4. Дифференцирование неявной функции Функция называетсянеявной, если она задается уравнением

, (11)

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функцииz, заданной уравнением (11). Для этого, подставив в уравнением вместо z функцию получим тождество.Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

(12)

Замечания.

а) Уравнение вида (11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение определяет функциии, определенные в круге, иопределенную в полукругеприи т. д., а уравнениене определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных:

если функция и её производныеи,определены и непрерывны в некоторой окрестности точки, причем, а, то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (11) определяет единственную функцию ,непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки и такую, что.

б) Неявная функция одной переменной задается уравнением. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

.

Пример 4.1. Найти частные производные функции z, заданной уравнением

Решение. Здесь ,По формулам (12) имеем:

Пример 4.2. Найти если неявная функциязадана уравнением

Решение. Здесь Следовательно,

Если поверхность S задана уравнением , то уравнения (2) и (3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции

(см. формулы (12)), примут соответственно вид

и

9