некоторые допущения, что ведет к неточным результатам, причем степень неточности не всегда можно учесть. Так, например, движение жидкости в лесосплавной реке описывается дифференциальными уравнениями Навье-Стокса и дифференциальными уравнениями сплошности или неразрывности [12]. Кроме того, к этим дифференциальным уравнениям необходимо добавить математическое описание всех частных особенностей, которые называют условиями однозначности, или краевыми условиями. Эти условия состоят:

1)из геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или устройства, в котором протекает явление;

2)физических условий, характеризующих физические свойства среды и тела;

3)граничных условий, характеризующих условия протекания явления на границах тела и устройства;

4)временных условий, характеризующих особенности протекания явлений во времени.

При таких обстоятельствах аналитически возможно решать лишь чрезвычайно упрощенные задачи и поэтому мало соответствующие действительному гидравлическому явлению.

В связи со сказанным часто применяется экспериментальное исследование явления. Однако результаты эксперимента справедливы только для данного частного случая, так как они получены в совершенно конкретных условиях и отражают их влияние. Другие гидравлические явления того же самого класса могут протекать в иных условиях, и это позволит применять к ним результаты производственного эксперимен-

9

та. Так, движение жидкости в лесосплавной реке резко отличается от движения жидкости в море, несмотря на то, что оба вида движения относятся к одному и тому же классу.

Распространить результаты единичного опыта на все явления класса невозможно. Поэтому в пределах класса выделяется некоторая группа явлений, на каждые из которых можно распространить результаты единичного опыта.

Обобщение результатов единичных опытов возможно потому, что каждое единичное явление имеет какие-то общие свойства для всего данного класса свойств, отраженные в общих уравнениях процесса. Выделяя при экспериментальном изучении данного частного явления такие общие свойства, мы получаем возможность увязать частные результаты с общими закономерностями. Для этого надо найти такую форму обработки результатов опыта, которая соответствовала бы основным уравнениям процесса водного транспорта лесоматериалов.

Указанная задача в ее общем виде решается методами теории подобия. Теорию подобия определяют как учение о методах научного обобщения данных единичного опыта. Будучи приложена к моделированию различных процессов и технических устройств, теория подобия позволяет путем предварительного их изучения на моделях избежать многих ошибок и найти правильные технические и теоретические решения. Кроме того, теория подобия является научной основой, указывающей путь к такой постановке опытов, при которой полученные результаты можно распространить на всю область изучаемых явлений.

Так же, как и в других областях техники, гидравлическое моделирование развивается в нескольких направлениях. Первое основано на установлении критериев подобия путем анализа дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый процесс.

Однако исследователь далеко не всегда располагает надлежащим образом обоснованной системой дифференциальных уравнений связи. Тогда используется второе направление анализа условий подобия явлений, опирающиеся на теорию размерности. Теория размерности требует тщательного анализа физической природы явлений и установления факторов, влияющих на процесс, для чего приходится ставить специальные эксперименты.

2.2. Константы подобия

С понятием подобия мы впервые встречались при изучении геометрии. Известно, что в подобных треугольниках соответственные углы

10

равны, а сходственные стороны пропорциональны. Это можно записать так:

где Кl – масштабный коэффициент, или константа подобия.

На подобии треугольников основано определение высоты дерева или ширины реки без их непосредственного измерения.

Два физических явления можно назвать подобными, если величины одного явления могут быть получены из соответствующих величин другого, взятых в сходственных точках по пространству и времени, путем умножения на одинаковые для всех точек множители. Очевид-

но, что масштабные коэффициенты при переходе от образца к любому из подобных явлений или от одного из них к любому другому, будут каждый раз иметь различное значение, но они будут оставаться постоянными во всех сходственных точках данной системы, подобной образцу.

По аналогии с выражением (2.1) можно записать следующие математические выражения подобия величин, характеризующих любой водный поток:

Само собой разумеется, что все эти масштабные коэффициенты подобия могут численно отличаться друг от друга. Если для отношения линейных размеров (2.1) масштабный коэффициент подобия равен Кl ,

то для площади масштабный коэффициент подобия будет Кl2 , а для

объема – Kl3 . Точно такие масштабные коэффициенты многих физиче-

ских величин, участвующих в сложном физическом процессе, связаны между собой определенными соотношениями и не могут приниматься произвольно. Предположим, что нам нужно установить значение масштаба подобия для величин, от которых зависит скорость:

Разделив первое выражение на второе, получим

11

Уравнение (2.5) иллюстрирует основное свойство подобных между собой систем – существование безразмерных величин, которые называются числами или критериями подобия. Для всех подобных между собой потоков числа подобия сохраняют одно и то же числовое значение. Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из величин, которые характеризуют явления. Нулевая размерность чисел подобия является их основным свойством и служит проверкой правильности составления этих чисел.

