Фотоника и оптоинформатика

6.2. Основные явления волновой оптики

Интерференция

При суперпозиции (сложении) нескольких световых волн их энергия перераспределяется в пространстве, при этом волновое поле будет содержать периодические светлые и темные участки интенсивности. Это явление называется интерференцией (от лат. inter – между и ferentis – несущий, переносящий).

Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических плоских волн, исходящих из одного источника с разностью фаз φ0.

E1 = E0 cos (ωt − kz ),

(6.14)

E2 = E0 cos (ωt − kz + φ0 ).

При сложении двух волн результирующее колебание также происходит на частоте ω и имеет некоторую амплитуду Е.

ляющая интерференция). Таким образом, если средний cos (k∆ )

постоянен со временем, то интерференция имеет место с тем или иным результатом суперпозиции, определяемым его значе-

111

щие фронты приобретают все большую кривизну и, наконец, волновой фронт становится сферическим, а волна – расходящейся. Принцип Гюйгенса не объясняет появление луча света.

Чтобы объяснить прямолинейное распростанение света, принцип Гюйгенса был развит Френелем, который предположил, что световая волна, возбуждаемая каким-либо источником света, может быть представлена как результат интерференции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. При делении сферического фронта волны на зоны, вторичные волны которых находятся в противофазах, результатом интерференции является фокусировка света в виде луча. Пластинкой с зонами Френеля (рис. 6.7) можно усиливать или ослаблять источник света, блокируя светлые либо темные зоны.

Принцип Ферма

Главной чертой геометрической оптики, которая исследует световые лучи в виде прямых линий, является то, что они движутся по путям, соответствующим кратчайшему времени пробега между источником и местом назначения. Это утвержде-

ние является принципом наименьшего времени, предложенным в 1657 году французским математиком Пьером Ферма.

113

Возникает вопрос, откуда свет, как кажется, заранее знает путь, на прохождение которого будет затрачено наименьшее время? Если он начал двигаться по неверному пути, не будет ли более экономным по времени продолжить движение, чем возвращаться кисточнику и начинать сначала?

Волновая теория света приходит на помощь особо элегантным способом. Предположим, что мы рассматриваем произвольный путь между двумя заданными точками и представляем себе волну, извивающуюся по этому пути (рис. 6.8). На верхней части рисунка мы видим искривленный путь между двумя фиксированными точками и другой искривленный путь, близкий к нему. На этих путях нарисованы волны с одинаковой длиной. Хотя они начинают путь с одной и той же амплитудой, но когда достигают конечной точки, их амплитуды сильно различаются. В пункте назначения гребни и впадины волн, прибывших этими разными путями, уничтожают друг друга: эта взаимная аннигиляция назы-

вается деструктивной интерференцией. Однако существует один путь (на нижней части рис. 6.8), для которого различие между гребнями соседних волн столь мало, что они не уничтожают, а усиливают друг друга: это взаимное усиление назы-

вается конструктивной интеференцией. Пути, на которых интер-

ференция конструктивна, очень близки к прямой линии, в общем случае это пути с наименьшим временем пробега между источником и пунктом назначения.

Свет не знает заранее, какой из путей окажется путем с наименьшим временем пробега: он испытывает все траектории, но только на путях, очень близких к пути с наименьшим временем пробега,

114

волны не гасят друг друга. Деструктивная и конструктивная интерференции становятся тем более точными, чем короче длина волны света, и только геометрическая прямая линия выживает при бесконечно малой длине волны, которая и является тем пределом, в котором физическая (волновая) оптика становится геометрической оптикой. Механизм интерференции дает ясное объяснение принципу наименьшего времени Ферма.

Поскольку в реальных волнах излучателями света являются атомы – немонохроматические источники, излучение которых не согласовано по фазам, результирующую интерференцию множества волн с различными длинами можно представить в виде

волнового пакета (цуга). Этот цуг (рис. 6.9) является результа-

том сложения (суперпозиции)

множества волн с различными длинами, каждая из которых соответствует определенному им-

пульсу. Эти волны, складываясь там, где их гребни совпадают, образуют пик реальной волновой функции и гасят друг друга там, где их гребни совпадают со впадинами. Волновой пакет, образованный суперпозицией множества волн с различными длинами может быть достаточно четко зафиксирован в определенной области пространства, хотя мы ничего не можем сказать о том, какое из множества колебаний будет преобладать. Этот волновой пакет, который движется подобно классической частице, обладающей импульсом, называется фотоном.

