5.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе

Чистый изгиб – это самый простой случай нагружения балки (рис.5.10). Он имеет место и при другой схеме нагружения (рис.5.13.). Силовая плоскость совпадает с одной из главных осей поперечного сечения – осью y (рис.5.13). В сечении действует только нормальное напряжение σ, касательное τ равно нулю ввиду равенства нулю поперечной силы Q.

Формулу для σ можно вывести только из рассмотрения картины деформации балки (рис.5.14,6). Опыты, поставленные на эластичных (например, резиновых) моделях, позволяющих легко получить значительные деформации, показывают, что нанесённая на поверхность прямоугольная сетка линий (рис.5.14,а) деформируется (рис.5.14,б) следующим образом:

а) продольные линии искривляются по дуге окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются прямыми;

в) линии контуров сечений пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

Далее, замеряя расстояния между аналогичными точками контура каких-либо двух сечений, можно обнаружить, что при деформации верхние продольные волокна укорачиваются (a₁< a), а нижние – удлиняются (a₂ > a). Ясно, что есть такие волокна, длина которых остается неизменной (a₀ = a), они лишь искривляются. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (НС). Поперечное сечение пересекается с нейтральным слоем по прямой, которая называется нейтральной линией (НЛ).

Таким образом, при чистом изгибе балка деформируется следующим образом.

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси – справедлива гипотеза плоских сечений.

2. Продольные волокна удлиняются и укорачиваются, но друг на друга не давят – имеет место линейное напряжённое состояние.

3. В поперечном направлении (вдоль оси z) деформация постоянна.

а б

Рис.5.13 Рис.5.14

Выделим элемент двумя смежными поперечными сечениями m-m и n-n, отстоящими друг от друга на расстоянии dx (рис.5.15,а), и, приняв во внимание гипотезу плоских сечений, покажем его деформированное состояние (рис.5.15,б). Сечения m-m и n-n остаются плоскими и поворачиваются на угол dθ, элемент a₀b₀ нейтрального слоя превращается в дугу a′₀b′₀ с радиусом ρ. Волокна нейтрального слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому

a′₀b′₀ = dx = ρdθ,

. (5.8)

Произвольное волокно аb, находящееся на расстоянии y от нейтрального слоя, превращается в криволинейное волокно a₁b₁. Абсолютное удлинение его ∆ab может быть показано на рис.5.15,б, если из точки b′₀ провести прямую, параллельную Cm

∆ab = ydθ. (5.9)

Относительное удлинение этого волокна

. (5.10)

Подставив выражение (5.8) в выражение (5.10), получим

. (5.11)

Таким образом, рассмотрение геометрической стороны задачи показало, что относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Физическая сторона задачи выражается законом Гука. Для волокон, находящихся в линейном напряжённом состоянии, его следует записать в виде . (5.12) Исключив ε из формул (5.11) и (5.12), получим . (5.13) Формулой (5.13) пока пользоваться невозможно, т.к. неизвестны радиус кривизны нейтрального слоя ρ и положение нейтральной оси в сечении. Для определения этих величин рассмотрим статическую сторону задачи (рис.5.16).

а б Рис.5.15