Глава 7. Кручение прямого бруса
7.1. Основные понятия. Определение крутящих моментов
Кручение – это деформация прямого бруса внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса (рис.7.1,а).
Моменты внешних пар называют скручивающими моментами и обозначают М.
Стержни, работающие на кручение, встречаются очень часто, особенно в машиностроении. Неподвижные стержни называются осями, вращающиеся – валами. Как правило, валы испытывают кручение в сочетании с изгибом (валы паровых и газовых турбин, компрессоров, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих машин); реже кручение сочетается с растяжением (валы гидравлических турбин). В настоящей главе рассматривается кручение в чистом виде.
а б
Рис. 7.1
Во вращающихся валах скручивающий момент совершает работу на угле поворота вала (рис.7.1,б). Если – угловая скорость в радианах/сек, то работа скручивающего момента будет
A = Mα = Mωt.
В то же время мощность N, передаваемая валом, это работа в единицу времени t:
A
= Nt.
Отсюда получим выражение для скручивающего (внешнего) момента
. (7.1)
где N – кВт, М – кНм.
Очень часто угловую скорость задают в об/мин. Тогда
,
где n – об/мин. Формула (7.1) приобретает вид
, (7.2)
где N – кВт, М – в кгм; или
, (7.3)
где N – в лошадиных силах, М – в кгм.
В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся (рис.7.2).
При этом внутренним усилием будет крутящий момент Mкр, который представляет собой результирующий момент касательных напряжений в поперечном сечении бруса. Крутящий момент Мкр равен сумме внешних скручивающих моментов М, расположенных по одну сторону от сечения. Закон изменения крутящих моментов по длине бруса представляют в виде графика – эпюры крутящих моментов.
Рис. 7.2
Знак крутящего момента физического смысла не имеет, но о нём необходимо договориться для построения эпюры. Будем считать, что внешние скручивающие моменты, действующие на рассматриваемую отсечённую часть стержня по часовой стрелке, если смотреть со стороны сечения, вызывают в этом сечении положительный крутящий момент, а действующие против часовой стрелки – отрицательный. В соответствии с принятым правилом построена эпюра Мкр для бруса на рис. 7.2.
7.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого и кольцевого сечений
Задача о кручении прямого бруса статически неопределима: для определения напряжений необходимо рассмотреть статическую и геометрическую стороны. Сначала рассмотрим геометрическую картину деформации круглого стержня. Опыты показывают, что предварительно нанесённая на поверхность стержня сетка, состоящая из линий, параллельных оси, и линий, представляющих собой параллельные круги, после закручивания будет перекашиваться (рис.7.3): продольные линии сетки станут винтовыми, а расстояния между кругами останутся неизменными. Это видно особенно наглядно, если в качестве материала вала взять резину.
На основании указанных экспериментальных данных принимаются следующие допущения о деформации круглого стержня.
Плоские поперечные сечения остаются плоскими и после деформации.
Расстояние между поперечными сечениями не меняется.
Прямые радиусы, проведённые в сечении, остаются прямыми.
Эти особенности деформации круглого стержня получены из гипотезы плоских сечений. Деформация при кручении характеризуется углом закручивания .
|
γ – угол сдвига; φ – угол закручивания |
|
Рис.7.3.
Искажение прямых углов сетки, нанесённой на поверхности, свидетельствует о том, что мы имеем дело с деформацией чистого сдвига. Следует отметить, что гипотезу плоских сечений мы уже использовали при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе (см. п. 5.4).
Из стержня, показанного на рис. 7.3, вырежем участок длиной dx (рис. 7.4,а), а из него – сектор abcdoo1. Далее покажем деформацию этого сектора (рис. 7.4,б).
а б
Рис. 7.4
Угол закручивания участка стержня длиной dx составляет dφ. Следовательно, радиус o1b после деформации займёт положение o1b′, исходный элемент abcdoo1 превратится в элемент ab′c′doo1.