Критерии подобия обозначают двумя первыми латинскими буквами фамилии предложивших их ученых.

2.3. Основные критерии подобия

Некоторые основные критерии подобия могут быть выведены исходя из второго закона Ньютона. Изложим этот закон, следуя М.В.Кирпичеву [11], при этом будем исходить из предположения о существовании подобия движения двух механических систем. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех действующих на массу М сил F равна по величине массе М, умноженной на ускорение

d V . Запишем этот закон для наших двух систем: d t

Зависимость (1.9) устанавливает связь между константами подобия. В теории подобия величина С называется индикатором подобия. С помощью индикатора подобия (1.9) можно определять масштабы величин при моделировании механических систем. Из зависимости для С можно установить масштаб сил, если заданы масштабы масс, скорости и времени

Теперь заменим константы подобия через входящие в них величины, относящиеся к 1-му и 2-му явлениям:

Из приведенного анализа основные выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1)если явления подобны, то индикаторы подобия равны единице;

2)у подобных явлений критерии равны между собой.

Эти два условия составляют содержание первой теоремы подобия. Применение их позволяет на основании формулы для индикатора рас-

13

считать модель исследуемого явления, а на основании критерия подобия определить неизвестные величины по заданным.

F l

Критерий в форме получил название критерия Ньютона и

M V 2

обозначается через Nе . Он показывает, что в динамически подобных системах соответствующие силы должны относиться друг к другу как произведение из соответствующих масс на квадрат соответствующих скоростей, деленное на соответствующую длину.

Используем полученный критерий подобия для установления требований, налагаемых на подобные системы при действии сил той или иной физической природы.

Положим, что система находится под действием одних сил тяжести.

Критерий Фруда выражает меру отношения сил инерционных и гравитационных. Для подобия явлений при преимущественном влиянии сил тяжести необходимо, чтобы в сходственных точках системы число Fr было одинаковым.

Из этого условия определяется связь между масштабами скоростей и длин:

KV2 Kl .

Теперь рассмотрим системы, находящиеся под воздействием сил внутреннего трения.

Согласно закону Ньютона, сила внутреннего трения в жидкости Fj

где – коэффициент вязкости жидкости;– площадь; п – нормаль по направлению скорости.

Введем константы подобия

14

Рейнольдса, обозначенный через Rе . Он выражает необходимое условие подобия явлений при преимущественном действии вязкостных сил и обозначает, что если во всех сходственных точках такой группы явлений мера отношений инерционных и вязкостных сил одна и та же – idem, то такие явления подобны.

Подобие систем, находящихся под действием сил капиллярного

В случае неустановившегося движения применяется критерий гомохронности:

15

Н0 Vl t idem .

этому неустановившиеся явления могут быть подобны лишь в том случае, если подобные изменения всех переменных в сходственных точках будут происходить в интервалы времени, определяемые требованием

ностных нормальных сил к силам инерционным.

Из перечисленных чисел подобия получается следующее уравнение

и при установившемся режиме движения, когда число гомохронно-

Теория подобия применительно к лесосплавному флоту, процессам гидротехники и лесосплава (прил. 1.2) получила очень широкое распространение 12 . В результате моделирования различных лесосплавных процессов, производимого в соответствии с теорией подобия, получим целый ряд расчетных уравнений, широко применяемых при расчете сопротивления среды движению судов. Расчетные уравнения, получаемые

врезультате моделирования в соответствии с теорией подобия, являются чисто эмпирическими, и их можно применять лишь для тех пределов изменения определяющих чисел подобия, в которых были проведены опыты. Распространение этих уравнений на области, экспериментально не исследованные, недопустимо.

Правильная постановка опыта требует ясного представления о сущности физического явления и влияющих на него величин. Исходя из критериев подобия, соответствующих явлению, можно установить величины, которые необходимо замерять во время эксперимента и комбинировать при обработке результатов. Сама постановка опыта, для того чтобы он был произведен, требует известных соображений о масштабе,

вкаком модель должна быть выполнена.

Для пересчета полученных результатов испытаний на натуру необходимы переводные коэффициенты. Числовые значения этих коэффи-

16

циентов находят исходя из теории подобия. Методику выполнения таких расчетов рассмотрим на примере. Так как подобие явлений сопряжено с изменением масштабов, то в примере множители преобразования K Kl , KV , Kt и т. д. будут называться масштабными множите-

лями, или масштабами.

Пример. Испытанию подлежит модель лесосплавного судна, плавающего в лесосплавной реке. Требуется определить сопротивление воды движению судна и найти масштабные множители для пересчета лабораторных данных в натуру.

Решение. Движение судна по лесосплавной реке происходит под действием сил тяжести и внутреннего трения в жидкости. Составим уравнение движения судна

где m – масса судна, кг;

R – сопротивление среды движению судна, Н; dv/dt – ускорение судна, м/с2.

Полное сопротивление среды движению судна по лесосплавной реке13 определяется как сумма сопротивлений воды и воздуха

R R1 R2 R1 R2 R3 (2.25)

где R1 – сопротивление воды движению судна на глубокой воде, Н; R2 – сопротивление воздуха движению судна, Н;

R1, R2 – сопротивление воды, вызываемое ограничениями габаритов лесосплавного пути на мелководье и в каналах, Н;

R3 – сопротивление воды, вызываемое уклоном лесосплавного пути, Н.

В судовых тяговых расчетах полное сопротивление воды движению судна складывается из сопротивления трения и остаточного сопротивления R=Rт+Rо. Развернутая формула для определения полного сопротивления имеет вид

где Т – коэффициент трения наружной обшивки подводной части корпуса судна;

ш – коэффициент надбавки на общую и местную шероховатость судовой обшивки корпуса;

– плотность воды, кг/м3;

S – смоченная поверхность обшивки корпуса судна, м2; V – скорость движения судна, м/с;

17

Со – коэффициент остаточного сопротивления расчетного судна, отнесенный к водоизмещению;

W – водоизмещение судна, м3.

Динамическое подобие потоков вязкой несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести при обтекании судна и его модели, обеспечивается, если характерные линейные размеры l, скорости V и кинетические коэффициенты вязкости одновременно удовлетворяют двум критериям подобия Фруда и Рейнольдса

Применительно к моделированию сопротивления воды движению судна невозможно создать одновременное подобие сил тяжести (Fr) и вязкости (Re) жидкости. Этому препятствует недостижимое условие: невозможно подобрать особую жидкость для испытания модели судна, резко отличающуюся по вязкости от воды 13 . Например, приняв масштаб геометрического подобия Kl=25, получим соотношение коэффици-

модели и натуры. Следовательно, жидкость для испытания модели судна (при Kl=25) должна иметь вязкость в 125 раз меньше вязкости воды лесосплавной реки, что практически достичь невозможно.

Следует заметить, что остаточное сопротивление воды движению судна в основном определяется силами тяжести (Fr), а сопротивления трения – силами вязкости (Re). При эксплуатационных скоростях движения лесосплавных судов доля этих составляющих примерно равнозначна, поэтому отдать предпочтение по силам, преобладающим в этом случае, почти невозможно.

Моделирование сопротивления воды движению судов проводят видоизмененным методом Фруда, в основу которого положено представ-

18

ление полного сопротивления в виде суммы сопротивлений трения и остаточного (2.26).

Влияние вязкостных и гравитационных составляющих рассматривают раздельно, как независимые друг от друга R=RТ+Rо. Сопротивление трения RТ модели и натуры судна определяют расчетным путем (2.26). Остаточное сопротивление Ro определяют по результатам лабораторных испытаний как разность между полным сопротивлением R и сопротивлением трения RТ, и пересчитывают для натурального судна по критерию Фруда (прил.2).

Для сохранения автомодельности масштаб геометрического подобия Kl=l2/l1 выбирают так, чтобы при соотношении скоростей V1 V2 / Kl

сохранялся турбулентный режим движения потока. Минимальное значение Re1, необходимое для того, чтобы на модели сохранялся турбулентный режим, определяется условием

При обтекании модели, определяемом условиями критерия Фруда, должно быть выдержано соотношение

При числах Рейнольдса 5 105=Re≤5 107 устанавливается в пограничном слое зона перехода от ламинарного режима Re=5 105 (начало перехода) к турбулентному Re>5 107 (окончание перехода).

При невыполнении этого условия искажаются результаты модельных испытаний, возникает масштабный эффект.

С целью исключения его влияния либо изменяют масштаб моделирования так, чтобы значение V1 соответствовало турбулентному режиму обтекания модели, либо устанавливают искусственные турболизаторы в пограничном слое смоченной поверхности модели судна.

В первом приближении масштаб геометрического подобия может быть определен по соотношению

где l1, l2 –длина судна на модели и в натуре по ватерлинии, м; V2 – скорость судна в натуре, м/с.

Обычно модель лесосплавного судна изготавливают из древесины в масштабе от 1/5 до 1/50. Длина испытываемых моделей колеблется от 1 до 6 м в зависимости от размеров судна и бассейна, где проводится опыт. Необходимо учитывать, что модельные испытания требуют критического подхода к их оценке, так как не всегда дают точные результаты.

19