Групповая скорость

Рассмотрим сложение двух волн, отличающихся только значениями волнового числа k и круговой частоты ω. Полное

115

электрическое поле, создаваемое этими волнами, распространяющимися в одном направлении, имеет вид

В результате получаем волновой пакет, который модулируется (ограничивается по амплитуде) сомножителем

жущейся волны. Эта огибающая функция тоже является волной и имеет скорость

называемую групповой скоростью волны. В пределе малых приращений ∆ ω и ∆ k групповая скорость выражается производной

Уравнение (6.19) справедливо и для более общего случая, когда результирующая волна составлена из множества волн с различными частотами, изменяющимися в узком диапазоне. В этом случае огибающая может оказаться импульсной функцией, а не косинусом. Тогда групповой скоростью будет скорость распространения этого импульса (см. рис. 6.9).

Отметим отличие групповой скорости от фазовой скорости (6.8). Если значение групповой скорости ограничено скоростью света, то фазовая скорость растет с увеличением частоты и может превосходить скорость света без нарушения принципа относительности. Такой реальный случай может произойти для фазовой скорости высокочастотной моды оптического волокна.

Групповой показатель преломления

Рассмотрим среду с дисперсией, в которой показатель преломления зависит от волнового числа: n = n(k). Поскольку фазовая скорость υ = cn , а υ = ωk , то

116

Групповую скорость в соответствии с формулой (6.19) найдем дифференцированием функции (6.20):

В среде с дисперсией dndk ≠ 0 и фазовая скорость υ = cn

не равна групповой скорости.

Групповой показатель преломления nг можно определить из соотношения nг = cυг или с учетом (6.21) из соотношения

В большинстве случаев групповой показатель преломления большеобычного, егозначениязависятотчастотволновогопакета.

Когерентность

Когерентностью называется согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов.

Условию когерентности удовлетворяют монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты (ν = const).

Реальные световые волны не являются строго монохроматическими, имеют разброс круговой частоты ∆ω. В силу фундаментальных физических причин излучение всегда имеет статистический характер. Каждый атом излучает относительно короткие вспышки или волновые пакеты длительностью t ≤ 10–8 с. Если атом возбудить несколько раз, то он может излучить несколько последовательных волновых пакетов. Временные интервалы между их появлениями могут быть велики по сравне-

117

нию с их длительностью. Фазы различных волновых пакетов несвязаны друг сдругом и недают интерференционной картины.

Время когерентности tк, при котором наблюдается интерференция, зависит от разброса круговой частоты.

Условие, при котором время когерентности не может превышать время излучения (tк < t), является условием временнó й

когерентности.

При переносе волны в пространстве фаза колебаний сохраняется только за время когерентности, за это время волна распространяется в вакууме на расстояние lк = сtк, называемое длиной когерентности (длиной волнового пакета) – расстоянием, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерентность.

Условие, при котором оптическая разность хода не может превышать длину когерентности, называется условием простран-

ственной когерентности.

Для источника света конечных размеров длина когерентности характеризуется максимальным поперечным направлением распространения волны – расстоянием, на котором возможно проявление интерференции.

где λ − длина волны; ϕ − угловой размер источника.

Так, для излучения Солнца (λ = 0,5 мкм), которое с Земли характеризуется угловым размером ϕ = 10–2 рад, lк ≈ λφ=

= 0,5 10−6 10−2 = 0,05 мм. При такой малой длине когерентности интерференция солнечных лучей не наблюдается глазом, разрешающая способность которого 0,1 мм.

118

6.3. Основные явления квантовой оптики

Атомы состоят из положительного ядра и электронной оболочки. Заряд атомного ядра (атомный номер) равен числу электронов, так что атом обычно является электрически нейтральным. Каждый электрон движется в электрическом (кулоновском) поле атомного ядра, которое частично экранируется другими электронами.

Молекулы состоят из нескольких атомных ядер и одной электронной оболочки, причем отдельные электроны могут быть отнесены к определенному ядру атома или равномерно распределяются по всей молекулярной зоне. Энергетические состояния молекул, как и в случае атомов, выражаются через электронные возбуждения, но дополнительно возникает еще энергия колебаний и вращений.

Во-первых, атомы в молекуле могут колебаться относительно своего равновесного положения, и, во-вторых, сама молекула может вращаться вокруг основных инерциальных осей. При этом общая энергия молекулы складывается из электронной энергии, колебательной энергии и вращательной энергии.

Многоатомные молекулы обнаруживают разные формы колебаний. Это можно объяснить на примере линейной, симметричной, трехатомной молекулы углекислого газа СО2 (рис. 6.10). Для молекулы СО2 возможны три основных формы колебаний. Каждое колебание является квантованным и способно существовать независимо от других форм колебаний. Относительно простая молекула СО2 с небольшим числом атомов находит применение в газовых инфракрасных и ультрафиолетовых лазерах.

Рассмотрим теперь химическую связь молекул на основе системы двух атомов, например Н и Сl. Эти атомы взаимно притягиваются, образуя молекулу хлороводорода НСl, причем между ними устанавливается определенное расстояние (межъядерный интервал) r0 (рис. 6.11, а). При уменьшении этого расстояния атомы отталкиваются, при его увеличении – притягиваются.

119