4 Порядок обработки результатов прямых измерений:

1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.

2. Вычислите среднее значение из n измерений

= Σ x _i / n.

3. Найдите погрешность отдельного измерения

.

4. Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений

(Δx ₁)², (Δx ₂)², ... , (Δx _n)².

5. Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического по формуле:

6. Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).

7. Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.

8. Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)

Δx = · t.

9. Если величина погрешности результата измерения Δx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора δ , то в качестве границы доверительного интервала возьмите

.

Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

10. Окончательный результат запишите в виде

.

11. Оцените относительную погрешность результата измерений

.

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица).

Таблица

n	d, мм
1	4.02	+ 0.01	0.0001
2	3.98	- 0.03	0.0009
3	3.97	- 0.04	0.0016
4	4.01	+ 0 .00	0.0000
5	4.05	+ 0.04	0.0016
6	4.03	+ 0.02	0.0004
Σ	24.06	–	0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле Δx = · t.

Δd = 0.01238  2.57 = 0.04 мм.

Сравним случайную и систематическую ошибки:

,

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Окончательный результат запишем в виде

d = (4.01 ± 0.04) мм при Р = 0.95.

5 Порядок обработки результатов косвенных измерений:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.

2. Оцените систематическую погрешность результата косвенных измерений по формулам (13) – (14), где производные вычислите при средних значениях величин.

Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на δ.

(13)  или

,   (14)

Оцените случайную погрешность результата косвенных измерений по формулам (15) – (16), где производные вычислите при средних значениях величин. Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ.

(15)   или

, (16)

Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.

Результат измерения запишите в виде:

N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.

Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений

ε =   Δƒ  · 100%.

¯¯ƒ¯

Пример 1.Находится объем цилиндра по формуле

_{V =} π d² h  _,

¯¯¯4¯¯

где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра.

Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

d = (4.01 ± 0.03) мм ,

h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95.

Среднее значение объема равно

_{V =} 3.14 (4.01)² 8.65   _{= 109.19 мм}³

¯¯¯¯¯¯¯¯¯4¯¯¯¯¯¯¯¯

Воспользовавшись выражением (16) имеем:

ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

;

;

;

.

Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм, систематические ошибки δd = δh = 0.01 мм. На основании (14) систематическая ошибка δV будет

.

Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

.

Таким образом, результат измерения оказывается

V = (109 ± 2) мм³ при P = 0.95

.

Задача.

Было проведено 5 непосредственных измерений величин и. Для величиныполучены значения: 50, 51, 52, 50, 47; для величиныполучены значения: 500, 510, 476, 354, 520. Требуется рассчитать значение величины, определяемой по формулеи найти погрешность полученного значения.

	50	51	52	50	47
	500	510	476	354	520

Решение.

По формуле (1) найдем средние значения величин и:

Вычисляем :

Находим в таблице при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы значение. По формуле (2) рассчитываем погрешности средних значений величини:

С использованием формулы (3) находим относительную погрешность среднего значения величины :

Найдем абсолютную погрешность среднего значения величины :

Запишем результат: